基于平拋運動對第一宇宙速度的近似推導

湯燁錦 李守謙

（長沙市南雅中學，湖南 長沙 410029）

1 引言

第一宇宙速度，又稱為環繞速度是指在地球上發射的物體（例如航天器或衛星）在離地面不遠處繞地球作勻速圓周運動所需要的最小初始速度.可見，第一宇宙速度是人類實現太空探索的一個重要概念.［1］第一宇宙速度一般是利用萬有引力推導出來的，［2］也可利用重力近似導出.但是，牛頓在其《自然哲學的數學原理》中提出一個設想，如果從高山上拋出物體，拋出速度很大，物體就不會落回地面.［3］這就引出了以下疑問：（1）能不能從拋體運動導出第一宇宙速度呢？（2）為什么拋出速度較小時，物體會落到地面，而拋出速度足夠大時就不會落回到地面呢？（3）如果拋出速度很大，拋出物體不落回地面，那么，這時的物體會如何運動呢？為此，本文利用平拋運動對第一宇宙速度進行推導，通過分析對上述疑問進行了回答.

2 第一宇宙速度的常規推導方法

設地球質量為M，衛星（運動物體）質量為m，根據萬有引力定律，二者之間的引力為

其中G為萬有引力常數，r為地球與衛星之間的距離或稱為衛星的軌道半徑.

當衛星以速率v1繞地球作圓周運動時，必須受到向心力的作用，這個向心力就是地球對衛星的引力，因此有

這就是第一宇宙速度的常用計算公式.［2］

另一方面，在地球附近，衛星受到地球的引力就是衛星的重力，利用重力等于衛星圍繞地球作圓周運動的向心力有

上面就是導出第一宇宙速度的兩種常用方法，v1和v2則是計算第一宇宙速度的兩個常用公式.取G＝6.67×10－11N·m2·kg－2，M＝6×1024kg，g＝9.8 m/s2，將衛星的軌道半徑r近似取為地球平均半徑6.4×106m，代入（3）和（5）式得到第一宇宙速度為v1＝7892 m/s，v2＝7920 m/s，兩者非常接近，所以第一宇宙速度的常用值為7.9 km/s.

3 基于平拋運動的推導方法

假設在一座山頂上水平發射一顆炮彈，發射炮彈的位置記為A，地心位置記為O，如果炮彈沒有受到地球引力作用，炮彈將垂直于直線OA運動，并于1 s后到達B點，如圖1所示.事實上，炮彈必須受到地球的引力作用，所以炮彈的實際位置為C點.由于重力的作用，C點在B點下方4.9 m處.顯然，如果C點位置與地面之間的距離小于A點與地面之間的距離，炮彈將落到地面上，否則就不會落到地面上.如果C點位置與地面之間的距離與A點與地面之間的距離相同，炮彈將沿地球表面作圓周運動，這實際上就是衛星的軌道運動，因此，滿足此條件的炮彈速度就是第一宇宙速度.根據上述分析，圖1中三角形OAB是一個直角三角形，直角邊OA近似為地球半徑r，斜邊OB比OA長4.9 m，所以求得直角邊AB為

圖1 平射炮彈運動示意圖

由于直角邊AB是炮彈在1 s所飛行的距離，所以等于炮彈的速度，記為v3，于是有

這就是我們導出的第一宇宙速度的近似計算公式.取r＝6.4×106m，代入公式（6），得到v3＝7920 m/s，這個計算結果與公式（5）的計算結果完全相同，與公式（3）的計算結果十分接近.為了檢驗公式（6）的可靠性，我們對地球半徑的不同取值進行了計算，對比情況如表1所示.可以看出，公式（6）與公式（5）的計算結果確實完全相同，并與公式（3）的計算結果非常接近.

表1 地球半徑取不同值時第一宇宙速度計算結果

從以上推導過程和結果可知，基于平射炮彈的運動推導第一宇宙速度，方法簡明直觀，且結果有足夠的精度.這就回答了基于牛頓設想所帶來的第一問題，即可以從拋體運動導出第一宇宙速度.

4 分析與討論

如果炮彈速度小于7.9 km/s，它在1 s后的位置記為B1，但它仍然要沿“豎直方向”下降4.9 m，所以炮彈實際位置C1必然要落在表示等高線的虛線下方，因此，隨著時間的增大，炮彈離地面越來越近，最終必然要落到地面上.反之，如果炮彈速度大于7.9 km/s，它在1 s后的位置記為B2，但它也只沿“豎直方向”下降4.9 m，所以炮彈實際位置C2必然要落在表示等高線的虛線上方，顯然，隨著時間的增大，炮彈必然離地面越來越遠，最終脫離地球，因此只有滿足（6）式的速度才能保證炮彈繞地球表面做圓周運動，這就是第一宇宙速度的含義所在，而且上述分析同時也回答了基于牛頓設想所帶來的另外兩個問題.

5 主要結論

最后歸納一下，本文從牛頓的“拋體設想”出發提出了3個問題，然后從平拋運動出發進行分析，回答了這3個問題.本文主要結論如下.

第一，從拋體運動出發，導出了計算第一宇宙速度的一個近似公式，計算結果與兩種常用算法完全一致.

第二，從圖1所示幾何關系可直觀看出，當拋體速度小于第一宇宙速度時，拋體將離地面越來越近，最終必然要落到地面上.

第三，如果拋體速度恰好等于第一宇宙速度，拋體將繞地球表面做勻速圓周運動.

第四，如果拋體速度大于第一宇宙速度，拋體將離地球越來越遠，最終脫離地球的吸引.當然，這個結論僅僅是針對圓軌道運動推論出來的，因而與實際情況不符.事實上，當拋體速度大于第一宇宙速度時，拋體將繞地球做橢圓軌道運動，直到拋體速度大于第二宇宙速度時，拋體才會脫離地球引力系統.