多層FitzHugh-Nagumo 神經元網絡的控制同步

程 卉

(武漢大學數學與統計學院， 湖北 武漢430072)

1 引言

復雜網絡是生物、物理、工程和社會科學中很多系統的通用模型[1-3]. 近些年來， 人們開始對網絡中的代數關系、統計內容和圖論相關性質以及它們和網絡的動力學之間的關系產生濃厚的興趣. 隨著神經網絡在信息傳輸、模式識別和圖像處理等方向的廣泛應用， 神經系統的動態行為成為研究的熱點[4-6].

生物神經系統是一個由數億個神經細胞構成的極其錯綜復雜的信息網絡. 生物機體的整個系統和器官在信息的加工和傳播過程中受到控制和協調， 使其能夠適應內外環境的差異，完成各種生理過程[7]. 神經元作為神經系統中最基本的結構單元， 其許多的動態行為通過放電活動來表現出來. 許多個神經元通過電突觸和化學突觸緊密相連， 組成一個巨大的復雜的神經元網絡， 具有高層次和多功能的特性. 為了能更加了解神經元信息傳遞的過程以及其認知、思想、控制等功能， 我們需要探索更多的神經元和網絡的動力學行為.

過去生物神經研究主要集中在大腦的不同部分， 但現代的研究更偏向于使用復雜網絡的模式來分析不同神經元網絡的結構和動力學行為[8]. 神經元網絡中最基本的結構單元是神經元， 而突觸建立了神經元之間進行信息交流和傳遞的橋梁. 由于神經元的類型和神經元間連接的突觸方式的多樣性， 神經系統的拓撲結構復雜多樣， 具有非線性的動力學行為. 龐大的神經系統對于信息的處理并不是由單個的神經元完成的， 而是由相互作用的神經元集群共同完成的. 所以， 我們需要從復雜網絡動力學的角度來探究神經元系統進行信息處理、管理、整合的方式， 通過研究神經元系統的復雜同步行為和時變動力學行為來進一步了解神經元的高級認知功能.

同步是非線性系統中最基本的合作行為形式之一， 在自然界和社會現象中經常發生， 同時在神經元系統中也普遍存在[9，10]. 根據許多研究表明， 探究和理解大腦的功能已開始廣泛應用混沌同步理論. 在神經科學中， 對于健康和不健康的大腦的功能分析在理解神經元與其網絡之間復雜的相互作用機制方面扮演著重要的角色[11]. 但是導致腦部疾病的一個重要原因是神經元間無法同步， 像帕金森氏病， 自閉癥等影響身體功能的疾病已被證實與神經元間缺乏同步有關[12，13].

到目前為止， 研究人員們已經提出了很多種控制方案來實現神經元網絡的同步， 例如主動控制、自適應控制、反同步控制、滑模控制、有限時間同步控制等. 至今對FitzHugh-Nagumo(簡稱FHN) 神經元網絡在外部施加電刺激的同步控制已經得到了許多有效的研究[14-19]. 文獻[14] 利用后推和滑膜控制技術的魯棒控制實現了兩個間隙連接耦合的混沌FHN神經元的同步， 通過仿真證明了控制方案的有效性. 文獻[15] 考慮了兩個具有不同離子電流的非耦合FHN 神經元與外部電刺激之間的同步， 應用魯棒自適應滑模控制器解決了系統的不確定性和外部干擾， 在Lyapunov 穩定性定理的意義上給出了保證穩定同步的充分條件.文獻[16] 利用空間采樣策略的新型控制方法實現了一類反應擴散FHN 系統之間的同步， 通過數值仿真較好地展示出控制器的效率. 現有研究神經元系統同步控制的文獻大多考慮單層網絡， 但在實際應用中， 神經元之間通過不同的突觸連接方式相互聯系， 形成多層次的神經元網絡， 因此考慮多層神經元網絡的同步控制具有重要價值. 本文從數學角度出發， 考慮多層神經元網絡， 多層網絡中同步的控制條件與單層網絡有所不同， 且相互之間有一定的聯系， 這些均在文中有詳細證明和介紹. 另外神經元節點間通過分量來耦合， 且考慮控制節點的分量對同步的影響， 這對于以前的研究而言是創新部分， 為控制神經元網絡的同步提供了一些新的思路.

