利用靜態空氣柱測量重力加速度

徐 捷，張 姿，莫鳳秀，金三梅，汪 海

(中國地質大學(武漢)數學與物理學院，湖北 武漢 430074)

重力加速度具有重要的研究價值，在探礦、地震預測等方面有廣泛的應用[1-3].測量重力加速度有多種傳統方法，如平衡法、單擺法、自由落體法等.不同的實驗方法有不同的優缺點，比如平衡法誤差較大[4]；單擺法容易變成圓錐擺，且擺動周期T與擺角θ的關系不好確定[4-6]；自由落體法測量時，如果使用光電門，由于其自身形狀限制，不能很準確測出條形物塊下端與光電門的距離[7]；利用懸鏈擺測量時，為了獲得較高的精確度，需要使用精密儀器[8]；利用原子干涉雖然能測出更為準確的數值[9]，但是由于其消耗的人力物力過多，且對實驗設備要求過高，因此不適合作為學生實驗.上述方法均在動態過程中測量重力加速度，導致測量過程中外界環境引入的誤差較大，需要對原理公式進行修正.基于此，本實驗方案從新的角度看待該傳統研究課題，以靜態的過程來測量重力加速度，即通過控制細管中穩定共存的液體柱和空氣柱在正立和倒置狀態下的壓強變化來測量重力加速度.

本實驗與其他測量重力加速度的實驗相比，只需要測量靜止狀態的物理量，測量更加方便，且原理易懂、儀器簡單、成本低、操作方便.該實驗裝置獲得了“2020年全國大學生物理實驗競賽創新賽一等獎”.

1 實驗原理

細管內液柱在靜止時，任意一液面的上下壓強相等，否則細管內液體會流動；由于毛細現象，在一端封閉的、裝有水的細管中，可以存在一段穩定的水柱，如圖1所示.

(a)正立 (b)倒置

記圖1(a)中狀態與圖1(b)中狀態的空氣柱長度分別為h1和h2，體積分別為V1和V2，空氣柱和水柱總長分別為h3和h4，壓強分別為p1和p2，大氣壓強為p0，水的密度為ρ.

由玻意耳-馬略特定律[5]，有：

p1V1=p2V2,

(1)

又由空氣柱的橫截面面積相等，則其體積比等于其長度比，有：

(2)

聯立式(1)、式(2)可得：

(3)

對圖1(a)狀態，對水柱下液面受力分析：其受到空氣柱和水柱向下的壓力，以及大氣對其向上的壓力，水柱處于平衡狀態，即兩者相等，有：

p1+ρgΔh=p0.

(4)

同理，對于圖1(b)狀態，下液面受到空氣柱向上的壓力，以及大氣和水柱向下的壓力，有：

p2=p0+ρgΔh.

(5)

聯立式(3)、式(4)可得：

(6)

將式(5)代入式(6)得：

(7)

(8)

由式(8)可知，在本實驗中，重力加速度g與液面高度變化(α和Δh)、大氣壓強p0以及液體密度ρ有關.

2 實驗方法

實驗儀器：

鐵架臺、橡膠塞、蒸餾水、卷尺、細管(細管內徑小于10 mm，否則無法形成穩定的液體柱).

實驗步驟：

1)將細管的一端塞緊橡膠塞，向內加入適量蒸餾水；輕輕松動橡膠塞，在水柱和橡膠塞之間留出適當長度的空氣柱；

2)將細管固定在鐵架臺上，用刻度尺分別量出空氣柱長度h1～h4,測量5次數據取平均值，求得g，并重復5次，部分實驗數據如表1所示.

表1 實驗數據

武漢地區的重力加速度為9.793 6 m·s-2.圖2縱坐標為每組實驗中，真實值與實驗值之差，可以看出實驗值與真實值的誤差可以控制在0.3 m·s-2以內.圖3中，圓點為每組實驗的實驗值，誤差線為每組實驗3倍標準差的值，直線為真實值，可以看到，前4組真實值均落在每組實驗值的±3σ之內.5組實驗數據中，第2組數據誤差最小，為0.09%，第5組數據誤差最大，為2.66%，實驗數據的不確定度不超過0.05 m·s-2,相對不確定度低.本實驗方案不僅理論上可靠，在實際測量中也具有可行性.

圖2 真實值與實驗值之差

圖3 真實值與實驗值的3σ的關系

3 結束語

本文設計了基于空氣柱與水柱形成的壓強差來測量重力加速度的實驗方法和裝置，利用該方法測量重力加速度，實驗誤差小.原理簡單易懂，且實驗儀器簡單、經濟，材料易得，不需要借助于物體的運動和計時裝置來實現，即測量過程不需要參與物體的運動過程，進而不再需要考慮傳統方法中阻力和計時引起的誤差.