滯后型測度泛函微分方程解的有界性

李寶麟， 楊銀杏

(西北師范大學數學與統計學院， 甘肅 蘭州730070)

1 引言

常微分方程解的有界性問題是在研究生物學、生態學、物理學以及神經網絡問題中提出的，是常微分方程研究中一個十分重要的領域.近年來，關于常微分方程解的有界性已經引起了許多學者的研究[1-3].文獻[4]中，Federson M 等在Lyapunov 泛函中沒有Lipschitz 條件的情況下，研究了廣義常微分方程解的有界性，并且利用測度微分方程和廣義常微分方程的等價關系建立了測度微分方程解的有界性，隨后又利用測度微分方程和時間尺度上的動力方程的等價關系，獲得了時間尺度上的動力方程解的有界性.文獻[5]建立了滯后型測度泛函微分方程在一定條件下與廣義常微分方程的等價關系.文獻[6]研究了滯后型測度泛函微分方程解的存在性、唯一性和對參數的連續依賴性.

本文考慮滯后型測度泛函微分方程

解的有界性， 其中Dy，Dg分別表示函數y，g的分布導數.f:S× [t0，+∞)→Rn，g:[t0，+∞)→R，y:[t0-r，+∞)→Rn，yt(θ)=y(t+θ)，θ ∈[-r，0]，r ＞0，其中

上述的G1為開集，G([t0-r，+∞)，Rn)表示所有正則函數y: [t0-r，+∞)→Rn構成的空間，定義范數‖y‖∞=supt∈[t0，+∞)‖y(t)‖，則G([t0-r，+∞)，Rn)為Banach 空間.由文獻[5]知，方程(1)等價于積分方程方程(2)右端的積分是關于不減函數g:[t0，+∞)→R 的Kurzweil-Stieltjes 積分，而且f滿足如下條件:

本文利用廣義常微分方程解的有界性，研究滯后型測度泛函微分方程解的有界性.

2 預備知識

本節介紹廣義常微分方程與滯后型測度泛函微分方程的概念與結論.

設X是Banach 空間，O ?X是開子集.

定義2.1[4]函數U: [a，b]×[a，b]→X在區間[a，b]上稱為Kurzweil 可積的，如果存在I ∈X，使得對任意的ε ＞0，存在正值函數δ: [a，b]→(0，+∞)，對[a，b]的任何δ- 精細分劃D:a=α0＜α1＜···＜αk=b及{τ1，τ2，···，τk}，有

對任意的(x，s1)，(x，s2)，(y，s1)，(y，s2)∈Ω，有

其中h:[t0，+∞)→R 為不減函數.

定義2.4[4]函數x:[α，β]→X是廣義常微分方程(3)關于初值條件x(s0)=z0在區間[α，β]?[t0，+∞)上的一個解，是指如果s0∈[α，β]， (x(t)，t)∈Ω 對每個t，s ∈[α，β]，有

引理2.1[4]如果Ω =O×[t0，+∞)，F ∈F(Ω，h)，其中函數h是不減且左連續的.則對每個(z0，s0)∈Ω，廣義常微分方程(3)在[s0，+∞)上存在飽和解并且x(s0)=z0.

注 對每個(z0，s0)∈Ω，把廣義常微分方程的飽和解記為x(s，s0，z0)且x(s0)=z0.

定義2.5[4]廣義常微分方程(3) 是

1) 一致有界:如果對每個α ＞0，存在M=M(α)＞0，使得對每個s0∈[t0，+∞)及所有的z0∈X，‖z0‖＜α，有

2) 擬一致最終有界:如果存在B ＞0，使得對每個α ＞0，存在T=T(α)＞0，使得對所有的s0∈[t0，+∞)及所有的z0∈X，‖z0‖＜α，有

3) 一致最終有界:廣義常微分方程是一致有界且擬一致最終有界.

