發酵過程產物濃度PID控制器設計與優化

王志文，李大剛，陳崇城，曾飛虎，陳曉玲

生物發酵過程被廣泛地應用于飲用食品、生物制藥、精細化工等行業，其過程控制中的一個關鍵問題是如何簡單、高效、穩定地通過調節過程變量（如菌體稀釋率、反應溫度或原料流量），以達到控制產品生產質量（如生成物量、底物或產品濃度）的目的［1?4］.為了能夠有效地降低企業生產過程的原料成本，提高所需生產的產品質量，必須適當、準確地對發酵過程進行控制［5?7］.

由于PID控制回路具有結構簡單、運行穩健、易于實現等優點，被超過95%的工業過程所采用［8?10］，它也被稱為控制工程當中的“面包和黃油”.然而，大多數發酵過程具有很高的非線性和時變性［11?13］，通過人工調試、經驗整定等方式所獲取的PID控制參數，適用范圍有限，難以有效地克服控制過程的特性.

PID控制參數的分析整定、搜索優化和調節計算等方法已有200余種，如經典Ziegler?nichols（齊格勒?尼科爾斯）、Cohen?Coon（柯恩?庫恩）和IMC（Internal Model Control，內模控制法）等［5，11?12］.在實際工程應用中，經驗操作方法和傳統參數整定應對具有及時穩定、快速反應要求的工業生產，其所整定的PID控制效果很差［13?15］.

PSO（Particle Swarm Optimization，粒子群優化算法）是一種基于函數全局優化的啟發式演化計算方法，以簡單的尋優結構、快速的收斂性能和高效的求解途徑等優點，為解決基于PID控制器、神經網絡等復雜問題的求解過程提供了新的更為穩定和可靠的處理方法.與傳統參數整定方法（如典型Z?N和IMC等）相比，PSO算法具有結構簡單、易于實現、可調參數少、優化效果顯著等優勢，受到了越來越廣泛的研究和應用［16?17］.

近年來，已有研究學者將PSO用于獲取高質量的PID控制參數，取得良好的優化性能，大幅度地提高了控制的效果.但是，將不同類型的粒子群算法應用于發酵過程的PID控制當中還比較少.為此，針對發酵反應過程中的控制問題（以過程中的底物菌體濃度的控制為例），提出通過采用多種粒子群算法優化發酵過程PID控制參數，跟蹤發酵反應過程的底物菌體濃度目標，以期獲得最優的生產能力.

1 發酵過程PID控制方法

在實際應用中，發酵過程的一般狀態空間通?？梢宰魅缦碌拿枋觯?/p>

式中：分別包括有狀態函數f(?)，狀態變量x k、輸入變量（一個控制變量）u k、輸出變量（一個被控變量）y k和過程中的參數變量p等各種矢量向量，以及有關狀態函數h(?)、過程中的噪聲v k和w k，噪聲通常是由額外的信號來添加的［18］.

設定一個發酵反應過程的批次生產時間為tf，采樣的周期時間為ts，一批次被劃分為N?個相同子區間，即N?=tf/ts，k=1,2,…,N?，通過PID來控制每一個輸入的變量，獲得滿足預期要求值的最終生成產品質量.定義了過程中輸入、輸出兩個變量作為序列中的矢量向量：

式中：給定初始化條件（u0,l，y0,m），l=1,2,…,L為其中的輸入個數，m=1,2,…,M為其中的輸出個數.為了方便計算和簡單理解起見，僅用于考慮單個輸入和單個輸出之間的一個序列式的間歇過程PID控制如圖1所示.

圖1 發酵過程PID控制框圖

發酵生產控制過程的PID間歇控制器的一個主要控制律是uk，其定義公式為［10］：

式中：ysetk為整個間歇控制過程的與輸入誤差相關的預測值和輸出預期要求值，ek為整個發酵反應控制過程需要跟蹤的輸入誤差，Kp、Ti和Td分別被廣泛地用來表示控制成為一定比例的輸入增益系數、積分時間系數和微分時間系數.

