例談數學文化題中核心素養的滲透

袁琴芳

摘 要：蘊含著數學文化背景的試題是從數學本源上考察學生的數學核心素養水平，其中包含著數學抽象的思考、數學建模的應用，教學必須確實的從知識、思想、精神上助力學生，才能讓數學核心素養真正落地生根。

關鍵詞：核心素養;數學文化題

一、問題的提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《課標》）中建議數學高考的命題需：“聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性;注重數學本質、通性通法，淡化解題技巧，融入數學文化”;而數學文化是指“數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展;還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動。”隨著我國教育改革的推進，蘊含著數學文化背景的試題（以下簡稱數學文化題）成為了高考試題中一道不可或缺的亮麗的風景，它不僅能從數學理性的角度來考查學生的數學學科核心素養的培養程度，更能夠將人類繁榮和發展的人文氣息與科技脈絡融入學生學習的評價。故以此文與大家共享對數學文化題的再認知。

二、解題的研究

例1（2021年八省市高考適應性考第20題）

北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用。刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容。用曲率刻畫空間彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和。例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為4π。

（1）求四棱錐的總曲率;

（2）若多面體滿足：頂點數-棱數+面數=2，證明：這類多面體的總曲率是常數。

解析：

（1）設四棱錐的總曲率為K，四棱錐的面角之和為θ，則四棱錐的所有面角之和θ等于4個三角形的所有內角之和加上1個四邊形的內角。

四棱錐的所有頂點的曲率之和

。

（2）不妨設多面體的總曲率為K，面角之和為θ，棱數為E，面數為F，頂點數為V，并將F個面分別為記為邊形，顯然，則此F個面的面角之和

又V-E+F=2

故多面體的總曲率

答：此多面體的總曲率K為4π。

評論：本題的第一個難點在于新概念的理解;第二個難點是每個頂點的面角之和不好一一表示：第三個難點在于解題中需利用初中學過的多邊形的內角和公式，故知識的跨度是從大學到高中再到初中，讓學生的思維逆流而往，調取的知識時間長度大大增長，因此對學生而言思維的展開也更加困難。然而也只有這樣的考查才是真正地體現學生學會學習，學會思考，學會學習數學的本質，才能確確實實的考查出學生的數學素養。

三、形成共識

（一）基于數學抽象的思考

數學文化題本質上是固著文化的外衣，于是文化的風彩與文字的精妙隱約閃爍在其中，而且中國文化博大而精深，因此學生首先需要有比較好的數學抽象素養來支撐其對數學文化題的理解與提取，即對于數學文化題要進行必要的分解閱讀與深刻地理解，才能將文字語言精準的轉化為數學語言，完成良好地解題開篇。

本題中“用曲率刻畫空間彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和。”這句話在閱讀時，應當第一步，抓住主干知識：“……的曲率等于……的差”;第二步，補充主干知識：“誰的曲率”即：多面體頂點的曲率;“誰的差”即“2π與多面體在該點的面角之和的差”;第三步，明確新的定義“該點的面角”即“多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制”;第四步，特殊的說明理解，針對不是頂點處的面上的點的曲率認識即“多面體面上非頂點的曲率均為零”與“多面體的總曲率”即“多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和”。如此琢磨透本題的“規定”，從分析法的角度捋順解題線索的走向為：總曲率等于各頂點的曲率之和，一個頂點的曲率又等于2π與該點的面角之和的差，于是可先分而置之。再利用綜合法明了，解題的第一步為：求多面體的每一個頂點的面角之和;第二步為：求出多面體的每一個頂點的曲率;第三步為：計算出各頂點的曲率之和，即解決問題。

由上述分析可知，要將數學文化題的文本語言轉化為數學的問題表征，需不斷的細化題目中的文字語意的表達，從一級主干文字分析，接著到二級主干輔助性文字說明，再著到三級補充性文字說明，最后到四級的其他要義性的文字說明，逐層逼近，剝繭抽絲，最后終于抽取出涵蓋本題的數學要素，才能快速的明確本題的數學問題本質，由此可見，數學抽象核心素養對于學生解數學文化題而言猶如是畫龍點睛之筆，學會斷句、分清主次、有序推進才是解數學文化題的破題之刃。

