具變系數的非局部高階Kirchhoff方程的整體吸引子族

呂鵬輝， 林國廣， 孫玉婷

(1. 蘇州大學應用技術學院， 江蘇 蘇州215325)

(2. 云南大學數學與統計學院， 云南 昆明650500)

(3. 陸軍邊海防學院昆明校區， 云南 昆明650207)

1 引言

設Ω?RN是具有光滑邊界的有界區域， 本文主要研究Ω 上具有變系數非局部高階Kirchhoff方程的漸近行為:

其中Γ 為Ω 的光滑邊界，v是邊界Γ 上的外法向量，m ＞1，a(x)，b(x) 為關于空間變量x的變系數函數，f(x) 是外力項，g(x，u) 是滿足一定增長條件和耗散條件的關于未知函數u的非線性源項.

一般而言， 整體吸引子是一個具有不變性的非空緊集， 并且能夠吸引任何有界集. 對于耗散動力系統， 整體吸引子是解釋系統解的長時間動力學的核心概念， 對于自治動力系統， 通常用整體吸引子來刻畫其漸近行為.

吸引子包含了系統幾乎所有的長時間信息， 因此關于吸引子存在性及結構的研究對整個系統的長時間演變過程有著非常重要的意義. Kirchhoff方程作為一重要的數學物理方程， 研究其吸引子就顯得相當重要， 近年來， 得到了許多有關Kirchhoff型方程的長時間動力學行為，I.Chueshov[1]研究了帶非線性強阻尼Kirchhoff方程utt-σ(‖?u‖2)Δut-φ(‖?u‖2)Δu+f(u) =h(x) 的長時間動力行為. Guoguang Lin， Penghui Lv 和Ruijin Lou[2]研究了具阻尼項的廣義非線性Kirchhoff-Boussinesq 方程的整體動力學， 研究得到了該類方程的整體吸引子和指數吸引子. 更多有關低階波動方程或Kirchhoff方程的研究可見文獻[3-5].

隨著研究的深入， 學者開始研究高階波動方程的長時間動力學行為. Salim A. Messaoudia ， Belkacem Said Houari[6]研究了具有Dirichlet 邊界條件的多維高階Kirchhoff方程， 估計了在正初始能量下解爆破. 林國廣， 李卓茜[7]研究了一類非線性非局部且具強阻尼項的高階Kirchhoff方程的初邊值問題， 得到了該類高階方程的整體解的存在唯一性， 并且得到了該類Kirchhoff方程的整體吸引子族， 且整體吸引子族具有有限的Hausdorff維數和Fractal 維數. Fucai Li[8]研究了有界域上具有非線性耗散的高階Kirchhoff型方程

其中m ＞1，q，p，r ＞0. 當p ≤r時， 得到方程的整體解， 同時當p ＞max{r，2q}時， 對于所有具負初始能量的初始數據， 解在Lp+2范數下將有限時間內爆破. 詳細的關于更多高階Kirchhoff方程的相關研究可見文獻[9-11].

目前帶變系數的高階Kirchhoff方程的漸近行為見文較少. 本文在得到問題(1.1) 的漸近行為時， 主要的問題是如何處理變系數， 在變系數情況下如何得到漸近緊性. 本文運用合理的假設和萊布尼茲公式克服了變系數帶來的困難， 進而得到有界吸收集和漸近緊性.

本文第2 部分介紹有關概念和動力系統的相關定義及理論; 第3 部分得到問題的先驗估計和整體解; 第4 部分得到問題(1.1) 的整體吸引子族.

2 預備知識

本節主要給出動力系統和整體吸引子(族) 的相關理論.

首先引進本文需用到的相關記號:

定義H=L2(Ω) 上的內積和范數分別為(·，·) 和‖·‖，Lp=Lp(Ω)，‖·‖p=‖·‖Lp， 其中p ≥1.現令

其相應的內積和范數分別為特別地， 當t →∞時， 從u0出發的一切軌道S(t)u0收斂于A0內， 即有dist(S(t)u0，A0)→0(t →∞)， 則稱緊集A0為半群{S(t)}t≥0的整體吸引子.

