二次函數常見考點展示

2021-09-30 06:23:16薛金鈺

薛金鈺

二次函數是初中數學的重要內容，更是中考命題的熱點素材.現以2021年中考題為例來展示二次函數中常見的考點，供同學們參考.

一、二次函數的頂點坐標

例1（2021·浙江·湖州）如圖，已知經過原點的拋物線y = 2x2 + mx與x軸交于另一點A（2，0）.

（1）求m的值和拋物線頂點M的坐標;

（2）求直線AM的解析式.

分析：（1）先將點A的坐標代入求出m的值，再求拋物線頂點M的坐標;

（2）由點A和點M的坐標，用待定系數法求直線AM的解析式.

解：（1）∵拋物線y = 2x2 + mx過點A（2，0），

∴2 × 22 + 2m = 0，解得m = -4，∴y = 2x2 - 4x，

∴y = 2（x2 - 2x + 1） - 2，即y = 2（x - 1）2 - 2，∴拋物線頂點M的坐標為（1，-2）.

（2）設直線AM的解析式為y = kx + b（k ≠ 0），∵圖象過A（2，0），M（1，-2），

∴[2k+b=0，k+b=-2.]解得[k=2，b=-4.]∴直線AM的解析式為y = 2x - 4.

點評：求二次函數圖象的頂點坐標有兩種方法：一是配方法，二是公式法，同學們要牢固掌握.

二、二次函數圖象的平移

例2（2021·山東·泰安）將拋物線y = -x2 - 2x + 3的圖象向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度得到的拋物線必定經過（）.

A. （-2，2） B. （-1，1）? ? ? ? C. （0，6）? ? ? D. （1，-3）

分析：先把原拋物線y = -x2 - 2x + 3配成頂點式，得到拋物線的頂點坐標為（-1，4），再將點（-1，4）向右平移1個單位長度，向下平移2個單位長度得到平移后頂點的坐標，將平移后的頂點坐標代入頂點式，即可得到平移后的拋物線解析式，然后檢驗四個選擇支中的點哪一個在平移后的拋物線上即可.

解：y = -x2 - 2x + 3 = -（x + 1）2 + 4，即拋物線的頂點坐標為（-1，4），把點（-1，4）向右平移1個單位長度，向下平移2個單位長度得到新拋物線的頂點坐標為（0，2），所以平移后的拋物線解析式為y = -x2 + 2，易知點（-1，1）在平移后的拋物線上. 故選B.

點評：在將一般式轉化為頂點式時，要正確使用配方法，謹防出錯.得到平移后的頂點坐標后，在代入拋物線的頂點式y = a（x - h）2 + k時，不要弄錯了符號.

三、二次函數與一元二次方程之間的關系

例3（2021·四川·瀘州）直線l過點（0，4）且與y軸垂直，若二次函數y = （x - a）2 + （x - 2a）2 + （x -3a）2 - 2a2 + a（其中x是自變量）的圖象與直線l有兩個不同的交點，且其對稱軸在y軸右側，則a的取值范圍是（）.

A. a>4 B. a>0 C. 0