當采樣的周期時間設定為ts時，PID的控制規律可被描述為如下的疊加式［15］.

式 中：Ki=KptsT?1

i，Kd=KpTd t?1s分別代表每個輸入誤差預測相關的積分增益功率系數和微分增益功率系數.

2 粒子群算法

2.1 標準的粒子群優化算法

群體智能算法是一種模擬人類和自然界中的生物群體行為所形成和構造的隨機性優化理念，通過一些簡單的原則對其進行了建模.粒子群優化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是由KENNEDY和EBERHART兩位學者于1995年開發的一種啟發式的進化計算技術，已成為智能優化和進化計算領域的一個研究熱點，受到各個研究領域專家學者的關注［19］.它起源于鳥類族群覓食過程進行訊息傳遞行為的簡化模擬.粒子群算法的理論基礎是通過定義群體和粒子分別代表為總體和個體，粒子在一個d維度的搜索空間，通過回憶和跟蹤當前的最優粒子來尋找問題的最優解（即分別與平行搜索空間、交互搜索空間的其他群體粒子的適應度函數指標值進行比較），獲取全局最優目標位置，粒子群搜索優化機理如圖2所示.

圖2 粒子群搜索優化機理示意圖

初始N（空間的規模大小）個d維度粒子，z i=(zi,1,zi,2,...,zi,d)設為第i個粒子（i=1，2，…，N），它是某個點在d維空間位置上的矢量向量.以一個粒子的適應度函數zi的當前運動取向為函數值表示衡量粒子在該適應位置上的最佳性和性能優劣；第i個適應粒子的當前方向運動以其飛行的時間速度或當前移動時的距離si=(si,1,si,2,...,si,d)函數來表示；pi=(pi,1,pi,2,...,pi,d)表示第i個粒子迄今為止的最優位置，pg=(pg,1,pg,2,...,pg,d)表示粒子群空間迄今為止的最優位置［17］.第T次迭代，第i個粒子的速度和位置更新公式為［19］：

式中：T為迭換替代的頻率次數、Tmax為最高迭換替代的頻率次數；λ為慣性運動權重矢量因子、λmin為最小慣性運動權重矢量因子和λmax最大慣性運動權重矢量因子；c1、c2為一個移動加速度的隨機常數；r1、r2為0～1隨機的常數；si,j(T)為第T次迭換替代，第i個時間粒子的每次移動的速度，其中smin≤si,j≤smax；另外，全群的粒子最優適應位置和最低適應速度值的誤差大小取決于最高移動速度smax和最低移動速度smin.利用粒子群算法優化PID參數Kp、Ki和Kd［14］.以最小適應度函數J作為性能指標如下：

2.2 其他的粒子群優化算法

粒子群優化算法可以解決各種困難的優化求解問題，在一些問題上比其他進化算法表現出更好的尋優能力.由于具有深刻的群體智能仿生背景，具有收斂速度快、易于理解、便于實現、調整參數少等優點，被廣泛應用于統計科學優化問題的研究和實際工程的應用當中，如神經網絡、模糊控制系統，以及工程調度等問題.然而，標準粒子群算法在解決復雜的多模態問題時，隨著迭代數的增加，其性能可能不具有競爭性，容易陷入局部最優，因此人們進行了各種提高粒子群算法尋優性能的嘗試.

被動聚集粒子群優化算法（PSO with Passive Congregation，PSOPC）是一種結合被動聚集模型與PSO尋優結構的優化方法，在一定程度考慮了群體內個體交互的所有信息，既保證了原有的收斂性能，又提高了算法的趨勢收斂速度［20］.如圖3所示，對比PSO算法和PSOPC算法可以直觀地看出，PSOPC算法在群體內部的組織結構及其相互作用的縱深程度比PSO算法更為全面.并且，PSOPC算法引入了一個具有慣性趨勢選擇的權重覓尋方向，以單個群體之間粒子的協作形式，開發了一種協同網絡群體搜索機制，增強了現有粒子與潛在顆粒、其他粒子與潛在團體、各個粒子與群體環境之間的潛在群體信息轉移，改善了粒子群算法的收斂性，極大地提高了其收斂速度.

