旋轉(zhuǎn)紙牌軌跡的近似理論計(jì)算

朱世棟，黎秋航，侯吉旋，陳 乾

(1.東南大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 南京211189；2.東南大學(xué) 交通學(xué)院，江蘇 南京 211189)

在2020年國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT2020)的第17題中描述了一個(gè)生活現(xiàn)象，題目的中文翻譯如下：“一張標(biāo)準(zhǔn)的撲克牌只要在投擲的過程中旋轉(zhuǎn)，就可以運(yùn)動(dòng)很長的一段距離.研究影響距離和軌跡的參數(shù)”.定性來看，紙牌旋轉(zhuǎn)后飛行會(huì)更加穩(wěn)定，可以保證薄邊始終正對運(yùn)動(dòng)方向，迎風(fēng)面積的減小會(huì)導(dǎo)致正面空氣阻力的減小，而下表面受到向上的空氣阻力會(huì)導(dǎo)致下落時(shí)間的延長，兩相疊加，致使運(yùn)動(dòng)距離的增大.其中，旋轉(zhuǎn)紙牌飛行的穩(wěn)定性可以用剛體的歐拉公式來解釋[1].

要分析紙牌的軌跡，就無法避免對紙牌表面氣體流動(dòng)的研究.對于一般意義的平板繞流問題，已經(jīng)有眾多學(xué)者進(jìn)行了理論研究和數(shù)值模擬，姜海波等人[2]更是為大攻角的氣體繞流問題提供了解決方案，以適應(yīng)低速情況.然而，對于旋轉(zhuǎn)中的紙牌，其周圍的氣體流動(dòng)比平動(dòng)情況要復(fù)雜得多.目前對于旋轉(zhuǎn)剛體在空氣中運(yùn)動(dòng)的研究還很少，王一坤等人[3]運(yùn)用空氣動(dòng)力學(xué)分析了竹蜻蜓的飛行過程，田愛平等人[4]更是發(fā)現(xiàn)了竹蜻蜓飛行過程的進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象.然而，竹蜻蜓的轉(zhuǎn)動(dòng)與紙牌的轉(zhuǎn)動(dòng)有著本質(zhì)的區(qū)別，竹蜻蜓通過兩個(gè)交錯(cuò)的槳葉產(chǎn)生升力，而紙牌表面各點(diǎn)始終在一個(gè)平面.本文試通過建立簡單的紙牌模型，對旋轉(zhuǎn)紙牌的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行探究.

1 理論模型

設(shè)紙牌為剛體，不會(huì)發(fā)生彎折等形變.再設(shè)紙牌的本征坐標(biāo)系為Cxyz，地面坐標(biāo)系為OXYZ，如圖1所示.設(shè)紙牌質(zhì)量為m，長為a，寬為b，厚度為h，空氣密度為ρ，空氣阻力系數(shù)為k，黏度為η，紙牌的初速度為v0、角速度為ω0，運(yùn)動(dòng)過程中紙牌轉(zhuǎn)角為θ.紙牌受力包括：重力；下表面空氣阻力(升力)；上下表面黏滯阻力；馬格努斯力；邊緣空氣阻力.這里已忽略紙牌邊緣的黏滯阻力.本節(jié)將定量求解出各力大小，以便軌跡的計(jì)算.

圖1 紙牌模型圖

1.1 上下表面黏滯阻力

設(shè)黏滯阻力與相對速度的一次方成正比[5]，則任意面元的黏滯阻力可按照速度方向進(jìn)行分解.面元的速度由質(zhì)心速度與相對質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)速度構(gòu)成，不妨將黏滯阻力沿這兩個(gè)方向進(jìn)行分解.

如圖2所示，F(xiàn)fv為與質(zhì)心平動(dòng)速度有關(guān)的黏滯力，宏觀不產(chǎn)生力矩；Ffω與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)速度有關(guān)的黏滯力，宏觀只產(chǎn)生力矩；r為面元P到質(zhì)心C的距離.

圖2 黏滯阻力分析圖

黏滯力與力矩通過簡單積分可得：

(1)

1.2 馬格努斯力

馬格努斯力是由紙牌邊緣氣體流動(dòng)導(dǎo)致的壓力差所形成.忽略紙牌邊緣的黏滯阻力，可近似滿足“定常流、無摩擦流、不可壓縮流”條件，故可近似使用伯努利方程.

