立足軌跡方程的求解，探究橢圓的生成方式

張思思

摘 要：基于橢圓單元教學(xué)整體分析進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，充分利用教材例題和習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生通過求解軌跡方程，總結(jié)歸納橢圓的幾種不同生成方式，使學(xué)生在親歷的過程中理解并建構(gòu)知識(shí)、發(fā)展能力、提升素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：單元教學(xué);橢圓方程;軌跡方程;直觀想象;數(shù)學(xué)運(yùn)算;邏輯推理

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

（一）內(nèi)容

橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程、軌跡方程的求解。

（二）內(nèi)容解析

內(nèi)容的本質(zhì)：解析幾何是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的標(biāo)志性成果，是微積分創(chuàng)立的基礎(chǔ)。本節(jié)課是橢圓單元的第2課時(shí)，是學(xué)生學(xué)習(xí)完橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之后的綜合應(yīng)用。通過對(duì)教材例題和習(xí)題的探究，能熟練掌握軌跡方程的幾種常用求解方法，分析橢圓的不同生成方式，從而對(duì)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程有更深的認(rèn)識(shí)。掌握使用坐標(biāo)法研究幾何問題的方法，用方程的觀點(diǎn)實(shí)現(xiàn)幾何問題的代數(shù)化解決。

蘊(yùn)含的思想和方法：感悟平面解析幾何中蘊(yùn)含的坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)作圖能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力等數(shù)學(xué)能力。提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

知識(shí)的上下位關(guān)系：從知識(shí)上講，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是在直線和圓的基礎(chǔ)上，解析法的進(jìn)一步運(yùn)用，也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ);從方法上講，它為我們類比研究雙曲線、拋物線提供了基本研究思路，注重?cái)?shù)學(xué)思想和基本方法的引領(lǐng)性。充分體現(xiàn)橢圓的重要地位，起到承上啟下的重要作用，數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，在本章中得到了充分體現(xiàn)。

育人價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

根據(jù)上述分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：掌握軌跡方程的求解方法，認(rèn)識(shí)橢圓的幾種不同生成方式，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

（一）目標(biāo)

掌握軌跡方程的幾種常用求解方法，分析橢圓的不同生成方式，掌握使用坐標(biāo)法研究幾何問題的方法，把橢圓作為重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)它的典型示范作用，注重?cái)?shù)學(xué)思想和基本方法。

（二）目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

1.能熟練掌握軌跡方程的幾種常用求解方法;

2.能理解橢圓的幾種不同生成方式，對(duì)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程有更深的認(rèn)識(shí)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想;

3.能使用坐標(biāo)法研究幾何問題，用方程的觀點(diǎn)實(shí)現(xiàn)幾何問題的代數(shù)化解決;

4.能類比橢圓的研究方法，研究雙曲線、拋物線的相關(guān)問題。

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生在解決解析幾何有關(guān)問題的時(shí)候，存在以下幾種問題：

（一）作圖意識(shí)薄弱，解題時(shí)沒有養(yǎng)成做出草圖或相對(duì)準(zhǔn)確圖像的意識(shí);

（二）對(duì)題目中條件的實(shí)際含義理解不清，無法熟練掌握幾何條件與代數(shù)條件互化;

（三）計(jì)算能力欠缺，對(duì)待相對(duì)復(fù)雜計(jì)算存在較強(qiáng)畏懼感;

（四）表達(dá)規(guī)范有待加強(qiáng)，書寫或表達(dá)不規(guī)范、不完整。

教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的幾種不同生成的理解，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

四、教學(xué)支持條件分析

借助幾何畫板、GeoGebra等數(shù)學(xué)軟件制作課件供教師演示，為教師和學(xué)生探究軌跡方程和進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了良好的硬件基礎(chǔ)。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：舊知回顧，引入課題

問題1：在本單元前我們介紹了圓錐曲線的研究思路是什么？

回答預(yù)案：曲線的幾何特征——曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程——通過方程研究曲線的性質(zhì)——應(yīng)用

