一道2021年八省聯考題解法賞析

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

一、題目呈現

題目(2021年八省聯考第7題)已知拋物線y2=2px上三點A(2,2)，B，C，直線AB，AC是圓(x-2)2+y2=1的切線，則直線BC的方程為( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

二、總體把握

此題以直線和圓相切，直線和拋物線相交為背景，以直線方程為出口，綜合考查有關圓錐曲線的技能技巧，考查學生的能力和素養.考生普遍反映難做,因此，我們有必要厘清其本質，探究其解法，為學生做好示范引領工作，使其在同類問題上不在犯難.仔細研究發現，本題內涵豐富，思路開闊，解法較多，是一個復習的好素材.

三、解法探究

視角1 直接求出B，C的坐標，用兩點式求解方程.

①

②

③

④

⑤

⑥

故選B.

評析此解法思路簡單，容易上手，但是過程較繁，運算量偏大，基礎不扎實，計算不過關的學生難以得出正確答案.因此，我們必須另辟蹊徑，避開大運算.

視角2 利用拋物線的平均性質作答.

以下同解法1.

評析拋物線的平均性質將問題轉化為解方程，題目難度與運算量都降低了,不失為一種好解法，當然需要學生平時積累此知識，學習不能僅限于教材，正所謂知識在書中，題目在書外.

視角3 利用同構原理，設而不求.

整理,得2x-(yB+2)y+2yB=0.

進而3×2xB+12yB+8=0.

所以3xB+6yB+4=0.

⑦

同理3xC+6yC+4=0.

⑧

于是點B，C都在直線3x+6y+4=0上.故選B.

評析本解法依托同構原理，運算簡潔.需要學生對同構原理有一定的認識，合理得出方程⑦⑧，利用解析幾何的基本原理得解.

視角4 利用拋物線的平均性質和同構法作答.

由點斜式方程得直線BC的方程為3x+6y+4=0.選B.

評析本解法中斜率的處理辦法避開了繁雜的代數運算，緊緊依托同構思想整體處理，思路清晰，是處理定值問題的通解通法.

視角5 利用極限思想求斜率，依據排除法得解.

解法5 結合解法1，由對稱性知，直線AD與拋物線y2=2x的另一個交點為T(2,-2).事實上，當已知圓的圓心不變，半徑趨于0時，兩條切線趨于一條線，即AD.

評析本解法利用運動的觀點，極限的思想，將問題等價轉化為導數問題，非常巧妙，將幾何與代數有機聯系在一起，值得關注.對于打開學生思路大有裨益.

視角6 利用已知結論作答.

以下同解法4.

評析解析幾何中有很多的結論，這些結論經常是專家命題的背景，在日常學習中我們都要做有心人，主動積累，靈活運用，使學習達到一定的高度，提高解題的速度和準確率.所謂秒殺，都是日積月累的迸發.

四、兩個思考

1.本題中點A的橫坐標不是2，問題又會怎樣呢？

2.若把本問題中的拋物線換成適當的橢圓或雙曲線，結果又怎樣？

五、兩個認識

1.關于深度學習認識

深度學習是一種與淺層學習相對應的學習方式，它本質是為學生的發展服務.我們知道，事實性知識、概念性知識、程序性知識、元認知知識，與之對應的學習方式是接受與記憶、理解與探究、操作與體驗、反思與感悟等.無論是哪種學習方式，只要能引起學生在認知、情感、技能等方面發生系統的變化，學科核心素養和關鍵能力得到整體提升，就是深度學習.我們的教學追求知識習得后學生的學科能力、學科思想、學科經驗以及核心素養得到改變，產生積極的學習方式改變、價值觀念改變、行為方式乃至整個生活方式的改變.本題貌似很難，有人采取了放棄的態度，而有人進行了深度研究，結果是明顯的，久而久之學生的差異就出現了，因此我們倡導真實的深度學習.

2.關于一題多解再認識

一題多解有利于激發學生的學習興趣；有利于促進學生的學習積極性和主動性；可以充分提高學生學習的參與度；有利于學生對知識本質的掌握；還有利于開闊學生的思維，提高思維的品質，培養學生的高階思維.因此，我們在教學中，應當提倡一題多解，搭建適當的研究平臺，把握提升學生素養的機會.