圖3 PSO算法與PSOPC算法的群體內部粒子作用示意圖

PSOPC算法在第T次迭換替代中，第i個更新粒子的質量加速度更新計算公式可以用下列方程式替換式（2）的更新式子：

其中：Ri,j表示一個群體隨機粒子，c3表示被動聚集的因子，r3表示一個服從[0,1]均勻分布的隨機數，參數的條件設置見參考文獻［20］.

平滑粒子群優化算法（Unified Particle Swarm Optimization，UPSO）是一種對全局搜索粒子群優化算法（Global version of Standard PSO，GSPSO）和局部搜索粒子群優化算法（Local version of Standard PSO，LSPSO）進行指數平滑的優化方法［19］.帶有收縮性能因子的粒子群優化算法（Constriction factor version of PSO，CPSO）利用具有收縮性的因子保證每個粒子最終都可以快速實現高度收斂.其中，每個粒子速度更新算法的定義為［21］：

其中：χ表示收縮因子，c1、c2為學習因子，參數條件見參考文獻［21］.

通過對粒子群體全局最優的所有信息和所有局部最優的相應信息有效地結合進行指數平滑計算.其粒子的變換速度和變換率可描述為：

其中：pgi,j表示局部最優粒子位置，μ表示指數平滑因子，參數條件設置可見文獻［19］.全局最優群體搜索和局部最優群體搜索二者之間的社會仿生關系和生物特征行為搜索空間的關系可以用圖4來描述［20］.

圖4 GSPSO算法與LSPSO算法的仿生搜索空間示意圖

遺傳粒子群混合算法（Hybrid of GA and PSO，HGAPSO）是一種GA算法和PSO算法相結合的優化方法.針對時間信息處理問題，提出將GA算法的二次淘汰性質和選擇運算機制（類似輪盤法在博弈中的選擇）、交叉、突變等遺傳基因操作融入PSO算法中，以增加群體粒子的多樣性.其算法表達如圖5所示［22］.

圖5 HGAPSO算法搜索機理示意圖

綜合學習粒子群算法（Comprehensive Learn?ing PSO，CLPSO）是一種通過對歷史首個當局最優粒子位置的學習概率計算來快速產生新的最優位置、增加粒子群體中其他粒子的信息多樣性的優化方法［23］.CLPSO算法能夠保證一個粒子群在各種網絡環境中準確地快速搜索，同時，可以有效地避免“不小心”陷入到一個局部最優.

CLPSO算法的最大區別在于搜索空間不同，同時考慮各個周期群體當局最優，期間已將PSO算法所涉及的情況考慮在內.其中，pbesti、gbesti分別表示局部最優與全局最優粒子，對應于PSO算法當中的參數pi、pg.CLPSO算法中的基本算法公式可描述為：

式中：pf(i),j表示一個過去時間的周期所對應維度的當局最優位置，f(i)取決于所需要學習的概率pci，且pci∈[0.05,0.5].另外，式（10）采用“←”代替“=”意味著CLPSO算法所進行的整個計算過程都是一種具有方向變化性的搜索［21］.通過對不同周期、相應維度的粒子數據進行綜合分析和學習，以增加粒子類型和群體的多樣性，解決復雜多峰問題.與PSO算法結構進行比較，二者的結構示意圖如圖6所示.

圖6 PSO算法與CLPSO算法搜索空間比較示意圖

粒子群優化算法，除了采用參數綜合調整策略、群體綜合法和混合法等之外，還可結合粒子拓撲空間關系、概率統計分析、新型機器學習策略等來確定其尋優求解的趨勢方向.具有代表性有PSOPC［20］算法、UPSO［21］算法、HGAPSO［22］算 法 和CLPSO［23］算 法，本 文 討 論了含PSO算法在內的5種粒子群算法應用于所設計的發酵過程PID控制器的優化與控制.

