結合聲學貢獻量和拓撲優化的多場點低噪聲齒輪箱結構設計方法

王晉鵬，宋 敏，王 鑫，劉 嵐，王 鵬

(1.西安航空學院 機械工程學院，西安 710077；2.中國船舶重工集團第703研究所，哈爾濱 150078；3.西北工業大學 陜西省機電傳動與控制工程實驗室，西安 710072)

齒輪傳動裝置作為目前機械設備中最常用的傳動形式之一，其在運轉過程中產生的空氣噪聲會對工作人員的健康產生威脅。合理設計齒輪箱結構是降低齒輪傳動裝置空氣噪聲的重要手段之一，受到了國內外學者的廣泛關注。

聲學貢獻量分析和結構優化是目前指導低噪聲齒輪箱結構設計的兩種主要方法。通過聲學貢獻量可以分析出齒輪箱表面上不同板面或區域對目標場點上聲壓級的貢獻量，對貢獻量最大的板面或區域進行改進即可完成低噪聲齒輪箱的設計，達到降低目標場點上空氣噪聲的目標。劉更等[1-3]首先確定了目標場點上聲壓級峰值對應的頻率，再將齒輪箱劃分成了多個板面，確定了各板面對聲壓級峰值的貢獻量，最后對貢獻量較大的板面進行了改進設計，降低了目標場點上的空氣噪聲。王晉鵬等[4]確定出了對目標場點上聲壓級峰值貢獻量較大的模態，在這些模態對應的主振型中有明顯法向振型的區域添加了肋板，降低了目標場點上的空氣噪聲。歐健等[5]通過振動響應云圖確定了齒輪箱表面振動較大的區域，對該區域進行改進降低了齒輪箱的總輻射聲功率級。

將與空氣噪聲相關的因素作為目標函數和約束條件建立優化模型，根據優化模型的求解結果對齒輪箱結構進行設計即可達到降低空氣噪聲的目標。目前，以降低空氣噪聲為目標的優化模型主要包括：結構特征頻率設計的優化模型、線彈性結構振動特性設計的優化模型以及聲學特性設計的優化模型。在結構特征頻率設計優化模型中常用的目標函數包括：基礎特征頻率最大化[6]、某階特征頻率最大(對空氣噪聲影響最大的模態對應的特征頻率)[7-8]、任意指定階次的特征頻率與給定頻率值差的最大化[9]等。在線彈性結構振動特性設計優化模型中常用的目標函數包括：部分區域的穩態幅值響應最小[10-11]、動柔度最小[12]等。在聲學特性設計優化模型中常用的目標函數包括：聲功率最小[13]、指定場點上的聲壓最小[14-15]等。在這3種優化模型中，聲學特性設計優化模型的計算規模最大，目前主要用于降低簡單結構的空氣噪聲。結構特征頻率設計優化模型已經開始用于降低復雜結構的空氣噪聲，但結構表面局部區域的振動和空氣噪聲之間的關系需進一步明確。結構特征頻率設計優化模型的計算規模最小，是目前復雜結構空氣噪聲控制中最常用的模型，但增加固有頻率和降低空氣噪聲之間的關系并不直接。

結構優化可以直接確定出肋板的添加位置和形狀，但其計算效率明顯低于聲學貢獻量分析。針對這些特點，已有學者將兩者結合，將聲學貢獻量的分析結果作為結構優化模型中的目標函數或約束條件[16]，一方面可以使得目標函數與降低空氣噪聲之間的關系更為直接；另一方面可以提高優化效率。但如何在提高優化效率的同時，達到更理想的降噪效果仍需進一步研究。另外，如何利用結構優化同時降低齒輪箱多個場點上的空氣噪聲也尚未得到很好解決。