(ii) 對廣義常微分方程(3)的每個解z:[s0，+∞)→X，s0≥t0及每個s0≤t ＜s ＜+∞，有

則廣義常微分方程(3)是一致有界的.成立，其中h1:[t0，+∞)→R 為不減和左連續的函數.

(V2) 存在連續函數Φ :X →R，Φ(0) = 0 且Φ(x)＞0，x/= 0，使得對廣義常微分方程(3)的每個解z:[s0，+∞)→X，s0≥t0及每個s0≤t ＜s ＜+∞，有

則廣義常微分方程(3)是一致最終有界的.

引理2.4[5]如果y: [t0-r，+∞)→Rn是一個正則函數，則在[t0，+∞)上是正則的.

引理2.5[5]設f:S×[t0，+∞)→Rn滿足條件(H1)-(H3)，g:[t0，+∞)→R 是不減函數，定義F:G1×[t0，+∞)→Rn如下

則F ∈F(G1×[t0，+∞)，h)，其中h:[t0，+∞)→R，

由h的定義可知h為[t0，+∞)上不減的左連續函數.

引理2.6[5]設G1是G([t0-r，+∞)，Rn)的開子集，且t ∈[t0，+∞)時，具有延拓性質，S={yt:y ∈G1，t ∈[t0，+∞)}，φ ∈S，g:[t0，+∞)→R 是不減函數，f:S×[t0，+∞)→Rn滿足條件(H1)-(H3).

(i) 如果y ∈G1是滯后型測度泛函微分方程

的解，且滿足初值條件

的解.

3 主要結果

本節建立滯后型測度泛函微分方程解的有界性.

定理3.1 設f:S×[t0，+∞)→Rn滿足條件(H1)-(H3)，g:[t0，+∞)→R 是不減和左連續函數，則對每個(z0，s0)∈S×[t0，+∞)，滯后型測度泛函微分方程(2)在[s0，+∞)上存在飽和解并且y(s0)=z0.

證 考慮滯后型測度泛函微分方程(2)

根據假設，函數f:S×[t0，+∞)→Rn滿足條件(H1)-(H3)，g: [t0，+∞)→R 是不減和左連續函數，則滯后型測度泛函微分方程(2)等價于廣義常微分方程

其中F由(5)式給出.

根據引理2.1 得，對每個(z0，s0)∈O×[t0，+∞)，廣義常微分方程(6)在[s0，+∞)上存在飽和解并且x(s0)=z0，而且根據引理2.6 的(ii)有

是滯后型測度泛函微分方程

的解.因此，對每個(z0，s0)∈S×[t0，+∞)，滯后型測度泛函微分方程(2)在[s0，+∞)上存在飽和解并且y(s0)=z0.

注 同樣地，對每個(z0，s0)∈S×[t0，+∞)，把滯后型測度泛函微分方程(2)的飽和解記為y(s，s0，z0)且y(s0)=z0.

定義3.1 滯后型測度泛函微分方程(2)是

1) 一致有界:如果對每個α ＞0，存在M=M(α)＞0，使得對每個s0∈[t0，+∞)及所有的z0∈Rn，‖z0‖＜α，有

2) 擬一致最終有界:如果存在B ＞0，使得對每個α ＞0， 存在T=T(α)＞0，使得對所有的s0∈[t0，+∞)及所有的z0∈Rn，‖z0‖＜α，有

3) 一致最終有界:滯后型測度泛函微分方程是一致有界且擬一致最終有界.

定理3.2 設f:S×[t0，+∞)→Rn滿足條件(H1)-(H3)，g:[t0，+∞)→R 在[t0，+∞)上是不減和左連續的.設函數U: [t0，+∞)×Rn →R，使得對每個在(α，β]上左連續的函數z:[α，β]→Rn，[α，β]?[t0，+∞)，函數(t，z(t))，t ∈[α，β]在區間(α，β]上是左連續的.而且，假設U滿足下列條件:

(i) 存在兩個單調遞增的函數p，b:R+→R+，使得p(0)=b(0)=0，

且對每一對(t，z)∈[t0，+∞)×Rn，有

(ii) 對滯后型測度泛函微分方程(2) 的每個解z: [s0，+∞)→Rn，s0≥t0及每個s0≤t ＜s ＜+∞，有

則滯后型測度泛函微分方程(2)是一致有界的.