（二）基于數學建模的應用

數學文化題之于數學而言本質上就是數學建模，當掀開數學文化題的五彩外衣之后，很明顯，大家立馬就可以看出數學文化題的問題根源與出處，于是就可以搜羅所學的數學知識，于相同處入手，相似處思考，將新問題稼接在舊知的生長點處，建立一個屬于新問題的舊的數學模型，從而借數學模型之腳架即可一蹴而就，解決問題。

本題中問題（1）的思考：要解決四棱錐的總曲率，從根本上就是求五個頂點處的面角之和，而題目中給的例子：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為4π。對于“正四面體”應用的解題模式是各個頂點分別突破，但在一般的四棱錐中，對于任意給定的一個頂點各個擊破似乎是不太現實的，于是需要打破定勢思維重新思考解決問題的方向，正向不可，逆勢而上，從分類與整合的思想方向前進，于是有：四棱錐的所有面角之和θ等于4個三角形的所有內角之和加上1個四邊形的內角，于是問題迎刃而解，依此思路可得問題（2）的解題切入點，于是由四棱錐推及多面體，充分的借助整體觀全局表達，順利解題。

于此，再論數學文化題中的數學建模素養的探求，通常題目中有著簡單表象的表述，給大家一個錯覺，似乎可以直接建立數學模型了，但這種不經思索的模型就象漂浮于海中的冰山，讓所有不愿深思熟慮的同學撞了個墻，因此要從根本上建立一個適合的數學模型，更應當從模型形成的過程去探究，關注數學知識的聯系與數學直覺的引領，重視數學思想與方法的整合，數理邏輯與語言表達的推敲。由此可見，數學建模核心素養對于學生解數學文化題而言是一種真正地考驗與本質的認識，也有助于學生的更全面成長。

四、推廣應用

例2（2019年全國理科數學I卷（理）6）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化。每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦。在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是：

A. B. C. D.

分析：本題是以我國古代典籍《周易》中富含哲學思想的“卦”文化為載體，重點體現“卦”的表達方式簡易又變化多樣的本質，本質上理解或然與必然的數學思想，基于數學抽象的思考，則可明確問題的對象“陽爻”與“陰爻”可抽象為數學中的兩個自然數“1，2”，而基于數學建模的應用可知本題就是概率主題，具體為計數原理及排列組合的運用，故本題相當于問“在由兩個自然數“1，2”組成的六位數中，數字“1”出現3次的六位數的概率”。

解：由題知，兩個數“1，2”組成的六位數有26種，其中數字“1”出現3次的六位數有C63種，所以數字“1”出現3次的六位數的概率為;故選A。

五、思考與建議

在教學中對于數學文化題，教師要以核心素養的滲透為指導思想，引導學生進行程序化，模式化的思考，可以有效地解決學生對于數學文化題的畏難情緒。充分的模式的范例，使學生更容易從本質上看透數學文化題的來龍去脈，從而理清解決問題的方向與路徑。因此教學數學文化題還是任重而道遠，需要教師根植于數學的本質，即數量關系與空間形式的認識。同時在教學中建議：要創造機會讓學生去閱讀、思考;留足時間讓學生學會辨析、選擇。學生所擁有的能力與素養是來源于平時一點一滴的數學學習的基本經驗的體會與積累，良好與豐富的數學基本活動經驗，讓學生在知識的生成過程中的思維抽取、分析、建模的更系統化與習慣化，讓學生有自己思考問題的時間與空間，學生才能經歷思維與知識生產的陣疼，才能真正提升自我的核心素養。

參考文獻

[1].中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2].史寧中、林玉慈、陶劍、郭民.關于高中數學教育中的數學核心素養[J].課程·教材·教法（京），2017（4）：3-8.

本文系福建省“十三五”中小學名師名校長培養工程專項課題“基于類比思想的高中數學課堂問題清單研究”（立項批準號：DTRSX2019012）的階段性研究成果.