小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的三個(gè)維度

張 靜

（江蘇省鹽城市串場(chǎng)河小學(xué)）

數(shù)學(xué)中的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都隸屬于某一個(gè)知識(shí)體系，而不是孤立存在的，有時(shí)需要考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律及教材的編排。教材切斷了知識(shí)鏈條，使知識(shí)點(diǎn)在其中猶如“散落的珍珠”分散在不同的學(xué)段里，有時(shí)還穿插著其他的數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，教師需要像海邊的“撿貝”一樣，要將學(xué)生分散的、斷裂的“碎片化”知識(shí)這種“珍珠”串成“項(xiàng)鏈”，將知識(shí)結(jié)構(gòu)化，讓學(xué)生看清知識(shí)完整的樣子，明白知識(shí)的形成過程，聯(lián)結(jié)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維體系，構(gòu)建整體的結(jié)構(gòu)化思維。

一、以研讀教材促知識(shí)結(jié)構(gòu)化，為深度學(xué)習(xí)提供保障

數(shù)學(xué)教材是進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的媒介，也是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，但它僅為課堂教學(xué)提供了最基本的材料。因此，需要教師認(rèn)真地研讀教材，去調(diào)整、去豐富、去完善，使數(shù)學(xué)教學(xué)過程更能站在學(xué)生的立場(chǎng)，貼近學(xué)生的思維，使其更富有挑戰(zhàn)性。

（一）以通讀了解教材整體架構(gòu)

德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為，數(shù)學(xué)教師的職責(zé)是“應(yīng)使學(xué)生了解數(shù)學(xué)并不是孤立的各門學(xué)問，而是一個(gè)有機(jī)的整體。”對(duì)于教師來說，要認(rèn)真研讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，將小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和內(nèi)容真實(shí)、準(zhǔn)確地理解并在教學(xué)中實(shí)施，幫助學(xué)生形成自己的知識(shí)體系，建構(gòu)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)。了解教材的整體知識(shí)架構(gòu)，可分兩條線，一條是按學(xué)段、分年級(jí)進(jìn)行，另一條按照知識(shí)發(fā)展的先后順序。

如北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)教材，教師首先要通讀課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)的教學(xué)目標(biāo)及具體要求，了解新學(xué)期安排了哪些學(xué)習(xí)內(nèi)容，需要掌握哪些新的知識(shí)，了解各單元教材的課時(shí)安排及怎樣突破各單元重難點(diǎn)，教師只有整體把握教材結(jié)構(gòu)，才能有效地實(shí)施教學(xué)活動(dòng)。可以將教材整體知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行整理。（如圖1）

圖1 六年級(jí)上冊(cè)整體知識(shí)結(jié)構(gòu)

整體把握教材還可以按照知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，小學(xué)數(shù)學(xué)教材分四個(gè)領(lǐng)域去編排，分別是數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、實(shí)踐與綜合運(yùn)用。如圖形與幾何這個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，可以用結(jié)構(gòu)圖，幫助我們直觀解讀圖形與幾何領(lǐng)域的知識(shí)架構(gòu)。圖形與幾何領(lǐng)域分兩類，平面圖形和立體圖形，平面圖形由點(diǎn)、線、角、面（多邊形與圓）組成，然后再按照邊和角的特征把多邊形進(jìn)一步分類，隨著分類，它們之間的聯(lián)系和區(qū)別逐漸呈現(xiàn)出來。而如圖2 的結(jié)構(gòu)圖，能直觀地把平面圖形知識(shí)之間的關(guān)系聯(lián)結(jié)起來。同樣，立體圖形分兩塊：一塊是長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和圓錐的基本特征，另一塊是這幾個(gè)立體圖形的表面積和體積計(jì)算公式及推導(dǎo)之間的邏輯關(guān)系，以及運(yùn)用這些公式解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題。

圖2 平面圖形知識(shí)結(jié)構(gòu)

（二）以聯(lián)讀把握單元教材結(jié)構(gòu)

