BP 神經網絡輔助的SINS/GPS 組合導航姿態誤差補償方法研究*

王 超，周 軍，黃浩乾，沈寒伊，唐家成

(河海大學能源與電氣學院,江蘇 南京 211100)

在捷聯慣導系統(SINS)中慣性測量元件(陀螺和加速度計)與運載體固聯,通過計算機采集慣性元件的輸出信息并進行數值積分,求解運載體的姿態、速度和位置等導航參數。高精度SINS 對慣性器件性能和導航算法精度的要求非常苛刻,但由于高精度慣性器件價格昂貴且提升其精度非常困難,所以在影響SINS 的誤差源中要求導航算法誤差比重必須很小,一般需小于5%[1]。由于載體姿態可能劇烈變化(如戰斗機的翻滾運動),姿態更新算法便成了SINS 算法的核心,對解算精度影響最為突出,具有重要的研究和應用價值。

相對單一的慣導解算,SINS/GPS 組合導航利用SINS 解算得到的速度、位置和GPS 輸出的速度、位置的差值構建觀測量,通過Kalman 濾波器對慣性解算誤差進行最優估計,利用估計出來的誤差修正慣性解算結果,從而大大提高導航解算精度。但實際上,GPS 信號受建筑遮擋、載體機動等因素影響可能失鎖,Kalman 濾波器失去了一部分觀測量,會導致導航系統精度下降甚至發散。針對這些問題,有學者提出了利用神經網絡輔助的方法[2-6]。其基本思想是利用GPS 信號有效時的導航數據訓練神經網絡,在GPS 失效時接入該訓練好的網絡,由其預測出組合導航數據,使導航結果不發散。鮑泳林等[2]以慣性器件測量數據為輸入,Kalman 輸出的狀態估計作為標簽對徑向基函數神經網絡(Radial Basis Function Neural Network,RBFNN)進行訓練,并利用訓練結果對濾波器進行校正；陳鑫鑫等[3]以不同時刻純慣性解算的速度和位置差值為輸入,以組合導航結果為輸出,對多個BPNN 并行進行訓練；林雪源[4]、劉慶元[5]采用MEMS 傳感器測量數據為輸入,Kalman 濾波器輸出的水平速度和位置誤差作為標簽對RBFNN 或前饋神經網絡(Back Propagation Neural Network,BPNN)進行了訓練；李松等[6]對基于BPNN 神經網絡輔助的導航濾波方法進行了探索和論證,提出利用濾波殘差和增益進行網絡訓練的方法。但對這些方法進行SINS/GPS 組合導航數值仿真時,利用濾波殘差對神經網絡的訓練效果不明顯。采用濾波增益矩陣雖可取得較好效果,但涉及要素過多,以SINS/GPS 組合導航問題為例,增益矩陣為15×6 維,則要求至少90 個輸入層神經元,使得訓練速度過慢,算法過度冗余。

結合目前SINS/GPS 組合導航的主要問題[7]和近年來神經網絡算法技術[8-9],研究目標為:

(1)在SINS/GPS 組合導航方法上引入BP 神經網絡輔助修正環節,以提高組合導航姿態估計精度；

(2)完善并優化神經網絡訓練環節,構建降維特征向量,減少網絡的計算冗余,提高訓練效率。

1 SINS/GPS 組合導航模型

SINS/GPS 組合導航系統通常選用捷聯慣導的誤差傳播方程作為其狀態方程,選擇“東-北-天”地理坐標系為導航系,取姿態失準角(φx,φy,φz)、速度誤差量、位置和陀螺常值漂移(εE,εN,εU)、加速度計常值偏置(?E,?N,?U),同時考慮桿臂誤差和時間不同步誤差(δt),可獲得以速度和位置誤差為狀態觀測量的SINS/GPS 組合導航狀態空間模型,如下