證 令固定的α ＞0.根據條件(i)知p(α)＞0，由(7)式，存在M=M(α)＞0 使得對所有的s ≥M，p(α)＜b(s).特別地，對s=M，得

令s0∈[t0，+∞)，z0∈Rn，且y(·) =y(·，s0，z0) : [s0，+∞)→Rn是滯后型測度泛函微分方程(2)在初值條件y(s0)=z0下的解，其中‖z0‖＜α.由定義3.1 中1)可知，需證明:

事實上，由條件(ii)和條件(8)，對每個s ≥s0，有

即對所有的s ≥s0，

最后， 對所有的s ≥s0， 證明‖y(s，s0，z0)‖=‖y(s)‖ ＜M.運用反證法， 即假定存在ˉs ∈[s0，+∞)使得‖y(ˉs)‖≥M.則由條件(8)和b是一個不減函數，有

與(10)式相矛盾.因此，對所有的s ≥s0，‖y(s)‖＜M，且由定義3.1 的1)知滯后型測度泛函微分方程(2)是一致有界的.

定理3.3 設f:S×[t0，+∞)→Rn滿足條件(H1)-(H3)，g:[t0，+∞)→R 在[t0，+∞)上是不減和左連續的.設函數U: [t0，+∞)×Rn →R，使得對每個在(α，β]上左連續的函數z:[α，β]→Rn， 函數(t，z(t))，t ∈[α，β]在區間(α，β]上是左連續的且滿足定理3.2 的條件(i).而且，假設U滿足下列條件:

(U1) 對每個x，y:[α，β]→Rn在區間[α，β]?[t0，+∞)上有界變差及每個α ≤s ＜t ≤β，有

成立， 其中u: [t0，+∞)→R 是不減和左連續函數，K: [t0，+∞)→R 是關于u局部Kurzweil-Stietijes 可積的函數.

(U2) 存在連續函數φ:Rn →R，φ(0)=0 且φ(x)＞0，x/=0，使得對滯后型測度泛函微分方程(2) 的每個解z:[s0，+∞)→Rn，s0≥t0及每個s0≤t ＜s ＜+∞，有

則滯后型測度泛函微分方程(2)是一致最終有界的.

證 對所有的(x，t)∈G1×[t0，+∞)，定義函數F:G1×[t0，+∞)→Rn如下

根據假設，函數f:S×[t0，+∞)→Rn滿足條件(H1)-(H3)，g: [t0，+∞)→R 是不減和左連續的.由假設存在常數M，N，對任意的x，z ∈G1，由(11)式得

由條件(H3)知

因為函數(t，z(t))，t ∈[α，β]在區間[α，β]上是左連續的且滿足定理3.2 的條件(i)，所以由引理2.6 的(i)可知，函數(t，z(t))，t ∈[α，β]滿足引理2.2 的條件(i).

對每個t ∈[t0，+∞)，定義函數h1(t):[t0，+∞)→R 如下

則函數h1是不減且左連續的.而且由條件(U1)，對每個α ≤s ＜t ≤β及每個在[α，β]上有界變差的x，y:[α，β]→Rn， [α，β]?[t0，+∞]，函數U滿足下列條件

的解，其中函數F由(11)式給出.

因此，函數(t，z(t))，t ∈[α，β]滿足引理2.3 的條件(V2).

綜上可得，函數(t，z(t))，t ∈[α，β]滿足引理2.3 的所有條件，故廣義常微分方程

是一致最終有界的，其中函數F由(11)式給出.

最后，根據引理2.6 的(ii)，證明了滯后型測度泛函微分方程(2)也是一致最終有界的.