如圖3所示，P1面元在Cxyz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(b/2，y)，P2坐標(biāo)為(-b/2，-y)，P3為(b/2，-y)，P4為(-b/2，y).P1與P2關(guān)于原點(diǎn)對稱，與P3關(guān)于x軸對稱，與P4關(guān)于y軸對稱.設(shè)質(zhì)心沿X方向的速度大小為vX，沿Y方向的速度大小為vY.P1、P2、P3、P4的速度均由質(zhì)心速度與繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的速度合成而來，其分速度都標(biāo)于圖3中.

圖3 側(cè)面元速度分析圖

對側(cè)面元P1、P2，其平行于側(cè)邊的速度為：

(2)

由伯努利方程可得沿x方向的壓強(qiáng)差：

(3)

對長邊積分可得x方向的馬格努斯力：

Fx=-ρωabh(vXsinθ+vYcosθ)

(4)

同理對短邊計(jì)算壓力差，可得y方向的馬格努斯力：

Fy=ρωabh(vXcosθ-vYsinθ)

(5)

合成到X、Y方向：

(6)

很容易發(fā)現(xiàn)任意關(guān)于x軸對稱的面元(如P1、P3)受到的壓力相等，因此馬格努斯力不產(chǎn)生力矩.

1.3 邊緣空氣阻力

先研究長邊上的空氣阻力.只有當(dāng)側(cè)面元有沿外法線方向的速度時(shí)，才能產(chǎn)生空氣阻力.

如圖3所示，不難發(fā)現(xiàn)，關(guān)于y軸對稱的側(cè)面元(如P1、P4)垂直邊緣的速度相同.當(dāng)y>0，x>0時(shí)，側(cè)面元速度沿外法向，有阻力；當(dāng)y>0，x<0時(shí)，側(cè)面元速度沿內(nèi)法向，無阻力.但是，y<0的情況較復(fù)雜，面元速度方向不僅取決于y坐標(biāo)，還與vX、vY、ω、θ有關(guān).為避免復(fù)雜的分類討論，我們?nèi)￠L時(shí)間的平均(即忽略旋轉(zhuǎn))：

(7)

這里假設(shè)了空氣阻力與迎風(fēng)速度的二次方成正比(實(shí)為平板繞流的結(jié)論)[6].而阻力矩為周期性變化，平均后為0.

2 進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象

2.1 紙牌進(jìn)動(dòng)及其原因

在嘗試不同初始條件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的過程中，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)紙牌運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長時(shí)，會(huì)發(fā)生明顯的豎起，且紙牌薄邊能始終正對運(yùn)動(dòng)方向.設(shè)角動(dòng)量為L，由現(xiàn)象知，L會(huì)在垂直于速度方向的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，即紙牌在進(jìn)動(dòng).此進(jìn)動(dòng)對紙牌軌跡有重要影響.

為探求紙牌進(jìn)動(dòng)的原因，需要尋找合適的力矩.在紙牌水平時(shí)尋找，由于紙牌上下的對稱性，顯然沒有合適力矩能夠使其發(fā)生進(jìn)動(dòng).因此可假設(shè)，紙牌在空中受到微擾產(chǎn)生初始進(jìn)動(dòng)角速度，此角速度會(huì)產(chǎn)生力矩促生進(jìn)一步的進(jìn)動(dòng).

經(jīng)過不斷的嘗試，可排除：邊緣空氣阻力(無法產(chǎn)生力矩)；馬格努斯力(無法產(chǎn)生力矩)；上下表面粘滯阻力(上下對稱性使合力矩為0).唯一可能產(chǎn)生有效力矩的是只有下表面存在的空氣阻力.如圖4所示，建立CX’Y’Z’坐標(biāo)系，其中X’軸指向水平速度方向，則進(jìn)動(dòng)應(yīng)發(fā)生在CY’Z’平面內(nèi).設(shè)進(jìn)動(dòng)角速度為Ω=(-Ω0 0)(在CX’Y’Z’坐標(biāo)系下)，進(jìn)動(dòng)角為φ.下面進(jìn)行定量計(jì)算.