本文以文獻[17]中的優化模型為基礎，提出了適用于齒輪箱的單場點低噪聲拓撲優化模型。根據該優化模型，以多個場點上的平均有效聲壓級和最大有效聲壓級為衡量指標，建立了多場點低噪聲齒輪箱結構設計方法。運用該方法在單級人字齒輪箱表面新添了肋板。這些肋板的作用是降低齒輪箱空氣噪聲，稱為降噪肋板。根據該方法，可以高效準確確定出齒輪箱表面降噪肋板的布局位置和形狀，降低齒輪箱多個場點上的空氣噪聲，為齒輪箱的結構設計提供指導。

1 單場點低噪聲齒輪箱拓撲優化模型

1.1 拓撲優化方程

由于齒輪箱的剛性較好，聲壓變化只能引起其微小振動，可忽略不計。因此，齒輪箱振動產生的聲學響應[18]可表示為

(1)

采用間接邊界元法對式(1)求解可得

p(r)=VAT(r)Tvn

(2)

式中：VAT(r)為結構表面各節點對位置r處的聲學傳遞向量；場點位置不同，對應的聲學傳遞向量也不同；vn為結構表面上的法向振動速度向量。

在齒輪箱表面敷設降噪肋板只會引起齒輪箱結構的局部變化，對聲學傳遞向量的影響較小。因此在低噪聲齒輪箱的拓撲優化設計中可認為聲學傳遞向量不變。此時，齒輪箱的空氣噪聲只與法向振動速度有關，法向振動速度(即法向振型)越明顯，齒輪箱的空氣噪聲就越大。只要能夠減小齒輪箱表面的法向振動速度就可降低其空氣噪聲。

齒輪箱表面不同區域上振動速度產生的聲壓也不同，即各區域對目標場點上空氣噪聲的貢獻量并不相同。聲學貢獻量越大，表明在目標場點上的總聲壓中，由該區域振動產生的聲壓所占比例越大。降低該區域上法向振動速度產生的降噪效果越明顯。因此為了能在取得較好降噪效果的同時提升計算效率，本文中只降低聲學貢獻量最大區域上的法向振動速度。聲學貢獻量最大區域的位置可通過以下步驟確定[19]。

首先，計算出齒輪箱表面各節點對目標場點上聲壓級的聲學傳遞向量，確定出聲學傳遞向量幅值均在最大幅值0.8倍以上的區域，這些區域上具有較大的聲學傳遞向量。其次，計算出齒輪箱各階模態對目標場點上聲壓級的貢獻量，分析貢獻量較大模態對應的法向主振型，確定出各階主振型中模態位移的最大值及模態位移數值均在最大值0.8倍以上的區域，這些區域上具有較大的法向振動速度。最后，在同時具有較大聲學傳遞向量和法向振動速度的區域上劃分板面并進行板面聲學貢獻量分析，貢獻量最大的板面即為對目標場點上聲壓級貢獻量最大的區域。

通過減小該區域上的法向振動速度建立了如下拓撲優化方程

(3)

1.2 靈敏度分析

齒輪箱的速度響應通常采用模態疊加法計算。取齒輪箱的全部階模態進行計算可獲得最為準確的結果，但計算時間會非常長。研究表明，當固有頻率遠大于激勵頻率時，這些固有頻率對應的模態對速度響應的影響非常小。

對于齒輪箱，激勵載荷(即軸承動載荷)的較大值通常出現在齒輪系統的嚙合頻率及其倍頻處。假設嚙合頻率i倍頻及其以后所有頻率處，各軸承上動載荷的幅值均小于動載荷峰值的1/100，表明該頻率及其以后所有頻率處的激勵均非常小，可以忽略；則固有頻率大于該頻率所對應的模態對齒輪箱速度響應的影響會非常小。因此為了提升計算效率，通常只取齒輪箱的前l階模態(第l階模態對應的固有頻率大于嚙合頻率的i倍頻)計算其速度響應。此時齒輪箱的速度響應可表示為

(4)

式中：j為復數單位，j2=-1；ω為角頻率；φi為齒輪箱的第i階特征向量；ωni為齒輪箱的第i階固有頻率；ξi為齒輪箱的i階模態阻尼比。

式(4)中φi和Di均與齒輪箱的單元體積密度(即拓撲優化模型中的設計變量)有關，因此齒輪箱速度響應對設計變量的靈敏度為

(5)