3 發酵過程機理模型

發酵過程是在發酵設備已有菌種的基礎上，通過操作一定的輸入條件，實現目標代謝產物的生成過程.如圖7的控制系統工作簡圖所示，控制目標是調節發酵過程，使其接近最優生產能力.值得注意的是，與菌體濃度對應的最優生產能力在本質上是不變的.

圖7 發酵過程PID控制系統工作簡圖

在發酵過程中，菌體稀釋率D和進料底物濃度S是過程輸入.通常選擇菌體稀釋率D作為操縱變量.如果選擇出料池（生物質）濃度X、底物濃度S和產物濃度P作為過程狀態變量，則發酵罐產物生成過程由三個非線性普通微分方程來描述［24?26］：

式中：D為菌體稀釋率，X為底物的菌體濃度，S為菌體底物的濃度，P為產出物質的濃度，Sf為流加的底物濃度，μ為生長率，表現出典型底物和產物的抑制作用，μm為最大生長率，Pm為產物飽和系數，Km為底物飽和常數，Ki為底物抑制常數，YX S為菌體對底物的得率系數，α、β均為動力學參數，其參數值見表1［22］.D通常作為控制變量，X、S、P均可作為輸出變量.文獻［22］中明確指出，合理地調節D以控制X，可獲得更優的生產能力.

表1 正常反應操作條件及其相應的參數值

考慮對一個批次持續時間20 h、采樣的周期時間為0.5 h的發酵過程PID控制，研究了不同粒子群算法的參數整定，能否獲得良好的效果.發酵反應過程控制系統的結構如圖8所示.

圖8 發酵反應過程PSO-PID控制框圖

為了有效研究解決非線性、不可偏微和線性復雜多峰微分函數的計算問題，PSO等算法因時因地制宜地進行深入研究和不斷改進.采用不同類型的粒子群算法對發酵過程批次內子過程的PID控制參數進行了優化.雖然形式、結構、機理等各個方面不盡相同，但其概念簡單明了、易于實施、收斂迅速、參數配置少，具備深厚的智能技術背景，既適宜科學研究，又適宜工程實際應用.其優化步驟為：

步驟1：首先，設置一群初始的粒子（群體規模定義為N），其中包括隨機生成的位置和加速度；

步驟2：通過算法計算、評估一個粒子的能量適應度，并對其中的兩個適應度測量函數值分別進行正確排序；

步驟3：選擇上述一種粒子群優化算法的位置和速度更新公式，詳見相應算法所述；

步驟4：如不能滿足達到結束的條件，則返回至步驟2，繼續優化直至結束為止.

上述5種粒子群優化算法的尋優流程，如圖9所示.

圖9 發酵過程控制參數優化流程圖

4 仿真效果與討論

在生物發酵反應過程的實際應用中，生產設定的期望目標值往往因需而變.只有當過程控制或產物濃度目標值跟蹤及時、產量準確，才可以在有限的批次時間周期內達到預期效果.因此，結合所提出的5種粒子群算法及其優化流程（圖9），在不考慮參數時變的條件下，給定一個底物菌體濃度Xkset=4.5～5.5作參數訓練，以一個底物跟蹤濃度Xkset=4.6～5.2～4.8～4.4為實際案例，采用Matlab作發酵仿真，所需要優化的濃度是一個階段濃度值，發酵過程PID控制參數如表2所示.

其中，ISE（Integral Square Error）表示發酵過程批次周期時間跟蹤的偏差累計，作為當下優化階段的適應度函數.表2中，ISE表示期望濃度的最終仿真與控制系統的性能指標值，其表達式定義為：

表2 基于5種粒子群算法的間歇發酵過程PID控制參數

4.1 PSO-PID控制

發酵過程PSO?PID跟蹤控制效果、時間?適應度函數及其反饋輸入情況，如圖10所示.由圖10（a）可知，一個批次時間的發酵過程的每個子過程階段PSO?PID控制具有很好的濃度跟蹤效果，而圖10（b）的適應度指標函數ISE說明PSO算法具有良好的優化能力.圖10（c）的稀釋率D反饋輸入變化情況呈現了發酵過程PSO?PID控制器的控制能力，一方面，說明受控發酵過程的稀釋率反饋輸入趨于平穩；另一方面，控制變量的時變形式驗證了D對X反饋控制的合理性.

