淺談類比在中職數學教學中的運用

臧家平

[摘? ?要]文章分析了在中職數學教學中應用類比的重要性和必要性，并通過教學實例，闡述了類比在中職數學教學中的具體運用。

[關鍵詞]類比;中職數學;運用方法

[中圖分類號]? ?G71? ? ? ? [文獻標識碼]? ?A? ? ? ? [文章編號]? ?1674-6058（2021）30-0081-02

類比是根據兩個或兩類對象在某些屬性上的相似或相同之處，推斷它們在其他屬性上也可能有相同或相似之處的一種推理方式。類比作為學習和研究數學的重要方式，在中職數學教學的各個環節廣泛運用。

一、類比在中職數學教學中運用的必要性及重要性

類比是中職數學課程標準要求學生掌握的重要推理方式。中職數學課程標準中明確指出，在數學教學中，要注重類比和歸納兩種推理方式的運用。在教學數學概念，以及相關的性質和公式定理等時，通過類比的方法，可以加深學生的理解和掌握，使他們做到舉一反三、觸類旁通。在中職數學教學中運用類比，能夠起到事半功倍的作用。

筆者通過研究與觀察發現，一些中職學生的學習基礎較差，基本技能掌握得不夠扎實，數學思維空間較窄，缺少學習數學的興趣與積極性。根據學生的學習現狀和知識的掌握程度，在教學中恰當地運用類比，能夠有效降低學生的數學學習難度，激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性和主動性。

二、類比在數學概念教學中的運用

數學概念多數比較抽象難懂，學生不容易理解和掌握，不能有效把握概念的內涵和外延。在概念教學中運用類比，可以加深學生對概念的理解和掌握。

1.在教學并集的概念時，可將交集的概念與其進行類比。交集是由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，而并集是由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合。在教學中，通過類比交集和并集的概念，可以加深學生對它們的理解。同樣，在教學補集的概念時可以引導學生將并集的概念與其類比，再讓學生把并集和加法的運算相類比，把補集和減法的運算相類比。通過類比，能夠降低知識的理解難度，加深學生對并集和補集概念的理解和掌握。

2.在講授橢圓和雙曲線定義時，可有效運用類比。橢圓的定義：平面內與兩定點[F1、F2]的距離的和等于常數[2a（2a>F1F2）]的動點P的軌跡叫作橢圓，即[PF1+PF1=2a]，其中兩定點[F1、F2]叫作橢圓的焦點，兩焦點的距離[F1F2=2c<2a]叫作橢圓的焦距。雙曲線的定義：平面內到兩定點[F1、F2]的距離之差的絕對值為常數（小于這兩個定點間的距離）的點的軌跡稱為雙曲線，定點叫雙曲線的焦點。在講授橢圓和雙曲線定義時運用類比，能夠使學生更好地分清距離之和和距離之差的區別，加深對橢圓和雙曲線定義的理解。

3.在教學排列和組合的概念時可有效運用類比。排列的概念：從n個元素之中取出m個元素進行排序。組合的概念：從n個元素之中取出m個元素并成一組。排列是取出元素進行排序，因此如果元素相同但排序不同，就是不相同的排列。而組合是取出元素再并成一組，組合里的元素是沒有排列順序的，那么如果組合的元素相同但排序不同，便還是同一個組合。通過類比排列的概念和組合的概念，學生明確了它們之間的聯系和區別。

4.在教學等差數列以及等比數列的概念時可有效運用類比。等差數列的概念：從數列的第2項開始，每一項和它前一項的差都等于同一個常數，則該數列是等差數列。等比數列的概念：從數列的第2項開始，每一項和它前一項的比都等于同一個常數，則該數列是等比數列。等比數列和等差數列的概念相差不大，卻是兩個截然不同的概念。因此，在教學中可以通過類比，加深學生對這兩個概念的理解，讓學生將知識掌握得更加牢固。

5.在立體幾何的教學中，可以將平面幾何的相關知識與立體幾何知識進行類比。例如，通過學習平面幾何，學生知道了判斷兩條直線是平行線的依據是這兩條直線沒有公共點，那么，這在立體幾何中是否適用呢？這便能夠引入異面直線的教學。在平面幾何中，兩條直線如果沒有公共點，那么這兩條直線就互相平行，但是在立體幾何中，如果兩條直線沒有公共點，那么這兩條直線的位置關系有兩種，要么平行，要么異面。在教學中，教師恰當地運用類比，能夠加深學生對知識點的理解。

三、類比在性質和圖像教學中的運用

性質的應用是中職數學的一大題型。性質是學生容易混淆的知識，是教師教學和學生學習的重點和難點。在教學中恰當運用類比，能夠加深學生對相關性質的理解和掌握。

1.在教學指數函數的性質以及對數函數的性質時，可有效運用類比。教師在教學對數函數的定義域和值域時，可引導學生類比指數函數的定義域和值域。同樣，可類比根據對數函數的單調性，比較兩個數的大小的方法與根據指數函數的單調性，比較兩個數的大小的方法。通過類比學習，學生能夠加深對相關性質的理解，從而能夠更好地解題。