在教學(xué)具體單元內(nèi)容時(shí)，首先要了解這個(gè)單元教材設(shè)置了哪些內(nèi)容，課時(shí)怎樣劃分，知識(shí)前后有什么聯(lián)系，配套例題與練習(xí)是怎樣安排的。其次，要多提幾個(gè)問題，促使自己進(jìn)一步去解讀教材。最后，教師一定要了解學(xué)生在學(xué)習(xí)本單元知識(shí)前，他們已經(jīng)具備了哪些生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，本單元知識(shí)的安排有怎樣的層次，知識(shí)之間有怎樣的聯(lián)系，將本單元知識(shí)進(jìn)行梳理，形成清晰的單元教材結(jié)構(gòu)。

如以五年級(jí)“式與方程”單元為例，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和對(duì)教材的解讀，本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖可設(shè)計(jì)如圖3。

圖3 “式與方程”知識(shí)結(jié)構(gòu)

有了對(duì)單元教材結(jié)構(gòu)的解讀，可以采取相應(yīng)的教學(xué)策略：首先，讓學(xué)生在一定的現(xiàn)實(shí)情景中體味用字母表示數(shù)及數(shù)量關(guān)系的好處，理解方程的意義，學(xué)會(huì)分析現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)量關(guān)系，能根據(jù)等量關(guān)系列方程，熟練運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程，在解決具體問題的過程中，相機(jī)滲透方程思想，培養(yǎng)代數(shù)意識(shí)。其次，創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境，解決教學(xué)中的難點(diǎn)，讓學(xué)生掌握找等量關(guān)系的方法，明確同一問題，由于等量關(guān)系的不同，所列方程不一樣，進(jìn)一步溝通不同解法之間的區(qū)別及聯(lián)系，幫助學(xué)生掌握列方程解決實(shí)際問題的思考方法，提升學(xué)生解決問題的能力。最后，通過列方程解決實(shí)際問題，體會(huì)順向思維的優(yōu)勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維，有助于初小銜接，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（三）以比讀理解課時(shí)教材結(jié)構(gòu)

在了解了教材的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)和把握一個(gè)單元的內(nèi)容結(jié)構(gòu)之后，教師還要考慮課時(shí)備課，除了要了解本課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容以及前后知識(shí)之間的聯(lián)系，還需要通過對(duì)不同版本教材的比讀，便于我們更清晰地認(rèn)識(shí)教材，更精準(zhǔn)地實(shí)施課堂教學(xué)。

如“三角形的認(rèn)識(shí)”，蘇教版修訂版教材通過學(xué)生畫三角形，加深了學(xué)生對(duì)三角形本質(zhì)屬性的理解，其沿襲了實(shí)驗(yàn)版教材的一些好的做法，從生活情境中抽象出三角形，將三角形的高與生活中的高密切聯(lián)系起來，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中“高”的意義理解。而人教版教材給出用字母表示三角形三個(gè)頂點(diǎn)的方式，便于學(xué)生表述具體三角形，其對(duì)銳角、鈍角、直角三角形的高進(jìn)行了比較，幫助他們形成了比較清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。浙教版教材則是將內(nèi)容整合，按圖形的邊、圖形的角、圖形的高與底分課時(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)。因此，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，可以借鑒人教版教材內(nèi)容，增加用字母表示三角形的環(huán)節(jié)，也可以借鑒浙教版教材內(nèi)容，介紹鈍角三角形短邊上的高。

二、以研究課堂促認(rèn)知結(jié)構(gòu)化，為深度學(xué)習(xí)提供實(shí)踐支撐

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，是指努力去尋找知識(shí)點(diǎn)之間的連接，將零散的、碎片化的知識(shí)連成線、織成網(wǎng)，形成塊，讓學(xué)生不僅看清知識(shí)的來時(shí)路，還能看清知識(shí)的整體架構(gòu)。同時(shí)，幫助他們依據(jù)自己的理解、用自己的語言重新梳理一個(gè)新的知識(shí)框架，形成一套屬于他自己所熟悉的、全面的知識(shí)體系，建構(gòu)起的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如六年級(jí)“平面圖形的面積”一課，可分三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)，以促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)化。