式中:X=[φT(δvn)T(δp)T(εb)T(?b)T(δlb)Tδt]T,而

更確切地,F為系統狀態轉移矩陣；G為系統噪聲驅動矩陣；Wb為系統噪聲矢量,和分別為陀螺角速度測量白噪聲和加速度計比力測量白噪聲；V為測量噪聲矢量,Vv和Vp分別為GPS 接收機速度測量白噪聲和位置測量白噪聲；H為系統的量測矩陣,其他符號含義參見嚴恭敏等[1]的4.2.5 節。需要注意的是,為簡化符號表示,式(1)中的時間變量t均省略不寫,也就是說,SINS/GPS 組合導航狀態空間模型(1)是線性時變的。

一般情況下,如果條件允許的話,應當對SINS和GPS 之間的桿臂(或時間不同步)誤差進行精確測量并作相應補償,不再將它們列入濾波器狀態,這樣既有利減少濾波計算量,還能防止桿臂(或時間不同步)狀態估計不準而影響其他狀態的估計效果。實際應用中,如果桿臂(或時間不同步)誤差難以精確測量,或隨時間變化,才考慮其狀態建模和濾波估計,并且只有在適當機動的情況下,這些狀態才是可觀測的。下文不考慮將它們列入濾波器狀態,故X為15 維的矢量。

F(τ)、G(τ)是關于時間τ的確定性矩陣,w(τ)是零均值的高斯白噪聲,式(2)的詳細推導請參見文獻[1]。

記離散化時間間隔為T=tk-tk-1,當F(t)在較短的積分區間[tk-1,tk]內變化不太劇烈,并且滿足F(tk-1)T?I時,則Φk/k-1可近似為:

忽略高階項后得到k時刻系統離散狀態方程為:

式中:Φk/k-1、Γk/k-1為離散化后的狀態轉移矩陣和噪聲驅動矩陣,它們可以表示為:

式中:F(tk-1)表示上一時刻系統狀態轉移矩陣,G(tk-1)表示上一時刻系統噪聲驅動矩陣。

根據上述離散狀態方程和量測方程,通過Kalman 濾波的SINS/GPS 組合導航姿態估計如下:

2 BP 神經網絡輔助的SINS/GPS 組合導航系統設計

2.1 BP 神經網絡算法

BP 神經網絡算法是目前應用廣泛的函數逼近方法。按照誤差反向傳播方法訓練后的BP 神經網絡是一種多層前饋網絡模型,包括輸入層,一個或多個隱藏層和輸出層。采用包含一個隱藏層的網絡模型。研究表明,包含一個隱藏層的神經網絡可以逼近任何函數模型[10],如圖1 所示。BP 神經網絡的傳播過程包括正向和誤差反向傳播兩個過程,正向傳播指輸入信號通過隱藏層作用于輸出層,期間經過激勵函數的非線性變換,產生輸出信號。若實際輸出與期望輸出不相符,則轉入誤差反向傳播過程。將輸出誤差通過隱藏層向輸入層逐層反傳,并將誤差分攤給各層所有單元,以從各層獲得的誤差信號作為調整各層權值的依據[11]。

圖1 BP 神經網絡結構圖

通過調整輸入層與隱藏層和隱藏層與輸出層的連接強度、閾值,使誤差沿著梯度方向下降,經過反復迭代,即網絡訓練過程,直到網絡輸出和期望輸出間誤差接近于零或預定閾值,停止訓練[12]。

BP 神經網絡在組合導航領域的應用時,問題主要集中在特征向量的構建和估計上。

2.2 通過QR 分解構建降維姿態特征向量

通過文獻分析,我們可以看到神經網絡輔助的組合導航系統主要采用濾波殘差、增益來構建特征向量。濾波增益雖可以達到理想的效果,卻因組合導航系統狀態向量維數較大,訓練速度十分緩慢。對此,考慮基于矩陣QR 分解構造神經網絡的輸入特征向量。QR 方法是一種等價變換方法,是計算一般矩陣特征值問題的有效方法之一。

定義1 如果矩陣A可以化成適當維數的正交矩陣Q與上三角矩陣R的乘積,即

則稱式(7)是矩陣A的QR 分解。

需要注意的是,A矩陣可以是非方矩陣,而Q矩陣是與A的行數相同的方矩陣,R具有與A相同的行列數,即R也可以是非方矩陣。

基于定義1,關于矩陣A的QR 分解的主要性質與算法特征可歸納為如下的引理[13]。這些引理的結論對于理解本文的姿態估計算法的狀態特征向量的降維處理的有效性和可行性有關鍵作用。