式(5)中第i階特征向量φi對單元體積密度的靈敏度滿足

(6)

(7)

第i階固有頻率ωni對設計變量的靈敏度可表示為

(8)

假設α為一列向量，其值為

α={0,0，…,0,1,0，…,0}T

(9)

向量α中元素1的位置與齒輪箱速度響應列向量中第s個節點上法向振動速度對應的位置相同。此時，齒輪箱第s個節點上法向振動速度可表示為

vns(ω)=αTv(ω)

(10)

將齒輪箱第s個節點上法向振動速度對設計變量求導可得

(11)

齒輪箱第s個節點上法向振動速度的幅值為

(12)

式中：Re為復數的實部；Im為復數的虛部。

該幅值對設計變量的靈敏度為

(13)

2 多場點低噪聲齒輪箱結構設計流程

齒輪箱會在多個方向的場點上產生空氣噪聲，單個場點上的聲壓級并不能全面反映齒輪箱的空氣噪聲水平。假設第i個場點上的有效聲壓級為Lepi，則多個場點上的平均有效聲壓級和最大有效聲壓級可表示為

(14)

Lmaxep=max{Lep1,Lep2,…,Lepnf}

(15)

式中：Leep為多個場點上的平均有效聲壓級；Lmaxep為多個場點上的最大有效聲壓級；nf為場點總數。

平均有效聲壓級和最大有效聲壓級可以反映多個場點上空氣噪聲的平均水平和最大水平，從而較為全面地反映齒輪箱的空氣噪聲水平。因此以這兩個參數為衡量指標提出了可同時降低多個場點上空氣噪聲的齒輪箱結構設計流程，如圖1所示。具體步驟如下：

圖1 低噪聲齒輪箱結構設計流程Fig.1 The design procedure of gearbox with low noise

步驟1根據齒輪系統參數，齒輪箱結構，支撐系統導納采用有限元/邊界元法計算齒輪箱的空氣噪聲[20]。在所有關心場點中，選擇有效聲壓級最大的場點為目標場點。通過頻譜分析，確定出目標場點上聲壓級峰值對應的頻率。

步驟2計算并分析聲學傳遞向量，模態聲學貢獻量和板面聲學貢獻量，確定出對目標場點上聲壓級峰值貢獻量最大的區域。建立式(3)所示的拓撲優化模型對齒輪箱進行拓撲優化，并根據拓撲優化結果在齒輪箱表面新添降噪肋板。

步驟3對比新添降噪肋板前后目標場點上的空氣噪聲，判斷新添降噪肋板后所有關心場點上的Leep是否減小。如果減小，表明齒輪箱仍有改進設計的空間，重新選擇有效聲壓級最大的場點為目標場點對齒輪箱進行拓撲優化并新添降噪肋板。如果沒有減小，表明齒輪箱已無改進設計的空間。此時需要判斷最后一次新添降噪肋板后所有關心上的Lmaxep是否減小。如果減小，表明最后一次降噪肋板的添加有效，選擇最后一次添加結果為最終結果，如果沒有減小，表明最后一次添加無效，選擇前一次添加結果為最終結果。

3 多場點低噪聲齒輪箱結構設計結果

3.1 齒輪傳動裝置模型

單級人字齒輪系統的實體模型，如圖2(a)所示。齒輪箱的實體模型，如圖2(b)和圖2(c)所示。齒輪傳動裝置通過14個螺栓安裝在支承系統上，連接點的編號，如圖2(c)所示。各連接點處，支承系統自加速度導納的半對數幅頻圖，如圖3所示。

圖2 人字齒輪傳動裝置實體模型Fig.2 The model of double-helical gear transmission system

圖3 各連接點處支承系統自導納的半對數幅頻圖Fig.3 Amplitude-frequency curves of the supporting system’s self acceleration admittance on each connection point