問題2：上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的定義，并根據(jù)橢圓的幾何特征，使用坐標(biāo)法研究得到了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。在這個(gè)過程中，我們總結(jié)了求解軌跡方程的一般步驟是什么？

回答預(yù)案：建系——設(shè)點(diǎn)——限式——代換——化簡——檢驗(yàn)

師生活動(dòng)：通過問題引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，總結(jié)在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程中，研究軌跡方程求解的一般步驟。

追問1：軌跡方程的常用求解方法有哪些？橢圓是否還有其他的生成方式？

接下來我們通過研究教材上的例題和習(xí)題，來研究這兩個(gè)問題。

設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，引導(dǎo)學(xué)生思考橢圓是否有其他的生成方式。引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)教科書中的例題與習(xí)題，幫助學(xué)生深入理解圓錐曲線的幾何特征，熟練運(yùn)用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系。建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力，解決問題、分析問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)。

環(huán)節(jié)2：問題研討，典例剖析

探究1：利用定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

[例1]（教材P115-6）如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓O上任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線l和半徑PQ相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

問題3：本題隱藏的幾何特征是什么？分析點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程中的變與不變，為什么不變？

師生活動(dòng)：師生共同研究例1，教師通過GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)展示，幾何直觀展現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡，引導(dǎo)學(xué)生思考。教師個(gè)別提問，學(xué)生回答點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程中的變與不變。

追問2：（教材P115-10）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心O的軌跡方程，并說明它是什么曲線。

師生活動(dòng)：教師通過幾何畫板軟件動(dòng)態(tài)展示，幾何直觀展現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡。師生通過思考、討論、交流，共同總結(jié)得出圓心O到兩圓圓心距離之和為一個(gè)定值。

教師總結(jié)：軌跡方程的求解方法1——定義法;橢圓生成方式1——橢圓的第一定義。

設(shè)計(jì)意圖：通過信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用，增強(qiáng)教學(xué)的直觀性和操作性，使學(xué)生在信息技術(shù)的幫助下體會(huì)軌跡問題中的變與不變。

探究2：利用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

[例2]（教材P108例2）在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考，教師通過GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)展示，幾何直觀展現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡。師生共同分析得到，點(diǎn)P在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，可以由M為線段PD的中點(diǎn)得到點(diǎn)M與點(diǎn)P坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并由點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足圓的方程得到點(diǎn)M的坐標(biāo)所滿足的方程。教師板書例2的求解過程，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)利用相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)的軌跡方程的方法。

問題4：如果過點(diǎn)P作y軸的垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？

追問3：你能發(fā)現(xiàn)橢圓和圓之間的關(guān)系嗎？

師生活動(dòng)：教師通過GeoGebra軟件幾何直觀展現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，如果過點(diǎn)P作y軸的垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，圓按某一個(gè)方向作伸縮變換可以得到橢圓。

教師總結(jié)：軌跡方程的求解方法2——相關(guān)點(diǎn)法;橢圓生成方式2——利用伸縮與變換。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生思考橢圓與圓的關(guān)系，提高學(xué)生分析問題的能力。通過問題引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

探究3：利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

[例3]（教材P108例3）A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程。

師生活動(dòng)：學(xué)生上臺(tái)進(jìn)行扮演，其他同學(xué)進(jìn)行小組討論。教師引導(dǎo)學(xué)生討論所求方程是否滿足“曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程”和“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”兩個(gè)問題。

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生體驗(yàn)曲線與方程之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步理解通過方程研究曲線性質(zhì)的合理性，培養(yǎng)理性思維。

追問4：我們把這個(gè)問題一般化，是否橢圓上的點(diǎn)（長軸端點(diǎn)除外）與長軸的兩個(gè)端點(diǎn)連線的斜率之積是一個(gè)定值？如果是，這個(gè)定值是多少？

師生活動(dòng)：師生共同探究一般問題：

1.已知A（-a，0），B（a，0），點(diǎn)M在橢圓則。

橢圓的性質(zhì)：橢圓上的點(diǎn)（長軸端點(diǎn)除外）與長軸的兩個(gè)端點(diǎn)連線所成角是定值。

2.已知A（-a，0），B（a，0），點(diǎn)M滿足則點(diǎn)M的軌跡是橢圓（長軸端點(diǎn)除外），軌跡方程是。

教師通過對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程的變形，從數(shù)的角度進(jìn)行解釋：