圖4 紙牌進(jìn)動(dòng)的原因

已知本征坐標(biāo)系Cxyz與運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系CX’Y’Z’的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

(8)

(9)

其中i、j、k為Cxyz坐標(biāo)系的單位矢量，i’、j’、k’為CX’Y’Z’坐標(biāo)系的單位矢量.因此，對于坐標(biāo)為(x，y，z)的面元，轉(zhuǎn)換到CX’Y’Z’坐標(biāo)系后的坐標(biāo)為

(X′Y′Z′)=(xyz)

(10)

進(jìn)而可得CX’Y’Z’坐標(biāo)系下面元的進(jìn)動(dòng)速度：

(11)

換回Cxyz坐標(biāo)系：

(12)

只取z分量，代入化簡得

vΩ⊥=Ω(xsinθ-ycosθ)

(13)

故面元垂直表面的合速度為

v⊥=-vZ′cosφ+Ω(xsinθ-ycosθ)

(14)

此處已利用vY′≡0的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系特征.而此微元受到的空氣阻力為

(15)

空氣阻力對質(zhì)心的力矩為

=(ydFf-xdFf0)

(16)

此力矩?fù)Q到CX’Y’Z’坐標(biāo)系：

dM′=(ydFf-xdFf0)

(17)

由式(15)(17)，對紙牌平面積分即得總力矩：

(18)

對式(18)進(jìn)行分析.MX’不為0，說明紙牌應(yīng)有X’方向的進(jìn)動(dòng)，但現(xiàn)象中進(jìn)動(dòng)只發(fā)生在CY’Z’平面，這可以用歐拉方程解出的旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定性解釋[1].

因此，我們忽略了X’方向的進(jìn)動(dòng)，將重點(diǎn)放在Y’,Z’方向上.會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)十分漂亮的結(jié)果.令

則由式(18)得

(19)

發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)的合力矩恰好與角動(dòng)量方向垂直，如圖5所示.正是這力矩使角動(dòng)量L在CY’Z’平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).

圖5 合力矩方向與角動(dòng)量方向

2.2 運(yùn)動(dòng)方程

此進(jìn)動(dòng)對紙牌軌跡的影響顯著.定性來看，一方面，由于紙牌的立起，沿Z’方向的阻力分量減少，導(dǎo)致飛行時(shí)間的縮短.另一方面，由于紙牌的立起，沿X’負(fù)方向、Y’方向的阻力分量增加，導(dǎo)致紙牌發(fā)生明顯的側(cè)飛.定量來看，需要求解紙牌的運(yùn)動(dòng)方程.

首先利用角動(dòng)量定理求解進(jìn)動(dòng)角.

(20)

不難發(fā)現(xiàn)，式(20)解出的是一個(gè)與Ω無關(guān)的恒等式，通過此等式可以發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律，但與本文研究無關(guān)暫不予討論.等式與Ω無關(guān)，可視為初始進(jìn)動(dòng)角速度Ω0確定后，產(chǎn)生的力矩將與Ω保持平衡，不會(huì)再使其發(fā)生改變.即

Ω=Ω0

(21)

知曉了紙牌的進(jìn)動(dòng)規(guī)律，就可以求解下表面空氣阻力在3個(gè)方向的分量，從而求解運(yùn)動(dòng)方程.由(15)式積分，再轉(zhuǎn)換到OXYZ坐標(biāo)得

(22)

其中

此處已利用vZ’=vZ.比較各力大小：忽略a、b等共有項(xiàng)，黏滯阻力中含有黏度η，為10-5數(shù)量級(jí)[7]，馬格努斯力與邊緣阻力均含有紙牌厚度項(xiàng)h，均為10-4數(shù)量級(jí).因此，相比下表面空氣阻力，其它力對紙牌運(yùn)動(dòng)的影響微乎其微，可以忽略.于是動(dòng)力學(xué)方程為

(23)

結(jié)合式(22)即可求解出X(t)、Y(t)、Z(t).

2.3 參數(shù)分析

式(23)表示的動(dòng)力學(xué)方程較復(fù)雜，因此無法求出運(yùn)動(dòng)方程的解析解，但可以通過數(shù)值解進(jìn)行參數(shù)分析，得出紙牌運(yùn)動(dòng)的一些規(guī)律.不同參數(shù)下X(t)、Y(t)、Z(t)的數(shù)值解如圖6所示.

圖6 可能參數(shù)下的運(yùn)動(dòng)軌跡

其中，圖6中的(a)圖為初速度大小v0不同時(shí)的情況.可以發(fā)現(xiàn)，v0較小時(shí)，不僅X方向的運(yùn)動(dòng)較慢，Y方向速度也較小，甚至?xí)霈F(xiàn)回旋的情況，而初速度大小對Z方向的運(yùn)動(dòng)沒有影響.(b)圖為角速度大小ω不同時(shí)的情況，不難發(fā)現(xiàn)，只要ω足夠大，足以保持紙牌旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定，則ω的變化對運(yùn)動(dòng)沒有影響.(c)圖為紙牌質(zhì)量m變化時(shí)的情況，可以發(fā)現(xiàn)，m越大，X方向運(yùn)動(dòng)占比越多，Z方向下落得越快，即紙牌受到氣流的影響越小，這與常識(shí)相符.圖(d)為紙牌尺寸不同時(shí)的情況，其中小尺寸Mini Size(3.7 cm×6.0 cm)、橋牌尺寸Bridge Size(5.7 cm×8.7 cm)、撲克尺寸Poker Size(6.3 cm×8.8 cm)為市面常見的尺寸，可以發(fā)現(xiàn)，尺寸越小，X方向運(yùn)動(dòng)占比越多，Z方向下落越快，即紙牌受空氣影響越小，這與常識(shí)相符.