圖10 發酵過程PSO-PID控制仿真

4.2 PSOPC-PID控制

發酵過程PSOPC?PID跟蹤控制效果、時間?適應度函數及其反饋輸入情況，如圖11所示.據表2可知，PSOPC?ISE＜PSO?ISE，PSOPC?PID的控制效果更好.如圖11（c）所示的發酵過程輸入變量稀釋率是一個有限范圍的變量，圖11（a）的控制曲線相比較于圖10（a），跟蹤性能更加緊湊.圖11（b）的PSOPC?ISE變化情況表明PSOPC算法能夠更為快速可靠、迅捷準確地尋找到最優值.

圖11 發酵過程PSOPC-PID控制仿真

4.3 UPSO-PID控制

發酵過程UPSO?PID跟蹤控制效果、時間?適應度函數及其反饋輸入情況，如圖12所示.表2中的UPSO?ISE顯示UPSO?PID控制器具有更優于其他4種控制器的濃度跟蹤性能.特別指出的是，圖12（b）中的UPSO?ISE僅經5次迭代優化已比PSO和PSOPC的優化效果更好.圖12（c）中的反饋輸入變化同樣表現菌體稀釋率時變形式.

圖12 發酵過程UPSO-PID控制仿真

4.4 HGAPSO-PID控制

發酵過程HGAPSO?PID跟蹤控制效果、時間?適應度函數及其反饋輸入情況，如圖13所示.圖13（a）中的發酵過程HGAPSO?PID控制，較之于PSO?PID、PSOPC?PID和UPSO?PID控制器，其在一定程度上保證了應有的比例?積分?微分控制能力.同時，圖13（b）的HGAP?SO?ISE顯示了多階梯式快速遞減的變化情況，能夠更好地避免掉入局部最優陷阱，體現了HGAPSO算法中的群體粒子更具多樣性.圖13（c）中的發酵過程輸入變量的變化呈現了菌體稀釋率隨時間的變化情況.

圖13 發酵過程HGAPSO-PID控制仿真

4.5 CLPSO-PID控制

發酵過程CLPSO?PID跟蹤控制效果、時間?適應度函數及其反饋輸入情況，如圖14所示.圖14（a）中的發酵過程CLPSO?PID跟蹤控制曲線，體現了相應的比例?積分?微分控制能力.圖14（b）中的CLPSO?ISE變化情況，呈現了綜合考慮全局和局部的概率學習.圖14（c）的反饋輸入變化呈現了所優化控制參數對于過程輸入和反饋信號的變化.

圖14 發酵過程CLPSO-PID控制仿真

盡管5種粒子群算法在結構、形式和問題解決等方面不盡相同，如圖10（a）、圖11（a）、圖12（a）、圖13（a）和圖14（a）所示，基于不同粒子群算法的PID控制器均具有良好的跟蹤性能.值得注意的是，由表2中的ISE性能指標可知，ISEUPSO

5 結論與展望

針對發酵過程產物濃度的控制問題，研究一種簡單、快速、高效的控制參數整定方法，具有實際的應用價值.通過采用5種典型的粒子群算法優化控制器參數，設計發酵過程產物濃度的PSO?PID、PSOPC?PID、UPSO?PID、HGAPSO?PID、CLPSO?PID 5種相應的控制器.考慮5種粒子群算法的結構、改進及其應用問題，通過5種算法優化發酵過程一個批次周期時間的PID控制參數.發酵過程控制仿真表明，基于不同粒子群算法的PID控制器能夠解決過程存在非線性、時變性和多峰函數等不同的實際問題.將粒子群優化算法和自適應控制、自抗擾控制、迭代學習控制等相結合，應用于間歇過程批次生產的R2R控制中將是今后要進行的研究工作.