函數連續性及其間斷點的探析

周麗佳 王品 張占美

摘要：本文分析了高等數學中連續性的概念，對間斷點的判斷及常見錯誤通過經典例題的形式進行了分析。

關鍵詞：連續性;間斷點

函數的連續性是高等數學中一個非常重要的數學概念，連續性反映了自然現象連續變化的共同特性。古典物理學有一句格言：自然界中一切都是連續的。高等數學中所研究的主要對象也是連續函數。

一、函數在一點處連續的定義

函數在一點處連續的定義主要兩種形式。

定義1：設函數在的某一鄰域內有定義，如果趨近于零時，的極限值是0，即，那么，函數在點處就是連續的。

定義1刻畫了函數連續的本質—自變量的微小變化引起的只能是函數值的微小變化。連續的這一定義也解釋了眾多自然現象。例如汽車在行駛過程中，雖然做的是變速運動，但是當時間間隔非常非常短時，速度的變化就會非常小。再例如一天中溫度差異很大，但是如果時間間隔非常短時，溫差就會很小等等。

定義2：設函數在的某一鄰域內有定義，若極限值與函數值相等，即，則稱函數在點處連續的。

這兩個都是函數在一點處的定義，那這兩個定義有什么關系呢？定義1的關系式中，令，則當趨近于0時，與有什么關系呢？顯然趨近于。那么，關系式如何變形？趨近于0可以換成趨近于，可以換成，于是，我們得到，由于是常數值，它的極限就是它本身，因此，得到，從而得出。通過分析我們可以看出，定義2其實就是對定義1進行了形式上的改寫。但是，在實際判定函數的連續性時，我們通常采用定義2。利用定義2我們可以歸結為要判斷函數在一點處是否連續需滿足三個條件。一是看定義，看函數在該點是否有定義。二是求極限，求函數在該點的極限值。三是作判斷，判斷函數在該點的極限值是否等于函數值。三個條件缺一不可！

二、函數連續性的判斷

接下來我們用定義討論一下函數在處的連續性。

這是一個分段函數，用定義2來判定，仍然要參照三個條件。

看定義：在函數的第一段，因此函數在處有定義，其實，分段函數從解析式中就可以看出分段點出是否有定義，所以無需特別討論定義;求極限：分段點處的極限應該如何求解呢？將這一點分別代入它左右兩側的解析式，分別求左右極限。左極限如何代？代入小于0的第二段，極限值是1，而右極則代入大于0的第一段，極限值是0，左右極限雖然都存在，但卻不相等，因此極限不存在，不滿足第二個條件，所以函數在處不連續。

數學講究數形結合，再從函數圖像上來看，在小于0的左側，函數是一條單調遞增的直線，處及其右側呢？是正弦函數的一部分，從圖像上明顯看出，函數在處不連續。

雖然函數在處不連續，但是其實，函數在處的右極限值是與它的函數值相等的，此時，我們稱函數在處右連續。從中，我們可以總結出右連續的定義：如果函數在某一點的右極限存在，且等于該點的函數值，則稱函數在這一點右連續。

那么，這道題的結論，除了不連續，我們還可以進行更進一步的判定，是什么呢？由于函數在處的右極限值等于該點的函數值，因此，函數在處右連續。

同樣，如果將函數圖像稍加改動，讓函數在處的左極限與該點的函數值相等，那么我們稱，函數在處左連續。對比右連續，左連續又該如何定義呢？如果函數在某一點的左極限存在，且等于該點的函數值，函數在這一點左連續。

回到原來的函數圖像，如果將函數圖像的左半部份下移一個單位，此時圖像在處就連續了，在這種情況下，無論以怎樣的方式趨近于0，它的極限值都等于函數值。其中，這種情況就是我們剛才所說的左連續、右連續，由此，我們得出函數在某一點連續的充要條件是：左連續且右連續。

三、間斷點的判斷及常見錯誤分析

不連續的點我們就稱為間斷點，那什么原因導致了不連續呢？如果上述的三個條件有一個或一個以上不滿足，其點就是間斷的。換句話說間斷的原因可能有三個。一是無定義，二是無極限，三是極限值和函數值不等。依據間斷的原因，函數的間斷點分為兩大類。