由圖3可知：在低頻段，各連接點處支承系統自導納的半對數幅頻圖均為剛度線(斜率為40 dB/decade的直線)；隨著頻率的增加，依次出現共振和反共振。以上特性與無阻尼約束二自由度系統自導納半對數幅頻圖的特性相同。因此空氣噪聲計算中，在每個連接點處的x,y,z方向上都將支承系統等效為了無阻尼約束二自由度系統。

3.2 軸承動載荷

采用廣義有限元法[21]建立了圖2中人字齒輪系統的有限單元模型，如圖4所示。圖4中：輸入(輸出)功率點位于輸入(輸出)端平鍵的中點處，軸承節點位于軸承中點處，齒輪節點位于齒寬中點處，軸節點位于軸端、軸截面尺寸突變處，軸承端點處及齒輪端點處。軸單元建立在同一根軸上的節點之間，文中用Timoshenko梁單元模擬軸單元。軸承單元建立在軸承節點和固定點之間，文中用4個油膜剛度系數和4個油膜阻尼系數模擬滑動軸承。嚙合單元建立在相互嚙合的齒輪節點之間，文中用兩個螺旋線方向相反的斜齒輪嚙合單元等效人字齒輪嚙合單元。

圖4 人字齒輪系統的有限單元模型Fig.4 The finite element model of double helical gear system

求解人字齒輪系統的有限單元模型獲得了各軸承節點處的位移和速度，根據式(16)計算獲得了各軸承處的動載荷。當輸入轉速入轉速為4 000 r/min，輸出扭矩為15 000 N·m時，各軸承上的動載荷頻譜如圖5所示。由圖5可知：各軸承上動載荷的幅值均出現在嚙合頻率處(2 466.67 Hz)。

圖5 軸承動載荷頻譜Fig.5 The bearing dynamic loads in frequency domain

(16)

3.3 空氣噪聲分析

運用動態子結構法對支承系統進行了等效，以圖5中的軸承動載荷為激勵，采用有限元/邊界元法計算獲得了齒輪箱的空氣噪聲。由圖2可知：齒輪箱的基本形狀為方形。針對該齒輪箱的結構特點，空氣噪聲計算中建立了方形聲場，如圖6所示。聲場的前側(輸入側)、后側(輸出側)、左側、右側及上側與齒輪箱表面間的距離均為1 m；聲場下側為地面的位置，與齒輪箱下表面間的距離等于支承系統的高度。齒輪箱前表面、后表面、左表面、右表面及上表面的振動均會向外輻射噪聲；由于支承系統和地面的作用，下表面空氣噪聲的輻射會受到限制，同時下方的空氣噪聲也很難測量。因此選擇聲場前側、后側、左側、右側及上側中心處的場點為所關心場點，如圖6所示。

圖6 各場點位置Fig.6 The position of each field point

當輸入轉速為4 000 r/min，輸出扭矩為15 000 N·m時齒輪箱在所關心場點處的有效聲壓級，如表1所示。

表1 齒輪箱各場點上的有效聲壓級Tab.1 The equivalent sound pressure level of gearbox at each field point dB(A)

3.4 多場點低噪聲齒輪箱結構設計過程

由表1可知：場點2上的有效聲壓級最大，因此首先選擇該場點為目標場點。通過頻譜分析可知，嚙合頻率處的聲壓級最大。聲學傳遞向量的計算結果表明嚙合頻率處齒輪箱輸入側表面上的聲學傳遞向量較大，而其余表面上的聲學傳遞向量均較小。主要因為場點2的位置正對于齒輪箱輸入側表面。模態聲學貢獻量的分析結果表明，齒輪箱第208階、第210階和第211階模態對場點2上聲壓級峰值的貢獻量最大。這3階模態對應的法向主振型，如圖7所示。由圖7可知：輸入側表面上的區域1、區域2、區域3和區域4上具有較大的模態位移，表明這4個區域上同時具有較大的法向振動速度。在這4個區域上劃分了板面并分析了各板面的聲學貢獻量，結果表明區域1上的聲學貢獻量最大，達到了15.5%。