本文研究了由FHN 神經元模型耦合而成的多層神經元網絡， 探究控制神經元節點的不同分量對于系統達到同步的影響. 在單層網絡和多層網絡兩種情況下， 基于舒爾補式[20]和李雅普諾夫穩定性理論[21]， 分別給出了保證神經元系統穩定同步的充分條件. 通過比較分析，從理論上討論了兩者間同步條件的差異與聯系.

2 數學準備

我們首先介紹一些本文中將要使用的符號.Rn和Rn×m分別表示n維歐幾里得空間和所有n×m維實矩陣的集合，R+是正實數集，‖·‖表示向量或矩陣的二范數，λmax(·) 表示對稱矩陣的最大特征值，λmin(·) 表示對稱矩陣的最小特征值.In×n表示維數為n的單位矩陣.

2.1 數學知識準備

利用上式， 不難驗證以下有用結論

上式就是關于行列式的Schur 補公式， 也稱為Schur 公式.

2.2 FitzHugh-Nagumo(FHN) 神經元模型

自1951 年以來， 對電化學細胞的定量研究主要受到了霍奇金和赫胥黎對長烏賊巨型軸索神經傳導的杰出研究的推動. 霍奇金和赫胥黎主要是建立四維模型來表示在烏賊的巨大軸突上傳播脈沖的過程[22]， 該模型能夠描述神經元膜內的自激振蕩、混沌、多重穩定等非線性的現象， 為人們探索神經元的興奮性提供了基本框架. 上千個神經元是如何相互連接， 怎么協調有序放電是理論研究和實驗探索的重要課題. 這些年來， 復雜網絡理論的發展為探索這一問題提供了一個很好的新方法.

由于這些方程太過復雜， 無法完全分析， 為了幫助理解霍奇金- 赫胥黎方程的性質， 更簡單的方程組確實是必要的. 因此， 考慮到生理背景， FitzHugh(1961) 和Nagumo(1962) 獨立地導出了一個二維系統， 該系統提供了一個四維的霍奇金- 赫克斯利方程的簡化[22-25].

Fitzhugh-Nagumo (FHN) 神經元模型可以用下式描述:

其在同步流形s=(s1，s2) 處線性化后可以得到

圖1:FHN 模型中狀態變量W 和V 的相圖， 其中 = 0.08，a = 0.7，b = 0.8，Iex = 0.5cos( 5t0).可以看到， 系統的軌道收縮到極限環， 所以變量V 和W 是有界的. V 的邊界可以取2.

3 主要結論

3.1 單層網絡

考慮一個二維的具有N個神經元的復雜網絡. 描述網絡動態演化的方程為:

因為本文著重研究多層神經元網絡中控制節點分量對于網絡動力學行為及同步現象的影響， 所以內聯矩陣均考慮取對角元素為0 或1 的對角矩陣. 一方面是因為在一般的多層網絡中也會考慮取對角矩陣， 這樣在進行研究證明時會更方便， 如文獻[26]；另一方面， 考慮控制節點分量對于同步的影響時， 內聯矩陣取對角矩陣同時也可以考慮節點之間耦合不同分量時同步條件是否有所變化.

當內聯矩陣P=diag(1，0) 時， 對于FHN 模型網絡， 向量方程(3.1) 可以寫成標量形式:

令ei?xi-s(1≤ i ≤ N)， 其中s=(s1，s2)∈R2是同步態， 將網絡方程(3.2) 在s上

若換成其他內聯矩陣時網絡依舊能同步， 大部分神經元網絡文章中均有介紹， 但同步條件與本文有所不同， 這不是本文考慮的重點， 所以此處不再贅述.

上面討論了在單層生物神經元網絡的情況下， 當節點僅通過第一分量相互耦合時， 可以對節點的第一分量進行線性控制， 從而實現網絡的局部同步. 那么當節點通過第二分量相互耦合時， 考慮是否可以通過控制節點第二的分量來實現網絡同步.

