函數(shù)思想在解析幾何中的應(yīng)用分析

◇內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 張 靜 徐小琴 吳 爽

函數(shù)思想的應(yīng)用廣泛，在解決數(shù)學(xué)問題中占有十分重要的地位.解析幾何一直是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考數(shù)學(xué)的一大熱點(diǎn).以高考題為例從函數(shù)構(gòu)造和函數(shù)性質(zhì)探究函數(shù)思想在解決解析幾何問題中的應(yīng)用.將函數(shù)思想滲透進(jìn)解析幾何問題中，不僅能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，還能提高學(xué)生解決問題的能力.

解析幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，解決解析幾何問題即通過代數(shù)方法解決幾何問題.函數(shù)思想是研究高中數(shù)學(xué)問題的一種重要數(shù)學(xué)思想，穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，對求解解析幾何問題具有重要意義.

運(yùn)用函數(shù)思想方法解決數(shù)學(xué)問題，就是通過構(gòu)造輔助函數(shù)，將所給問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，利用函數(shù)的性質(zhì)求解問題[1].以高考題為例，利用解析幾何中求最值、取值范圍等問題，通過引入?yún)?shù)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的有界性和單調(diào)性探究函數(shù)思想在解析幾何中的應(yīng)用.

1 構(gòu)造函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)是一種重要的解題方法，能幫助學(xué)生快速找到解題思路，并快速求解問題[2].通過巧妙地構(gòu)造函數(shù)，能使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成熟悉而簡單的問題.在解決解析幾何問題的過程中，一般會通過引入變量建立相互關(guān)系.如果出現(xiàn)兩個(gè)變量，通常把某一個(gè)變量看作自變量，另一個(gè)變量看作自變量的函數(shù)，利用函數(shù)定義建立明確的函數(shù)解析式，從而解決問題[3].常見的有三角函數(shù)、對勾函數(shù)、二次函數(shù)和高次函數(shù)等.

1.1 構(gòu)造三角函數(shù)

通過巧妙地構(gòu)造三角函數(shù)，并利用夾角建立等量關(guān)系，往往能簡化解題步驟，有效解決解析幾何問題.對于有關(guān)向量和夾角的解析幾何問題，常通過構(gòu)造三角函數(shù)求解.

評析：此題為向量夾角范圍求解問題.在遇到求取值范圍的問題時(shí)，常常會引入變量，通過構(gòu)建函數(shù)，將解析幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題[4].由于需求的夾角范圍，因此，容易聯(lián)想到向量的夾角公式，從而將解析幾何問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.根據(jù)向量的夾角公式利用余弦表示兩向量的夾角，由題目已知條件易知其值域，于是，直接利用反三角函數(shù)知識得出結(jié)果.

1.2 構(gòu)造對勾函數(shù)

求解解析幾何大題時(shí)，分式函數(shù)通常和圓錐曲線最值問題結(jié)伴出現(xiàn)[5].在研究解析幾何的最值問題，遇到分式函數(shù)時(shí)，通常構(gòu)造形如的對勾函數(shù)求解問題.對勾函數(shù)是高中數(shù)學(xué)階段中一種常見而又特殊的函數(shù)，利用對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)問題，簡捷而準(zhǔn)確.

評析：第(Ⅱ)(ⅱ)問需求出三角形面積的最大值.由(ⅰ)容易寫出三角形面積關(guān)于直線斜率的函數(shù)表達(dá)式，于是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值問題.解決問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)表達(dá)式的最大值.通過構(gòu)造形如的對勾函數(shù)，并利用換元法，求出函數(shù)的定義域，再構(gòu)造一次對勾函數(shù)，于是根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求解最值.

2 利用函數(shù)性質(zhì)

解析幾何問題常利用函數(shù)法求解，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解決問題，往往能夠降低解題難度.對于解析幾何的最值和取值范圍等問題，許多學(xué)生選擇放棄，在解決這類問題時(shí)，這時(shí)如果考慮利用函數(shù)的有界性和單調(diào)性，往往能夠有效解決問題.

2.1 利用函數(shù)有界性

在利用函數(shù)的有界性解決問題時(shí)，無論是構(gòu)造如例1、例2的三角函數(shù)和分式函數(shù)，還是其他各種函數(shù)，都需要明確函數(shù)解析式的定義域，然后才能利用函數(shù)的有界性求解問題.

評析：第(Ⅱ)問需要求四邊形面積的最大值.根據(jù)題目條件，觀察幾何圖形的特征容易寫出四邊形面積關(guān)于引入?yún)?shù)的函數(shù)表達(dá)式，于是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值問題.由于四邊形面積中含有根式需滿足，所以由 的取值范圍根據(jù)函數(shù)的有界性，容易得出四邊形面積的最大值.

2.2 利用函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性常用來求解有關(guān)取值范圍和最值的解析幾何問題.利用函數(shù)的單調(diào)性求解解析幾何問題時(shí)，常用的方法有配方法、求導(dǎo)法.對于一元二次函數(shù)常用配方法，對于高次函數(shù)常用求導(dǎo)法，通過配方法和求導(dǎo)法利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

3 借助函數(shù)圖象的對稱性

函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，是探索解題方法，獲得問題結(jié)果的重要途徑[7].在解析幾何問題中，常常包含對圖形對稱性的考查.在解決問題時(shí)，通過對函數(shù)圖象的對稱性進(jìn)行探究，有助于加深理解，在解題時(shí)起到事半功倍的效果[8].

評析：題為求線段長度的最小值問題.在求解問題的過程中，根據(jù)函數(shù)解析式作出圖形，將數(shù)與形相結(jié)合，充分利用了函數(shù)圖象的對稱性.在解決一些問題時(shí)，運(yùn)用函數(shù)圖象，通過形的直觀往往能夠避免復(fù)雜的運(yùn)算過程，快速簡潔的解決問題，解法具有明顯的優(yōu)勢[9].