圖7 齒輪箱的第208階、210階和211階法向主振型Fig.7 The 208th,210th and 211th normal mode shape of gearbox

以減小區域1上的法向振動速度建立了拓撲優化模型并對齒輪箱進行了拓撲優化。優化模型中ηv取值為0.5。為了提升優化效率，只選取了齒輪箱輸入側表面上包含區域1的部分表面作為了設計區域。齒輪箱的第一次拓撲優化結果，如圖8(a)所示。根據該結果在齒輪箱表面新添了降噪肋板，如圖8(b)所示。

圖8 齒輪箱的第一次改進設計Fig.8 The improved design of gearbox for the first time

第一次新添降噪肋板前后場點2上的聲壓級頻譜，如圖9所示。由圖9可知：添加降噪肋板后場點2上的聲壓級峰值降低了13.56 dB(A)，表明建立的單場點低噪聲齒輪箱拓撲優化模型有效。

圖9 第一次添加降噪肋板前后場點2上的聲壓級頻譜Fig.9 The sound pressure level spectrum at field point 2 before and after adding nose reduction rib for the first time

第一次添加降噪肋板前后5個關心場點上的空氣噪聲對比，如表2所示。由表2可知：第一次添加降噪肋板后，場點2上的有效聲壓級降低了13.49 dB(A)。5個場點上的平均有效聲壓級由65.08 dB(A)降至62.52 dB(A)，降低了2.68 dB(A)，表明第一次降噪肋板的添加有效。

由表2可知：第一次新添降噪肋板后，場點5上的有效聲壓級最大，因此選擇該場點為目標場點對齒輪箱再次進行了拓撲優化。根據聲學傳遞向量和模態聲學貢獻量的分析結果，確定出了6個同時具有較大聲學傳遞向量和法向振動速度的區域，如圖10所示。由于場點5正對于齒輪箱的輸出側表面，因此這6個區域均位于齒輪箱輸出側表面。在這6個區域上劃分了板面并分析了各板面的聲學貢獻量，結果表明區域1上的聲學貢獻量最大，達到了55.9%。

表2 第一次添加肋板前后5個場點上的有效聲壓級Tab.2 The equivalent sound pressure level at five field points before and after adding new ribs for the first time dB(A)

圖10 同時具有較大聲學傳遞向量和法向振動速度的區域Fig.10 The regions with large acoustic transfer vector and normal vibration velocity

以降低區域1上的法向振動速度建立了拓撲優化模型并齒輪箱進行了拓撲優化，優化結果如圖11(a)所示。優化模型中，ηv取值為0.5，優化區域只選擇了輸出側表面上包含區域1的部分表面。根據優化結果在齒輪箱的輸出側表面新添了降噪肋板，如圖11(b)所示。

圖11 齒輪箱的第二次改進設計Fig.11 The improved design of gearbox for the second time

計算了第二次新添降噪肋板后齒輪箱的空氣噪聲，并與新添降噪肋板前(第一次新添肋板后)齒輪箱的空氣噪聲進行了對比，結果如表3所示。由表3可知：第二次新添降噪肋板后，場點5上的有效聲壓級降低了7.23 dB(A)。5個場點上的平均有效聲壓級由62.52 dB(A)降至60.39 dB(A)，降低了1.13 dB(A)，表明第二次降噪肋板的添加有效。

由表3可知：第二次新添降噪肋板后，場點1上的有效聲壓級最大。因此選擇該場點為目標場點對齒輪箱進行了第三拓撲優化，結果如圖12(a)所示。根據優化結果在齒輪箱左側表面上新添了降噪肋板，如圖12(b)所示。第三次新添降噪肋板前后各場點上的有效聲壓級以及對應的平均有效聲壓級，如表4所示。由表4可知：第三次新添降噪肋板后場點1上的有效聲壓級降低了0.88 dB(A)。5個場點上的平均有效聲壓級由60.39 dB(A)降至59.56 dB(A)，降低了0.83 dB(A)，表明降噪肋板的第三次添加有效。