那么有誤差系統

其中s1是同步態s= (s1，s2) 中的第一個分量， 那么神經元網絡(3.4) 是局部同步的， 即t →+∞，ei →0.

證 選取系統(3.4) 的李雅普諾夫函數如下:

其中Q1=σ1C-dIn×n-∈bIn×n.

那么有

根據LaSalle 不變原理， 系統的每個解收斂到集合的最大不變集˙V(t)=0， 即E1i=0，E2i=0(1≤i ≤n). 所以當t →+∞，ei →0(1≤i ≤n)， 網絡處于局部同步狀態.

注3.3 對于動態神經元網絡(3.4)， 當節點通過第二個分量相互耦合時， 對節點的第二個分量施加控制， 使網絡同步所需的控制強度也受到神經元節點自身動力學的影響， 與耦合強度和耦合矩陣無關. 此時的控制強度與耦合控制第一分量時所需的控制強度有所不同， 且所需的控制強度更大.

3.2 兩層網絡

網絡(3.7) 是局部同步的， 即t →+∞，ei →0.

則K ＜0. 所以有

同樣地有

那么f(x)＜0 且F ＜0.

另一方面，K2=σ2G-d2In×n-∈bIn×n ＜0 始終成立. 根據引理2.2， 我們可推斷出當d1，d2取合適的正實數時，K ＜0， 也就意味著K是負定的.

根據LaSalle 不變原理， 系統的每個解收斂到集合的最大不變集˙V(t)=0， 即E1i=0，E2i=0(1≤i ≤n). 所以當t →+∞，ei →0(1≤i ≤n)， 網絡處于局部同步狀態.

注3.5 對于兩層生物神經元動態網絡(3.6)， 當對每個節點的兩個分量都施加線性控制時， 網絡可以達到局部同步， 其所需的控制強度d1，d2相互限制、相互影響， 與節點本身的動力學有關. 它們也與耦合強度、耦合矩陣等無關. 當其中一個分量上的控制強度降為0 時， 另一個分量上所需的控制條件與單層網絡情況相同.

定義下式

當g ＜0 時網絡可以達到一個同步狀態. 若取∈=0.08，a=0.7，b=0.8， 那么FHN 模型中的神經元節點的分量是有界的. 從圖1 中我們可以計算出s1的界可以取值為2， 我們可以畫出g關于d1和d2的圖像， 如圖2 所示.

圖2: 兩層生物神經元網絡中分別控制節點的兩個分量時， 網絡同步與控制強度之間的關系.

由上圖2 可知， 當d2=0 時，d1=d， 即與僅控制第一分量時所需的控制強度相同. 同樣地， 當d1= 0 時，d=d， 即與僅控制第二分量時所需的控制強度相同. 當d2＞0，d1＜d， 這說明在對每個節點的第二個分量施加控制后， 網絡達到同步時對第一個分量所需的控制強度會相應降低. 相應地， 當d1越小， 所需的d2會變得更大. 這相應地說明， 兩者之間是相互影響， 共同促進網絡同步的關系.

4 結論

綜上所述， 我們討論了由FHN 模型耦合而成的多層神經元網絡， 探究控制神經元節點的不同分量對于系統達到同步的影響. 對單層網絡和兩層網絡進行了分類和討論， 通過嚴格的理論驗證， 分別給出了保證神經元系統穩定同步的充分條件.

我們可以發現， 由FHN 模型耦合的單層生物神經元網絡和多層生物神經元網絡中實現同步時所需的控制強度是不同的. 當多層網絡中僅控制一個分量時， 所需的控制強度與單層網絡中所需的控制強度相同， 且控制第一分量對于同步的影響要優于第二分量. 多層網絡中兩個分量上的控制相互影響， 共同促進網絡的同步， 另外同步所需的充分條件是單層網絡情況的擴展.

未來的工作包括研究由其他模型耦合的網絡中控制節點分量對同步的影響， 以及通過牽制控制部分節點， 分析控制節點中某一分量對同步的影響.