判斷分段函數間斷點的類型是一個重點，同時也是一大難點。下面通過具體的函數來進行分析，以便加深學生的理解。

例1：討論函數分的連續性

學生在初學連續性時很容易混淆概念，他們可能注意到函數在x不等于零時，出現在分母位置上，所以自然以為函數在x為零這一點是沒有定義，所以不滿足連續的三個條件，因而函數在分段點處是間斷的。這一思路錯誤在于對函數概念不清晰，把分段函數當成了兩個獨立分開的函數來看待。

我們來看看該如何求解。首先我們來看一下這個分段函數的分段點是什么？自然是零點，函數把不為零的點的函數都定義為，定義，接下來看零這一點是否滿足連續的三個條件。第一，函數在零這一點有定義，且為;第二，函數的極限值為，第三，極限值等于該點的函數值。因此，函數在分段點處是連續的，而在其他各點函數都是連續的。

例2：求函數的間斷點，并判定間斷點的類型。

解析：這是一個分式函數，要使表達式有意義，分母需不為零。因此且，故與為間斷點。接下來再考察間斷點的類型。

由于所以是第一類間斷點里的可去間斷點。

由于，所以是第二類間斷點里的無窮間斷點。

是不是求解就算完畢了？沒有！因為還沒有全面的討論其它點。在都連續，所以間斷點僅有上述的兩個。

例3：求函數的間斷點，并判定其類型。

解析：這是一個相對復雜的分段函數，函數的分段點為，先考察函數在該點的連續性情況，由于函數在分段點兩側的表達式發生了變化，所以分左右極限來考察。，，可以看出函數在零左右兩側的極限不相同，故是第一類間斷點里的跳躍間斷點。那該點是不是唯一的間斷點呢？上面的分析只是討論了分斷點，這也是很多同學在求間斷點時很容易遺漏，我們再來考察一下函數在其它點的情況。

當時，，由于分母不能為零，所以當，即是函數的間斷點。

當，，同樣因為分母不能為零，所以當，即是函數的間斷點。又由于不存在，故是第二類間斷點的震蕩間斷點。

例4：判斷函數的間斷點

很多同學得出的結論是間斷點有兩個，分別為和，這個答案是否正確呢？要解決這個問題，我們需要回到間斷點的定義。在間斷點的定義里有一個前提條件就是如果是函數的間斷點，那么函數在的某去心領域內是一定有定義的。再來看看很多同學的給出的兩個答案和，同學們之所以認為它們是間斷點是因為兩個點都使得分母為零，但是判斷間斷點我們還得注意間斷點定義中的前提條件。由于分子是，所以函數在的去心領域是沒有定義的，故而函數的間斷點只有一個即為，進一步可以得到，所以是第二類間斷點里的無窮間斷點。

在實際的課堂教學過程中，我們發現函數的連續性和間斷點看似內容不算復雜，但是在學生學習過程中會遇到很多困惑，解開謎團的鑰匙其實在于深刻體會函數連續性和間斷點的概念所蘊藏的數學思維和方法，在學習中舉一反三，融會貫通。

參考文獻：

[1]同濟大學數學教研室。高等數學（第七版）[M]（上冊。北京：高等教育出版社，2014）

[2]華東師范大學數學系。數學分析（第五版）[M]（上冊。北京：高等教育出版社，2012）

[3]曾大恒。高職數學可以避繁就簡[J]（數學學習與研究，2017）

作者簡介：

周麗佳，1979年8月25日出生，女，漢族，江蘇南通人，碩士研究生學歷，副教授職稱，主要研究數學教育方向，工作于陸軍航空兵學院基礎部。

王品，1973年9月25日出生，男，漢族，貴州畢節人，大學學歷，教授職稱，主要研究數學教育方向，工作于陸軍航空兵學院基礎部。

張占美，1982年2月28日出生，女，漢族，河北肅寧人，碩士研究生學歷，副教授職稱，主要研究數學教育方向，工作于陸軍航空兵學院基礎部。