表3 第二次添加肋板前后5個場點上的有效聲壓級Tab.3 The equivalent sound pressure level at five field points before and after adding new ribs for the second time dB(A)

圖12 齒輪箱的第三次改進設計Fig.12 The improved design of gearbox for the third time

表4 第三次添加肋板前后5個場點上的有效聲壓級Tab.4 The equivalent sound pressure level at five field points before and after adding new ribs for the third time dB(A)

第三次添加降噪肋板后場點5上的有效聲壓級最大，因此重新選擇該場點為目標場點對齒輪箱進行了拓撲優化，結果如13(a)所示。根據優化結果在齒輪箱表面新添了降噪肋板，如圖13(b)所示。

圖13 齒輪箱的第四次改進設計Fig.13 The improved design of gearbox for the third four time

第四次新添降噪肋板前后齒輪箱的空氣噪聲對比，如表5所示。由表5可知：第四次添加降噪肋板后場點5上的有效聲壓級降低了6.64 dB(A)。但5個場點上的平均有效聲壓級卻從59.56 dB(A)增加至60.10 dB(A)，表明齒輪箱已無改進空間，降噪肋板的添加結束。第四次添加降噪肋板后雖然平均有效聲壓級有所增加，但5個場點上的最大有效聲壓級減小了4.34 dB(A)，表明第四次降噪肋板的添加有效。

表5 第四次添加肋板前后5個場點上的有效聲壓級Tab.5 The equivalent sound pressure level at five field pointsbefore and after adding new ribs for the fourth time dB(A)

經過四次添加后，最終的降噪肋板布局，如圖14所示。由圖14可知：為了降低齒輪箱的空氣噪聲，分別在其輸入側、輸出側和左側新添了降噪肋板。

圖14 多場點低噪聲齒輪箱結構設計結果Fig.14 The design result of gearbox with low noise at multi field points

4 齒輪箱結構設計前后空氣噪聲對比

添加降噪肋板前后齒輪箱在各關心場點上的空氣噪聲對比，如表6所示。降噪肋板布置在了齒輪箱的左側、輸入側和輸出側，因此添加降噪肋板后場點1、場點2和場點5上的空氣噪聲有了明顯降低。由表6可知：添加降噪肋板后5個場點上的最大有效聲壓級減小了9.44 dB(A)。5個場點上的平均有效聲壓級由65.08 dB(A)降至60.10 dB(A)降低了4.98 dB(A)。表明建立的多場點低噪聲齒輪箱結構設計方法有效。

表6 改進設計前后齒輪箱各場點上的有效聲壓級Tab.6 The equivalent sound pressure level of gearbox at each field point before and after improvement dB(A)

添加降噪肋板前后齒輪箱聲場上的聲壓級分布云圖，如圖15和圖16所示。由圖15和圖16可知：添加降噪肋板后不僅5個場點上的空氣噪聲有所降低，整個聲場上的空氣噪聲均有所降低。

圖15 改進設計前齒輪箱聲場上的聲壓級分布云圖Fig.15 The sound pressure level distribution at sound field of gearbox before improvement

圖16 改進設計后齒輪箱聲場上的聲壓級分布云圖Fig.16 The sound pressure level distribution at sound field of gearbox after improvement

5 結 論

(1)以降低聲學貢獻量最大區域上法向振動速度為目標和約束條件構建的拓撲優化模型可指導齒輪箱表面降噪肋板的添加，從而有效減小目標場點上的空氣噪聲。

(2)在齒輪箱的拓撲優化過程中，只取齒輪箱上包含聲學貢獻量最大區域的部分表面為設計區域不僅可以取得較好的降噪效果，還可以有效提升優化效率。

(3)建立的多場點低噪聲齒輪箱結構設計方法不僅可以有效降低多個場點上的平均有效聲壓級和最大有效聲壓級，還可以降低整個齒輪箱聲場上的空氣噪聲。

(4)降噪肋板的主要作用是降低齒輪箱的空氣噪聲，與齒輪箱表面的常肋板相比其結構形式更加多樣。