引理1假設m≥n,設A為m×n矩陣,且n個列向量線性無關,若A是列滿秩矩陣,即rank(A)=n,則存在矩陣分解式

式中:Q為m×m正交矩陣,R為m×n上三角矩陣,且除去相差一個對角元素的模全為1 的對角矩陣因子D外,分解式(8)是唯一的。其中

備注1引理1 的結論說明矩陣A的QR 分解若存在的話具有唯一性,該唯一性正好對應了增益矩陣特征(具有代表性)的唯一性。基于這樣的理解,將(6)式定義的Kalman 濾波算法的增益矩陣Kk進行QR 分解就可以有效地將增益矩陣的主要特征要素提取出來,形成低維的參數向量,使得特征信息的提取可以在低維向量空間中完成,從而大大簡化運算關系,降低運算量。這對于提高相應的載體姿態估計算法的效率無疑是有用的。

更具體地,對式(6)中的濾波增益矩陣Kk進行QR 分解,將Kk分解成Q15×15和R15×62 個矩陣的乘積,具體形式如式(9)所示:

這里,Q15×15和R15×6的定義方式是顯然的。

提取R15×6陣的上三角子矩陣中的所有非零元素行向量進行列堆疊用于構建神經網絡的輸入特征向量Xin=[r1,1,r1,2,r1,3,…,r6,6]T,由式(9)可知,該特征向量僅有21 個元素,而非原來的90 個。因此,利用QR 分解提取增益矩陣的主要特征,可以顯著減小神經網絡輸入特征向量的維數,在不影響算法性能的前提下,有效提高BP 神經網絡的訓練速度和組合導航算法的計算效率。

備注2由式(6)的第二式可知

為此,接下來證明Pk/k-1是可逆的。上文已經說明必正定,所以至少是半正定的；而Pk-1是我們通過先驗給出初始值P1后逐次迭代產生的,所以,只要Pk-1是正定的(P1總可以給定為正定的),結合狀態轉移矩陣Φk/k-1的非奇異性,可以得出一定是正定的。最后,根據如下引理可知,Pk/k-1必為可逆矩陣。

引理2如果A和B是正定矩陣,則對任何不同時為零的向量x和y,則有xTAx＋yTBy＞0。

以上備注2 的討論表明,在一定條件下Kalman濾波的增益矩陣的QR 分解處理總是存在的。

2.3 Kalman 濾波器設計

采用基于QR 分解Kalman 濾波的增益矩陣構建神經網絡特征向量的方法,可有效地減小輸入特征向量的維數,進而提高網絡訓練速度。BP 神經網絡結構圖如圖2 所示。

圖2 QR 分解后的BP 神經網絡結構

BP 網絡輸出量的物理含義為姿態估計誤差,即:

在完成網絡訓練后,即可利用BP 神經網絡的輸出信息來輔助修正組合導航的濾波估計結果,整個系統構成如圖3 和圖4 所示。

圖3 基于神經網絡的Kalman 濾波算法訓練流程圖

圖4 使用BP 神經網絡修正濾波結果的流程圖

備注3SINS 可以輸出載體系統的位置、速率、姿態,GPS 可以輸出系統的位置、速率,但無法得到姿態。Kalman 濾波器的觀測方程是依靠SINS 和GPS 的位置、速率差構建的(見式(1)的Z),SINS 和GPS 信息就是由此來混合的。SINS 的姿態輸出信息則體現在式(1)的F陣里面,這些信息要一并輸入才能計算Kalman 濾波方程。濾波結果是SINS 導航的解算誤差,利用這些誤差就可以實現補償SINS解算的設計要求。

在常規Kalman 濾波算法的基礎上,加入BP 神經網絡輔助修正環節具體就是,首先對濾波增益矩陣Kk進行QR 分解,然后提取R陣中非零元素構建BP 網絡的輸入特征向量。最后利用網絡的輸出結果輔助修正濾波估計值,即可以進一步提高組合導航系統的姿態估計精度。