（一）通過整理，看清知識(shí)的來龍去脈

課前，應(yīng)組織學(xué)生再次閱讀教材，完成學(xué)習(xí)單，引導(dǎo)他們形成復(fù)習(xí)的一般思路。課中，可以讓學(xué)生說一說、議一議平面圖形的面積公式及這些公式的推導(dǎo)過程，尋找公式推導(dǎo)之間的聯(lián)系，再試著將它們進(jìn)行梳理。學(xué)生在獨(dú)立整理中會(huì)對(duì)這些面積公式及推導(dǎo)過程進(jìn)行再次復(fù)習(xí)，并自主整理，看清知識(shí)的本質(zhì)。在教學(xué)中，不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)自主整理的同時(shí)，還應(yīng)介紹、推薦整理的新方法——思維導(dǎo)圖法。

（二）通過建構(gòu)，完善系統(tǒng)知識(shí)鏈

建構(gòu)主義理論強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)不是簡(jiǎn)單地讓學(xué)生占有別人的知識(shí)，而是主動(dòng)地建構(gòu)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，形成自己的獨(dú)特見解。為此，在本中我課進(jìn)行了兩次建構(gòu)：第一次建構(gòu)，以長(zhǎng)方形的面積為中心，建構(gòu)平面圖形面積推導(dǎo)之間的聯(lián)系，學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考、組內(nèi)學(xué)習(xí)、集體交流，理清了知識(shí)之間縱向、橫向的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，了解各個(gè)平面圖形面積推導(dǎo)公式之間的相互聯(lián)系，構(gòu)建了清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，也學(xué)會(huì)了歸納整理的方法，構(gòu)建完善的系統(tǒng)鏈。（如圖4）第二次建構(gòu)，以梯形的面積計(jì)算為中心的結(jié)構(gòu)圖，成聚攏狀結(jié)構(gòu)。在梯形面積變化過程中，讓學(xué)生體會(huì)到平面圖形面積公式是有聯(lián)系的，平面圖形的面積計(jì)算方法都是相通的、可以相互轉(zhuǎn)化的，可以統(tǒng)一用梯形的面積公式去計(jì)算。（如圖5）

圖4 平面圖形面積推導(dǎo)聯(lián)系

圖5 平面圖形面積計(jì)算聯(lián)系

（三）通過應(yīng)用，構(gòu)建完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

在練習(xí)環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了“畫出面積是18 平方厘米的三角形、平行四邊形和梯形”的練習(xí)，并追問：當(dāng)它們的高（底）和面積相等，底（高）之間有怎樣的關(guān)系？這不僅是對(duì)本課所學(xué)計(jì)算方法聯(lián)系的再次應(yīng)用，更提升了學(xué)生的畫圖能力。最后，我設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)故事作為結(jié)尾，不僅滲透了周長(zhǎng)相等，圓的面積最大，還闡釋了數(shù)學(xué)與人生的哲理，對(duì)學(xué)生的情感態(tài)度價(jià)值觀再一次洗禮，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

結(jié)構(gòu)化，不僅要幫助學(xué)生溝通知識(shí)間的一般聯(lián)系，更要讓他們?cè)诖嘶A(chǔ)上構(gòu)建完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；不僅要讓學(xué)生通過梳理知識(shí)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還要幫助他們形成方法結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)，幫助其對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體架構(gòu)，形成完整的知識(shí)鏈，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的同化或強(qiáng)化。

三、以研究學(xué)生促思維結(jié)構(gòu)化，讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生

結(jié)構(gòu)化教學(xué)，不僅要研究教材、研究課堂，更要研究學(xué)生。當(dāng)學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，能從已有的眾多的經(jīng)驗(yàn)中，抽取出與當(dāng)前問題相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，迅速作出判斷、解決問題的合適方法，并能有效解決，這種讓他們經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與分析問題、探索與解決問題的過程，就是將知識(shí)結(jié)構(gòu)化逐漸內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)化，進(jìn)而形成結(jié)構(gòu)化思維。

（一）讓知識(shí)成“串”