在講解指數函數和對數函數的圖像時，借助表格的形式進行類比（如表1），能夠使學生更加直觀地感受到指數函數與對數函數的區別。

2.在講解推導的傳遞性，即如果[a?b ，b?c]，那么[a?c]時 ，教師發現學生理解起來有難度。為降低學習的難度，教師便引導學生將實數大小的傳遞性與其進行類比，即如果[a>b ，b>c]，那么[a>c]，以加深學生的理解。當然，如果能夠直接舉例實數大小的傳遞性更好，譬如如果[3>2 ，2>1]，那么[3>1]。同理，在講授平行直線的傳遞性時，也可以將其與實數大小的傳遞性和推導的傳遞性進行類比，以觸類旁通，讓學生更易于習得相關知識。

3.在教學余弦函數時，可以將正弦函數的相關內容，如定義域、值域、最大值和最小值、周期性、單調性、奇偶性、單調遞增和單調遞減的區間以及離心率等與余弦函數的相關內容進行類比，并引導學生通過正弦函數的性質和圖像來研究余弦函數的性質和圖像，找出兩者的性質和相應圖像之間的共同點與不同點，以加深學生對知識點的理解。

四、類比在公式和定理教學中的運用

在教學中，教師可以將數學公式和定理的運用和逆運用進行類比，也可以類比相似公式的運用。不論哪一種類比，都能在幫助學生記憶公式上起到重要的作用。

1.在集合之間的運算中，兩個集合的交集、并集和補集的運算結果是一個集合。集合之間的運算指兩個集合之間按照某種運算規則構造了一個新的集合。學生在剛接觸集合之間的運算的時候，往往容易得出結果是實數的錯誤答案，特別是當兩個集合都是數集的時候，更容易出現類似錯誤。因此在教學集合之間的運算時可以將實數的運算與其進行類比。兩個實數之間基于某種運算法則得出的結果是一個實數，同理，兩個集合之間的運算結果應是集合。在教學向量的加法、向量的減法和數乘向量的運算時，可以將集合之間的運算與其進行類比，進而得出它們基于某種運算規則得出的結果應是向量。當然，在教學數乘向量的交換律和結合律時，類比實數的交換律和結合律，可以幫助學生記憶、理解公式，為他們運用公式打下堅實的基礎。

2.在《圓的標準方程》一節中，教師已經講解了求圓錐曲線方程的步驟：⑴建立適當的坐標系，設曲線上任意一點M的坐標;⑵列適合M點條件的方程;⑶化簡;⑷驗證。在教學橢圓的標準方程時，類比圓錐曲線的標準方程，在推導雙曲線和拋物線的標準方程時，類比推導橢圓標準方程的步驟，循序漸進。這樣做能夠讓學生做到心中有數，進而求出標準方程。

另外，橢圓的標準方程是 [x2a2+y2b2=1（a>b>0）]， [a、b、c] 分別是半長軸、半短軸和半焦距，三者之間的關系式為 [a2=b2+c2];而雙曲線的標準方程是? [x2a2-y2b2=1（a>0 ，b>0）]，[a、b、c]分別是半實軸、半虛軸和半焦距，三者之間的關系式為[c2=a2+b2]。橢圓和雙曲線的標準方程的形式極其相似，僅僅是中間的符號不同，且[a、b、c]三者之間的關系十分容易混淆。在教學雙曲線和橢圓的標準方程時，有效運用類比，能夠加深學生對相關知識的理解和掌握。

3.拋物線的標準方程既是教學的重點，又是教學的難點。學生非常容易混淆圓錐曲線的標準方程、橢圓的標準方程、雙曲線的標準方程與拋物線的標準方程。要想學生能夠掌握并靈活運用這些知識點，教師可有效運用類比，這樣更有利于學生進行知識點的記憶和區別。

4.兩角和與兩角差的余弦公式是 [cosα+β=cosα?cosβ-sinα?sinβ]和[cosα-β=cosα?cosβ+sinα?sinβ]，而兩角和與兩角差的正弦公式是[sinα±β=sinα?cosβ±cosα?sinβ]。兩角和與兩角差的正余弦公式比較相似，因此，教師在教學時可運用類比使學生找到記憶的訣竅，并且更好地去理解、掌握和運用公式。同理，兩個向量平行的坐標表示是 [x1y2-x2y1=0]，兩個向量垂直的坐標表示是[x1x2-y1y2=0]。這兩個公式十分相似，因此非常容易混淆。在教學中，將這兩個公式進行類比，能夠使學生更容易接受。

綜上所述，類比在數學教學中有著不可替代的重要作用。它既是學習新知識的有效方法，又是將知識進行串聯的重要工具，對于學生構建有效的知識體系起到了重要的作用。

（責任編輯? ? 王嵩嵩）