3 仿真驗證

為驗證BP 神經網絡輔助的SINS/GPS 組合導航算法的有效性,通過2 組仿真實驗進行驗算。對比不同工況下QR 分解構建特征向量的BP 神經網絡輔助的Kalman 濾波算法(Back Propagation based on QR Kalman Filtering,BP-QRKF)與常規Kalman濾波算法(Kalman Filtering,KF)的估計精度。

具體地,輸入特征向量為21 維,對應(9)式中R陣的21 個非零元素。設置隱含層神經元個數為24個,采用Sigmoid 激活函數；輸出層神經元個數為3個,采用Purelin 函數線性輸出。

3.1 仿真實驗1

實驗1 主要驗證QR 分解的神經網絡特征向量構建方法的可行性。驗證QR 分解法能否在不影響導航精度的情況下有效縮減輸入特征向量的維度,提高算法的效率。仿真時間設置2 500 s,載體運動狀態為靜止,SINS 和GPS 精度如表1 所示。

表1 仿真器件參數

首先直接利用濾波增益矩陣Kk(不采用QR 分解法)構建特征向量,此時網絡輸入為90 維,仿真結果如圖5 所示。

圖5 BP-QRKF 算法(未采用QR 分解)與常規KF 算法濾波精度對比

為了直觀起見,將方位角誤差曲線進行放大,結果如圖6 所示。

圖6 方位角誤差放大圖

雖然此時BP-QRKF 算法精度優于常規KF 算法,但由于未對Kk精簡,導致BP 網絡的輸入特征向量維度過高,計算耗時過大。BP 神經網絡單次訓練平均耗時及組合導航濾波估計精度如表2 所示。

表2 未采用QR 分解法仿真結果統計

若利用QR 分解Kk,提取R陣中非零元素作為輸入特征向量,仿真結果如圖7 所示。

圖7 BP-QRKF 算法(采用QR 分解)與常規KF 算法濾波精度對比

BP 神經網絡單次訓練平均耗時及組合導航濾波估計精度如表3 所示。

表3 采用QR 分解法仿真結果統計

對比圖5 與圖7 和表2 與表3 可得出以下結論:

(1)無論是否采用QR 分解,采用神經網絡補償后的KF 算法的姿態估計精度均優于常規KF 算法。

(2)采用QR 分解后,將BP 網絡輸入向量由90維減少到21 維,網絡規模顯著減小,單次訓練時間從20 s 縮短到0.67 s,提高了2 個量級。

(3)采用QR 分解對Kk進行特征變量的精簡,濾波估計精度并沒有下降,這說明QR 分解法可有效保留濾波增益矩陣的特征。

3.2 仿真實驗2

用3.1 訓練完成的神經網絡進行實際靜態姿態估計,時長設置為150 s,用于測試算法的魯棒性。

圖8 BP-QRKF 算法與常規KF 算法濾波精度對比

為了直觀起見,對方位角誤差圖進行放大,結果如圖9 所示。

圖9 方位角誤差放大圖

實際靜態組合導航濾波估計精度如表4 所示。

表4 仿真結果統計

可以看出,靜態姿態估計精度提高了2 個數量級(3.1 節中的算例實際為4 個數量級)。這是由于GPS 信號是每隔一段時間才會發送,算法一開始接收不到量測信息,導致無法計算濾波增益矩陣Kk,所以BP-QRKF 算法一開始無法對姿態估計進行補償。當有了GPS 信號后,提案方法就可以很好地補償KF 的姿態估計結果。

4 結論

BP 神經網絡輔助的SINS/GPS 組合導航方法,利用QR 分解法構建神經網絡特征向量,輔助修正Kalman 濾波的姿態估計結果。經過仿真驗證,相較于傳統方法,神經網絡輔助的組合導航系統可以達到更高精度,對未來組合導航技術發展具有明確的參考價值。

需要指出的是,濾波增益矩陣Kk的更新依賴于GPS 的信息,如今GPS 可以以較高頻率輸出信息,然而算法由于沒有考慮動態參數,故而對動態實時姿態估計的補償效果較差。今后的研究工作可以考慮把更新頻率較快的慣性測量元件(陀螺和加速度計)的輸出信息加入輸入特征向量,探討動態姿態估計的高速補償算法的開發問題。