有些數(shù)學(xué)知識(shí)表面看起來毫無關(guān)聯(lián)，但實(shí)際上它們之間卻是縱橫聯(lián)系的。如在教學(xué)“圓柱的表面積”時(shí)，我首先讓學(xué)生回憶圓的面積公式是怎么推導(dǎo)的，把圓沿直徑切成n等分，拼成近似的長(zhǎng)方形，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積推出圓的面積公式。接著，再讓學(xué)生畫出圓柱體表面積展開圖，即把側(cè)面沿高剪開得到一個(gè)大長(zhǎng)方形，把兩個(gè)底圓沿直徑平均分成若干等份，分別拼成兩個(gè)近似的小長(zhǎng)方形，已知小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是底圓周長(zhǎng)的一半（πr），此時(shí)有學(xué)生將兩個(gè)近似小長(zhǎng)方形放在大長(zhǎng)方形的正上方，正好構(gòu)成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，這個(gè)新長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是2πr，高就是h+r。這樣新長(zhǎng)方形的面積即為S=2πr（h+r），也就是圓柱體的表面積（如圖6）。這樣，圓的面積看上去好像跟圓柱的表面積無關(guān)，學(xué)生卻利用幾何圖形形象生動(dòng)地詮釋了圓柱體表面積公式S=2πr（h+r）。由于抓住學(xué)生善于利用形象思維來認(rèn)知事物，充分讓他們經(jīng)歷了“數(shù)”與“形”的詮釋過程，巧妙地把以前學(xué)過的圓面積的知識(shí)和圓柱表面積串連起來，這樣縱向勾連，有助于形成結(jié)構(gòu)化的思維方式。

圖6 圓柱體表面積展開

（二）讓策略成“續(xù)”

教材非常注重解題策略的教學(xué)，從基本策略（從條件想起，從問題想起）到特殊策略（列舉、畫圖、轉(zhuǎn)化、假設(shè)等），其在策略單元教學(xué)安排中，都有一個(gè)很好的教學(xué)環(huán)節(jié)，就是回憶以前的數(shù)學(xué)教學(xué)中哪些地方用到相關(guān)的策略。作為教師，不僅要透徹了解本課時(shí)的教材內(nèi)容，還要從策略鏈的視角全面研讀教材，握教材的持續(xù)性，掌握新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。如在教學(xué)“轉(zhuǎn)化”這節(jié)課時(shí)，我先讓學(xué)生回憶以前在哪里運(yùn)用過轉(zhuǎn)化的策略，有的學(xué)生說是在學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)加減法；有的學(xué)生說學(xué)習(xí)小數(shù)乘除法時(shí)，轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘除法計(jì)算；還有的學(xué)生說平面圖形的面積公式推導(dǎo)也是用轉(zhuǎn)化。此時(shí)，需要讓學(xué)生思考：為什么要轉(zhuǎn)化？用什么知識(shí)轉(zhuǎn)化？為什么能轉(zhuǎn)化？這些知識(shí)表面看似毫無關(guān)聯(lián)，但因?yàn)樗鼈兯玫牟呗韵嗤m(xù)接成串，形成了清晰的知識(shí)鏈。

（三）讓結(jié)構(gòu)成“系”

學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)不僅包括知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，還包括方法經(jīng)驗(yàn)、思維經(jīng)驗(yàn)等，結(jié)構(gòu)化教學(xué)關(guān)注方法結(jié)構(gòu)的形成，讓學(xué)生在舊知學(xué)習(xí)中形成的方法遷移到新知中，使方法在循序連環(huán)的使用中扎根生長(zhǎng)。教材中有很多探究規(guī)律的知識(shí)，如小數(shù)的性質(zhì)、商的變化規(guī)律、間隔排列、運(yùn)算律等。在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般性過程：猜想、驗(yàn)證（列舉）、結(jié)論、解釋、應(yīng)用等環(huán)節(jié)，讓他們模擬經(jīng)歷一個(gè)科學(xué)家發(fā)現(xiàn)的過程，激發(fā)其的探究熱情，體驗(yàn)成功的愉悅，建立解決問題的方法結(jié)構(gòu)及思維結(jié)構(gòu)，形成整體、系統(tǒng)的意識(shí)。這樣，在遇到新問題時(shí)他們才能自覺地去尋找方法，將新問題納入舊的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的同化和順應(yīng)。

總之，實(shí)施結(jié)構(gòu)化教學(xué)有助于教師用整體、連續(xù)的視角理解教材，合理地把握知識(shí)的整體架構(gòu)。在教學(xué)中，教師要用結(jié)構(gòu)化思維研讀教材，設(shè)計(jì)教學(xué)流程，根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，合理有效地開展教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)及方法結(jié)構(gòu)，形成較完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。