，得，

得，得

教師總結(jié)：軌跡方程的求解方法3——直接法求軌跡方程;橢圓生成方式3——一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積是一個(gè)負(fù)常數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：不同于教材中從“距離”間的關(guān)系給出橢圓的定義，本例題從“角度”間的關(guān)系反映橢圓的性質(zhì)及其生成方法，引導(dǎo)學(xué)生理解坐標(biāo)法的基本思想，這條性質(zhì)還具有可推廣性，給后續(xù)拓展教學(xué)留下了空間。此外，按照從具體到抽象、從特殊到一般的方式，給學(xué)生提供歸納、概括的機(jī)會(huì)，得到生成橢圓的另一種方法，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積是一個(gè)負(fù)常數(shù)的軌跡是一個(gè)橢圓，使學(xué)生體會(huì)橢圓的幾何特征的不同的表現(xiàn)形式。

[例4]（教材P113例6）動(dòng)點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和M到直線距離的比是常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。

師生活動(dòng)：學(xué)生利用直接法求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓。

教師通過對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程的變形，從數(shù)的角度進(jìn)行解釋：

，得

并引導(dǎo)學(xué)生思考這個(gè)方程的幾何意義如何？教師通過GeoGebra軟件幾何直觀展現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納，得出橢圓的第二定義。

教師總結(jié)：橢圓生成方式4，橢圓的第二定義。

設(shè)計(jì)意圖：介紹橢圓的第二定義，體現(xiàn)從特殊到一般的過程，為后續(xù)引出拋物線的定義和圓錐曲線的統(tǒng)一定義作鋪墊。用“距離”的眼光看待問題，將推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的式子變形為，這說明“統(tǒng)一定義”和“個(gè)性定義”的等價(jià)性。從數(shù)的角度進(jìn)行分析，充分體現(xiàn)數(shù)與形的內(nèi)在統(tǒng)一性，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。將已有的幾何元素、幾何關(guān)系代數(shù)化，通過代數(shù)運(yùn)算及變形，考查不同途徑下代數(shù)運(yùn)算的幾何意義，發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，提升學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

環(huán)節(jié)3：當(dāng)堂檢測，鞏固知識(shí)

設(shè)計(jì)意圖：通過習(xí)題的訓(xùn)練，提高學(xué)生解決與分析問題的能力。有利于學(xué)生理解和掌握相應(yīng)的內(nèi)容，從而獲得四基、四能，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

課堂小結(jié)：談?wù)劚竟?jié)課你有何所想所得？

本節(jié)課通過研究軌跡方程的求解方法、探究橢圓的幾種不同的生成方式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想。

1.軌跡方程的求解方法。

2.進(jìn)一步掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的幾種不同的生成方式。

設(shè)計(jì)意圖：通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)生的抽象概括能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。滲透直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

作業(yè)布置：

1.書面作業(yè)：完成目標(biāo)檢測。

2.整理作業(yè)：類比探究雙曲線的幾種不同生成方式。

3.拓展作業(yè)：解析幾何形成與發(fā)展（可上網(wǎng)查閱），推薦書目：阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》。

設(shè)計(jì)意圖：教材中安排了“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作，解析幾何的形成與發(fā)展”，要求學(xué)生查閱與解析幾何有關(guān)的文獻(xiàn)，了解解析幾何形成與發(fā)展的過程，以及解析幾何對(duì)人類文明的主要貢獻(xiàn)，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的滲透。

參考文獻(xiàn)

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-1學(xué)生用書.[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-1教師用書.[M].北京：人民教育出版社，2004.

[3]普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)學(xué)生用書.[M].北京：人民教育出版社，2020.

[4]普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)教師用書.[M].北京：人民教育出版社，2020.

[5]普通高中教科書數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)手冊(cè).[M].北京：人民教育出版社，2020.