有限群的δ-置換子群

高建玲，毛月梅

山西大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西 大同 037009

本文所考慮的群皆為有限群．用G表示群，p表示素?cái)?shù)，π(G)表示|G|的所有素因子組成的集合，|G|p表示G的Sylowp-子群的階．對(duì)群系F，用ZF(G)表示G的所有F-超中心正規(guī)子群的積．用U表示全體超可解群組成的群系．所有未說(shuō)明的符號(hào)與術(shù)語(yǔ)都是標(biāo)準(zhǔn)的，可參看文獻(xiàn)[1-2].

有限群結(jié)構(gòu)的確定是有限群研究的根本問(wèn)題，這方面的研究已有許多結(jié)果，如文獻(xiàn)[3-10]．運(yùn)用置換子群的性質(zhì)是研究有限群結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要手段．因此，置換子群的概念被很多學(xué)者多次推廣．其中，文獻(xiàn)[6]引入了子群的δ-置換性：令集合δ是G的Sylow子群的完全集，即對(duì)每個(gè)p∈π(G)，集合δ僅包含G的一個(gè)Sylowp-子群，若群G的子群H置換δ中的所有元素，則稱子群H在G中δ-置換．并證明了：若F為包含全體超可解群U的飽和群系，下列兩條等價(jià)：

1)G∈F；

文獻(xiàn)[7]得出：若Gp的極大子群在G中δ-置換，其中Gp∈δ，p∈π(G)且p最小，那么G為p-冪零群．文獻(xiàn)[8]得出：設(shè)p∈π(G)，P∈Sylp(G)且H為G的p′-Hall子群，使得G=P·H，令集合δ是H的Sylow子群的完全集，如果G滿足下列兩條：

1)NG(P)/CG(P)是p-群；

2)P的所有極大子群在H中δ-置換.

那么G為p-冪零群.

文獻(xiàn)[9]從Gp以及Gp∩F*(G)的所有子群的δ-置換性兩方面刻畫了有限群的結(jié)構(gòu)．另外，文獻(xiàn)[10]針對(duì)次正規(guī)δ-置換子群的嵌入性進(jìn)行了研究，并針對(duì)δ-置換性對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響進(jìn)行了研究．本文將從子群的階以及非Frattinip-主因子兩方面討論準(zhǔn)素?cái)?shù)子群的δ-置換性，進(jìn)一步刻畫有限群的結(jié)構(gòu)，得到超可解群的新判別準(zhǔn)則，并將以上結(jié)論推廣.

1 記號(hào)及引理

δN={GpN：Gp∈δ}δN/N={GpN/N：Gp∈δ}δ∩N={Gp∩N：Gp∈δ}

定義1[6]假定H≤G，集合δ是G的Sylow子群的完全集，若H置換δ中的所有元素，則稱H在G中δ-置換.

假設(shè)P是一個(gè)p-群．若P不是非交換2-群，記Ω(P)=?1(P)，否則記Ω(P)=?2(P).

引理3[12]假定F是一個(gè)可解飽和群系，P是G的正規(guī)p-子群，且C是P的Thompson臨界子群[13]，若P/Φ(P)≤ZF(G/Φ(P))或Ω(C)≤ZF(G)，則P≤ZF(G).

引理4[12]假設(shè)C是非平凡p-子群P的Thompson臨界子群，則

引理5[14]若群G的廣義Fitting子群F*(G)是可解的，則F*(G)=F(G).

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)P是G的正規(guī)p-子群，集合δ是G的Sylow子群的完全集．假定P有一個(gè)子群D，滿足1<|D|<|P|，且P的每個(gè)階是|D|的子群H在G中δ-置換．進(jìn)一步，當(dāng)P是非交換2-群且|P∶D|>2時(shí)，假定P的每個(gè)階是2|D|并且方次數(shù)大于2的子群H也在G中δ-置換，則P≤ZU(G).

證假設(shè)結(jié)論不成立，令(G，P)是使得|G|+|P|為最小的反例．假定N是G的極小正規(guī)子群且包含于P．按以下步驟導(dǎo)出矛盾：

步驟1 若|N|<|D|，則N是G的包含于P的唯一的極小正規(guī)子群，滿足P/N≤ZU(G/N)并且|N|>p.

設(shè)H/N是P/N的子群，滿足|H/N|=|D|/|N|或|H/N|=2|D|/|N|(若P/N是非交換2-群，|P/N∶D/N|>2且exp(H/N)>2)，則H是P的子群，滿足|H|=|D|或|H|=2|D|(若P是非交換2-群，|P∶D|>2且exp(H)>2)．由假設(shè)知，H在G中δ-置換．因此由引理1知H/N在G/N中δN/N-置換．由G的選取可知P/N≤ZU(G/N)．若|N|=p，則P≤ZU(G)，矛盾．所以|N|>p．假定R是G的包含于P且不同于N的極小正規(guī)子群．因?yàn)镹R/N≤ZU(G/N)，又因NR/N是G/N的極小正規(guī)子群，故|R|=|NR/N|=p，這可推得|R|≤|N|<|D|．類似前面的討論有P/R≤ZU(G/R)，因此有P≤ZU(G)，矛盾．所以N是G的包含于P的唯一的極小正規(guī)子群.