實(shí)際上，進(jìn)動(dòng)角速度大小Ω也是影響運(yùn)動(dòng)的重要因素，但它是ω、v0等多變量的函數(shù)，具體關(guān)系需要對繞流情況更精確的建模.本文將其認(rèn)為是不變的常量，其值可以由實(shí)驗(yàn)測得.

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)對真實(shí)紙牌軌跡進(jìn)行了分析，并在一定程度上驗(yàn)證了前文的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.手動(dòng)扔紙牌無法對其初速度、初角速度等進(jìn)行控制，因此本文自主設(shè)計(jì)了一個(gè)紙牌發(fā)射器，如圖7所示.

圖7 紙牌發(fā)射器示意圖

此發(fā)射器以兩個(gè)可正反雙向轉(zhuǎn)的飛輪為主體，兩邊各六檔可調(diào).其中，A為檔位調(diào)節(jié)器，用于控制飛輪轉(zhuǎn)向和轉(zhuǎn)速，B為發(fā)動(dòng)機(jī)，C為飛輪，用于傳動(dòng)的，D為齒輪，E是放置紙牌的平臺(tái)，F(xiàn)是可活動(dòng)支撐軸，通過改變飛輪與平臺(tái)的距離，可以控制飛輪給予紙牌的壓力.此裝置的優(yōu)點(diǎn)：1)相同條件的可重復(fù)性.通過在相同檔位發(fā)射紙牌，可以很大程度上保證紙牌出射狀態(tài)相同；2)紙牌水平出射.兩個(gè)飛輪的對稱設(shè)計(jì)可以保證紙牌不會(huì)因一邊受壓而翹起，從而保證水平出射；3)初速度與初角速度不會(huì)產(chǎn)生一一對應(yīng)關(guān)系，方便后續(xù)的控制變量研究.

通過物理影像分析軟件Tracker，可以測出紙牌發(fā)射的初速度、初角速度與進(jìn)動(dòng)角速度.利用側(cè)視與俯視的拍攝，可以擬合出X、Y、Z方向的軌跡方程.通過選取多組條件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并與理論進(jìn)行了對比.選出有代表性的一組如圖8所示.

其中阻力系數(shù)k是通過靜止釋放紙牌測量落地時(shí)間得到的.可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)與理論的契合程度較高.但嘗試過多組條件后，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中X方向的運(yùn)動(dòng)占比均比理論要高，下落速度也均比理論要快，即空氣的影響并沒有預(yù)想中的那么大.這一方面可能來源于物理影像分析軟件Tracker視差等實(shí)驗(yàn)誤差，另一方面可能是我們的模型還可以進(jìn)一步完善.

X、Y、Z軸方向上運(yùn)動(dòng)軌跡的理論與實(shí)驗(yàn)對比

4 總結(jié)與討論

本文在假設(shè)紙牌穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)的前提下，利用平板繞流和剛體動(dòng)力學(xué)規(guī)律，近似計(jì)算了一個(gè)紙牌的運(yùn)動(dòng)軌跡，并通過參數(shù)分析得到了紙牌運(yùn)動(dòng)的一些規(guī)律.可以發(fā)現(xiàn)，影響紙牌運(yùn)動(dòng)的主要力是下表面的空氣阻力，它一方面導(dǎo)致了紙牌的進(jìn)動(dòng)，一方面通過進(jìn)動(dòng)產(chǎn)生了3個(gè)方向的分力.本文進(jìn)而利用自主設(shè)計(jì)的紙牌發(fā)射器，在一定程度上驗(yàn)證了理論，具有較高契合度.事實(shí)上，旋轉(zhuǎn)紙牌周圍的空氣流動(dòng)比平動(dòng)情況的平板繞流要復(fù)雜，進(jìn)動(dòng)過程也不能簡單地用空氣阻力來解釋.更完善的模型需要更深刻的空氣動(dòng)力學(xué)理論進(jìn)行指導(dǎo)，這有賴于后續(xù)研究.