論角動量的態空間

閆二斌

(西咸新區涇河新城第一中學，陜西 西安 713700)

微觀客體的角動量有兩種，即軌道角動量和自旋角動量.軌道角動量即為核外電子相對于原子核的運動所產生的角動量，而自旋角動量則被認為是電子等基本粒子的內稟屬性.不過不論是哪種角動量，其數學形式是一致的，即其二者所滿足的對易關系和本征方程是相同的.區別僅在于軌道角動量的量子數l僅可取整數，而自旋角動量的量子數s可取整數和半整數.關于角動量的完備理論在眾多教材中都可找到詳盡的描述[1-7]，但是關于不同角動量量子數下角動量態空間的結構，卻未能找到相關的文獻，所以接下來分別以角動量量子數取0.5和1為例，對角動量態空間的結構、態疊加原理以及量子態的制備做一個較為粗淺的討論，錯誤之處懇請大家批評指正.

1 自旋為二分之一

其本征值和相應的本征態為

其中的復數參量a、b滿足|a|2+|b|2=1. 自旋角動量z分量算符:

其本征值和相應的本征態為

自旋角動量x分量算符：

其本征值和相應的本征態為

(1)

(2)

(3)

接下來討論一下斯特恩—蓋拉赫實驗. 我們知道，斯特恩—蓋拉赫實驗中的實驗裝置具有方向性.對于二分之一自旋的粒子，易知如果此方向和粒子所處角動量狀態的態方向平行或反向平行，則測量將擁有確定的值，可稱這種測量為等向測量；而如果實驗裝置的方向和粒子的態方向不平行，那么測量的結果將是不確定的，可稱這種測量為變向測量. 因為在變向測量中，測量前粒子的態方向和測量后粒子的態方向是不平行的，變向測量改變了粒子的態方向.

也就是說，對于二分之一自旋的粒子，不論粒子處于自旋角動量態空間的哪一個態，它的態方向都是明確的,人們若強行用斯特恩—蓋拉赫實驗裝置測量粒子的自旋在其它方向上的投影，就會改變粒子的態方向. 人們可能要用“坍縮”這個詞來形容這一狀況，實際上并不是這樣. 因為對于二分之一自旋粒子的角動量態空間，沒有那個狀態是特殊的，在某個表象下，所有的疊加態和本征態沒有誰比誰更好，它們地位平等，只是態方向不同罷了，所以此時用坍縮這個詞描述變向測量并不非常準確.因為在變向測量中，只是粒子的態方向發生了旋轉，而粒子的狀態既沒有“坍”也沒有“縮”.

2 自旋為一

同樣的，令

(4)

|a|+|c|=1 或 |a|=|c|

(5)

我們對s=1.5，s=2，… 也可以做完全類似的討論和計算，會得到和s=1時類似的結論.也就是說，在s=0.5時，態空間中的每個態都有態方向，而當s≥1時，態空間中的態可以被分為兩類，即有態方向的和沒有態方向的.也可以說，當s≥1時，純態被分為兩種，即有態方向的和沒有態方向的. 對于沒有態方向的態，存在一些疑問，將在第3節中將詳細論述.

3 一些疑問

(6)

那么根據量子力學中的態疊加原理，由式(6)中的3個態線性疊加而成的態也應該是系統可能的狀態，亦即D3中的每一個態都是系統的可能狀態.現在的問題是如何制備D3中的狀態？即在s=1時，如何制備粒子角動量的一個純態？

如果觀點一是正確的，則意味著需要修改態疊加原理的適用范圍.如果觀點一是錯誤的，則需要實驗物理學家立即動手實驗，回答如何制備這些狀態的問題.如果觀點二是正確的，則需要我們從理論或實驗的角度去研究這些狀態有什么特性或真正的奇妙之處，是否有什么奇特的應用價值.

如果觀點三是正確的，則需要我們首先提出高維空間的數學理論，例如給出其它維度上自旋角動量的分量算符(厄米矩陣)，然后便要給出這些態的態方向的數學描述.接下來我們會問：由于這些態是真實存在的，而且也有態方向(高于三維)，那么我們能否從實驗上觀察到這些態的態方向(高于三維)，以便證明空間是大于三維的，或者說發現那些以前不為人知、隱藏在在角動量態空間中的那些隱秘的空間維度？這是在用實驗證明空間大于三維嗎？

這些問題是非常有趣的，而且急需解答.

致謝：作者非常感謝作者的指導老師西北大學現代物理研究所王兆龍副教授、辛國國副教授對作者的指導；作者在西北大學物理學院賀慶麗教授、鄧治國副教授、張正軍教授、楊戰營教授、趙佩副教授、王曉輝副教授等教授的課堂上受益匪淺；作者非常感謝作者的大學同學白曉成、韓陳煦、周歷波、邢健崇等人與作者徹夜長談的討論.