步驟2 |N|=|D|.

再由N的極小性易知N1=1或N1=N，而1<|D|<|N|，矛盾.

以下假設(shè)|N|<|D|．由步驟1知P/N≤ZU(G/N)．若N≤Φ(P)，則由引理2有

P/Φ(P)≤ZU(G/Φ(P))

再由引理3知P≤ZU(G)，矛盾．故N≤|Φ(P)．由步驟1可知Φ(P)=1．假設(shè)U是N在P中的補(bǔ)，N1是N的極大子群，滿足：N1在G的某個(gè)Sylowp-子群Gp中正規(guī)．不失一般性，可設(shè)Gp∈δ．因?yàn)?/p>

|D|<|P|=p|U||N1|

故|U|≥|D|/|N1|．不妨取U的階是|D|/|N1|的子群V．令T=N1V，則|T|=|N1V|=|D|，由假設(shè)知T在G中δ-置換，因此對(duì)任一q∈π(G)且p≠q，取Q∈Sylq(G)且Q∈δ，有TQ=QT．因?yàn)?/p>

故Q≤NG(N1)，顯然Gp≤NG(N1)．假定q1，q2，…，qt是π(G)的所有與p不同的元素，Qi∈Sylqi(G)且Qi∈δ，則

從而|N|=p，與步驟1的結(jié)果矛盾．因此|N|=|D|.

步驟3 |D|=p.

步驟4 最后矛盾.

當(dāng)P是非交換2-群時(shí)，由步驟3及定理假設(shè)知P的所有素?cái)?shù)階或者4階循環(huán)子群在G中δ-置換．首先證明G有唯一的正規(guī)子群R滿足：P/R是G的主因子，R≤ZU(G)并且|P/R|>p.

令P/R是G的主因子．顯然，(G，R)滿足定理假設(shè)．再由(G，P)的選擇有R≤ZU(G)．若|P/R|=p，則P/R≤ZU(G/R)，因此P≤ZU(G)，矛盾．故|P/R|>p．假設(shè)P/L是G的主因子，且滿足P/R≠P/L．類似前面的討論有L≤ZU(G)．由引理2有

P/R=RL/R≤RZU(G)/R≤ZU(G/R)

在此情況下，可得出與上面相同的矛盾．因此G有唯一的正規(guī)子群R滿足：P/R是G的主因子，R≤ZU(G)并且|P/R|>p.

假定C是P的一個(gè)Thompson臨界子群．若Ω(C)

因P/R∩Z(Gp/R)>1，取

L/R≤P/R∩Z(Gp/R) |L/R|=p

定理3假設(shè)G是p-可解群，集合δ是G的Sylow子群的完全集，P∈Sylp(G)且P∈δ．若對(duì)G的任一非Frattinip-主因子H/K，都存在P的一個(gè)極大子群P1，使得P1在G中δ-置換，且H/K≤/P1K/K，則G是p-超可解群.

證假設(shè)結(jié)論不成立，令G為極小階反例.

假設(shè)N是G的極小正規(guī)子群．下證G/N滿足定理?xiàng)l件．設(shè)(H/N)/(K/N)是G/N的非Frattinip-主因子，則

H/K?(H/N)/(K/N)≤/Φ((G/N)/(K/N))?Φ(G/K)

且H/K是G的p-主因子．由假設(shè)知，存在P的一個(gè)極大子群P1在G中δ-置換且H/K≤/P1K/K．若N是p′-子群，則P1N/N是PN/N的極大子群．若N是p-子群且N≤/P1，則P=NP1．因?yàn)镚的每個(gè)Sylowp-子群覆蓋G的所有p-主因子，故H≤PK=P1K，與H/K≤/P1K/K矛盾．所以N≤P1，因此P1/N是P/N的極大子群．由引理1可知，P1N/N在G/N中δN/N-置換．顯然有

(H/N)/(K/N)≤/(P1N/N)/(K/N)

由G的極小性可知，G/N是p-超可解群．若N≤Op′(G)，則G是p-超可解群，矛盾．故N是交換p-子群．易知N是G的非Frattinip-主因子，由假設(shè)得，存在P的一個(gè)極大子群P2在G中δ-置換且N≤/P2．所以P=NP2．由假設(shè)知，對(duì)任一q∈π(G)且p≠q，取Q∈Sylq(G)且Q∈δ，有P2Q=QP2．又因

故Q≤NG(N∩P2)，顯然P≤NG(N∩P2)．假設(shè)q1，q2，…，qt是π(G)的所有與p不同的元素，Qi∈Sylqi(G)且Qi∈δ，可得

因此N∩P2=1或N≤P2，這兩種情形都不可能.

因此，結(jié)論成立.