引理2.3[7]設X是Banach 空間， 連續的算子半群{S(t)}t≥0滿足

(1) 半群{S(t)}t≥0在X中一致有界， 即?R ＞0 存在正常數C(R) 使得‖u‖X ≤R， 有

(2) 存在X中有界吸收集B0， 則任意一個有界集B ?X， 存在一個時刻t0， 使得

(3) 對t ＞0，S(t) 是全連續算子;

則半群{S(t)}t≥0具有緊的整體吸引子A0.

定義2.4 (整體吸引子族) 設Xk，k=1，2，···，m， 是Banach 空間，{S(t)}t≥0為連續的算子半群， 如果緊集Ak ?Xk滿足

(1) 不變性 在半群{S(t)}t≥0作用下為不變集， 即S(t)Ak=Ak(?t ≥0);

(2) 吸引性Ak吸引Xk中一切有界集， 即?Bk ?Xk為Xk中的有界集， 有

特別地， 當t →∞時， 從u0出發的一切軌道S(t)u0收斂于Ak內， 即有dist(S(t)u0，Ak)→0(t →∞)， 則稱緊集Ak為半群{S(t)}t≥0的整體吸引子族.

引理2.5 設Xk，k=1，2，···，m， 是Banach 空間， 連續的算子半群{S(t)}t≥0滿足

(1) 半群{S(t)}t≥0在Xk中一致有界， 即?R ＞0 存在正常數Ck(Rk) 使得‖u‖Xk ≤Rk，有

(2) 存在Xk中有界吸收集B0k， 則任意一個有界集B ?Xk， 存在一個時刻t0k， 使得

(3) 對t ＞0，S(t) 是全連續算子;

則半群{S(t)}t≥0具有緊的整體吸引子族Ak.

3 整體解的存在性

(M)M ∈C1(R+)， 且0＜M0≤M(s)≤M1，?s ∈R+，x ∈Ω，k= 0，1，···，m， 非線性項g(x，u) 滿足下列條件: 存在正常數β1，β2，β3，β4，β5＞0， 對?u ∈R，x ∈Ω， 滿足

其中v=ut+εu. 且存在一個正常數R0和t0＞0， 使得

證 將v與方程組(1.1) 在L2(Ω) 中作內積， 得

分別處理(3.9) 中各項:

因此， 存在一個正常數R0和t0＞0， 使得

引理3.1 證畢.

引理3.2 設(H) 成立，M滿足(M)，f ∈Vk， (3.1)-(3.5) 成立， (u0，u1)∈Xk，k=1，2，···，m， 由問題(1.1) 確定的(u，v) 滿足

引理3.3 (整體解的存在唯一性) 在引理3.1 和引理3.2 假設條件下， (u0，u1)∈Xk，k=0，1，···，m， 則初邊值問題(1.1) 存在唯一的整體解(u，v)∈L∞([0，+∞)，Xk).

證 存在性 利用Galerkin 方法證明整體解的存在性.

第一步， 近似解構造

滿足初始條件un(0)=un0，unt(0)=un1， 當n →+∞時， 在Xk中(un0，un1)→(u0，u1)， 由常微分方程的基本理論可知近似解un(t) 在(0，tn) 存在.

第二步， 先驗估計

現需證明Xk(k= 0，1，···，m) 空間解的存在在性， 故在(3.45) 兩端同時乘以λkj(h′j(t)+εhj(t))， 并對j求和， 令vn(t)=unt(t)+εun(t).

由引理3.1 和引理3.2 得

當k=0 時， 得到X0空間中解的先驗估計

由此可知， (un，vn) 在L∞([0，+∞);X0) 中有界， (un，vn) 在L∞([0，+∞);Xk) 中有界.第三步， 極限過程

在Xk，k=0，1，···，m空間中， 從序列un中選取子列， 仍用un表示， 則

在L∞([0，+∞);Xk) 中弱* 收斂.

由Rellich-Kohdrachov 緊嵌入定理知Xk(k= 1，2，···，m) 緊嵌入X0， 有(un，vn)→(u，v)

在X0中幾乎處處強收斂.

由(3.48) 得

從而解的唯一性得證.

4 整體吸引子族的存在性

定理4.1 在引理3.1 和3.2 的假設條件下及引理3.3， 問題(1.1) 存在整體吸引子族:

定理4.1 證畢.