隱函數存在性定理證明的思政教學探討

鄧明香 馮永平

（廣州大學數學與信息科學學院 廣東廣州 510006）

一、引入

義務教育階段一般所接觸到的函數為初等函數，其表示式是自變量的某個確定或明顯的解析表達式，或是通過圖表定義的函數表達式，但在數學分析、高等數學課程中接觸到的函數或在學習或實際問題中討論的主要是另外一種形式的函數，其自變量和因變量之間的對應法則是通過一個方程式（或方程組）所確定，這樣通過某一特定的方程（方程組）而沒有明顯解析式的函數稱其為隱函數。單變量函數、多變量函數的隱函數在分析函數極限、微積分學、函數極值、函數最值、平面曲線的切線與法線、空間曲面的切平面與法線、各類微分方程解的存在唯一性等方面均有廣泛的應用。在所有討論問題中，通過某一特定方程能否確定一個唯一的隱函數是其應用的基石，各類分析類教材、教學參考書中對隱函數存在唯一性定理均有詳細的表述與證明，參見[1-4]。但這些教材、教學參考書中的證明過程表述得不夠系統，層次關系不夠清晰，多數教師講授本節內容時只能講述證明的基本思路及數學思想，由于抽象、晦澀、過程復雜性大多數學生很難理解并完整寫出其證明過程。如何通過通俗、類別的方法讓同學們理解該定理的證明一直是數學分析、高等數學類課程教師探索與研究的課題。

高校思想政治工作關系高校培養什么樣的人、如何培養人以及為誰培養人這個根本問題。要堅持把立德樹人作為中心環節，把思想政治工作貫穿教育教學全過程，實現全程育人、全方位育人，努力開創我國高等教育事業發展新局面。要把立德樹人融入教育各環節，貫穿基礎教育、職業教育、高等教育各領域[5]。2017年5月，“課程思政”被納入中央《關于深化教育體制機制改革的意見》，從地方實踐探索轉化為國家戰略部署[6]。2019年7月，“廣東省教育廳關于強化課程思政建設一流課程的意見（粵教高【2019】7號）”為廣東省高校課程思政建設擬定了指導性文件。青少年教育最重要的是教給他們正確的思想，引導他們走正路。思政課是落實立德樹人根本任務的關鍵課程，思政課作用不可替代，思政課教師隊伍責任重大[7]。鑒于培養新時代人才的重要性，從中央、教育部、各省教育廳到各級各類學校對在高等學校教學中進行課程思政教學，在專業課程教學中加入課程思政元素，都進行了相應的部署與要求，各級各類學校和專業也都進行了深入的探討與研究，這也與國家新時代“立德樹人”的高等學校人才培養目標高度吻合。經過多年的數學分析、高等數學教學與探索，結合專業課程思政教學資源，本文在隱函數存在唯一性定理證明中運用課程思政的觀點探討了引領式證明，希望對該定理的教學與實踐有一定的指導與借鑒意義。

二、定理內容及思政證明探索

3.證明以上函數為連續的。

定理證明的關鍵在于“找區間”和“證明函數的存在性”，其中“找區間”“函數存在性”關鍵都在于“存在性”，通過某些方式將存在的對象找出來。科學發展中“發現問題”是最重要的，如何將已“存在的”對象發現、表示出來是每一個科技發展中最關鍵的一個環節。只有發現問題，才能進一步“分析問題”“解決問題”。

注2：這里包含了“執果索因”的數學研究方法，有以下三個數學思想：

（1）目標是要構造一個函數，但函數不一定有明顯的解析式，只能利用函數的定義去證明函數的存在性；

（2）這里也包含了一種思想，“萬變不離其宗”，不論如何設定，用概念、定義證明是最基本的方法；

（3）當研究對象有多個變化因素是，通常研究方法是“抓住主要因素，忽略次要因素”，這里將兩個變化因素中其中一個固定，分析對象所具有的特點；

注3：轉化的思想，化“未知為已知”“化復雜為簡單”，利用連續函數的介值性定理將證明函數存在性問題轉化為單變量函數是不是存在零點的問題，多維度、多角度思考問題，可能找到解決問題的突破口。當研究某問題遇到困難時，要有“求異思維”“變通思維”，初心是將復雜問題簡單化，抽象問題具體化，一般問題特殊化[4，5]；

注4：存在性證明，存在性一般使用構造性證明，存在的不一定能夠用明顯的解析形式表示，存在的形式是多種多樣的。本問題將函數存在性證明轉化為連續函數的零點存在性問題，比起函數的存在性，證明零點存在性是相對容易、方法相對多的問題；在這步證明中用到了由點到面、由局部到整體的思想，由于是在一個任意點處的存在性證明，而得到了一個區域內的存在性證明。

圖1 隱函數存在唯一性證明圖示

注5：連續性的證明，由于該函數沒有明顯的解析式，用傳統的連續性證明有比較大的困難，這是要回歸本源，利用逆向思維及連續性的概念，給出連續性證明，仍然用到了由點到面的思想及“追本溯源”的思想；當沒有明顯解析式時，傳統的方法都是失效的，沒有直接的方法時，要利用變向思維、發散思維、異向思維解決問題，這也是常用的數學思想方法及解決復雜問題的思考模式。幾何圖形的輔助設計，可以直觀看到相關的證明過程，由“抽象到具體”，借助幾何直觀在解決數學類問題時也是常用的一種技巧。

用同樣的方法可以證明多元函數的隱函數存在唯一性定理，全微分存在定理[6-8]。

三、結束語

隱函數存在唯一性定理是數學分析、高等數學中一個非常重要的內容，在分析函數性質方面有廣泛的應用。如何通過構造函數證明存在性有一定的技巧，熟能生巧，只有經過大量的訓練、結束語問題類型及發現、歸納構造的模式，才能以不變應萬變。在專業課程教學中隱性融入思政元素，既能讓學生更快速、更通俗地學習新知識，又能在學習中通過“潤物細無聲”的方式受到社會主義核心價值觀教育，樹立正確的“人生觀、世界觀、發展觀”三觀教育。在數學課程教學中，思政元素一般是通過傳揚優秀數學文化、歌頌優秀數學家經典故事、講述研究對象中包含的數學思想方法和科學方法論等這些形式展開。但如何隱性融入，如何找到恰當的“數學思政元素”，如何傳揚中國優秀數學文化，還需要經過大量的探索與實踐，這些探索一方面與所講授的課程內容也有直接的關系，這是根本，也是教育之本；另一方面與思政教育素材的準備、隱形嵌入也有關系，這是教育的方式與方法。在本定理證明過程中包涵了許多豐富的數學思想方法，諸如逆向思維、異向思維、發散思維、局部與整體、執果索因等多種數學思維方法與科學方法論。本定理證明中的課程思政教學模式，可以推廣到大多數難度較大定理的證明及綜合性計算的數學問題。