思維可視化：厘清圓柱與圓錐體積關系的實踐策略

張雪平

在六年級數學圓柱與圓錐的計算教學中，學生常常公式會背，但計算不會。在已知的等底等高圓柱體積是圓錐體積的三倍，圓錐體積又是圓柱體積的三分之一，學生在學習兩者之間的關系，解決實際問題中會出現很多錯誤。如何厘清圓柱與圓錐的體積關系并提高學生解決問題的能力？

一、研究背景

（一）硬背公式，不會運用

學生只有死記硬背，完全不理解圓柱與圓錐的體積，有的只有機械的記憶。學生對于圓柱體積計算公式：V柱=sh，圓柱底面積（圓面積）計算不理解，不懂圓柱高與什么有關，對于圓錐的體積是圓柱體積的三分之一思維也是空白的，沒有邏輯思維能力。在“SOLO分類理論”中處于前結構層次。

（二）概念模糊，不會轉換

在已知條件比較明顯的題型中，會運用計算公式進行簡單的圓柱體積與圓錐體積的計算。但由于各個點之間沒有聯系起來，或者某個知識點上出現了問題，無法將圓柱體積與圓錐體積兩者之間有機貫通，會公式、會簡單體積計算，但往往不會分析兩個圖形之間的關系，導致圓柱、圓錐之間底面積、高、體積三者轉換出現錯誤。在“SOLO分類理論”中處于單點結構到多點結構層次轉變不夠。

（三）思維單一，不會變通

學生不會利用圓柱與圓錐體積的相關知識進行概括，在多種題型中歸納總結能力不夠，找不到已知條件或已做題型之間的關聯性。導致學生做一題是一題，不會“一題多解”“多題通解”“一題多變”的學習方式。在“SOLO分類理論”中屬于關聯結構層次不夠。

二、實踐策略

本文中筆者嘗試以豐富的題型分析及經驗反思，對“通過塑形、建模、繪圖來強化思維可視化”的教學策略進行實踐研究，致力于提升數學思維可視化，優化圓柱與圓錐的體積計算。

本文中思維可視化主要利用圖示技術中思維導圖、模型圖、流程圖、概念圖等思維可視化方法對圓柱與圓錐體積之間的關系及問題解決的方法進行闡述。本文以“思維可視化”為生長線，以“塑形”為基礎點，以“建模”為支撐點，以“繪圖”為拓展點，以此為主軸，以題型、計算為輔助，充分呈現學生的“思維可視化”過程，提升圓柱與圓錐體積計算的問題解決能力。

（一）“塑形”促思維可視化

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。”研究者認為，在圓柱與圓錐的體積教學前，先要讓學生從原有認知水平出發，通過“塑形”逐漸加深圓柱與圓錐體積相關的數學學習思維的可視化。一般包含用實物塑形，用學具塑形，用意想塑形三個層次。

1.用實物塑形

圓柱與圓錐是小學階段第一次接觸曲面的立體圖形，是建立在正方體和長方體體積認知的基礎上進一步深入學習體積。教學中可以通過學生日常生活中常見的圓柱與圓錐實物入手，讓學生經歷“看一看、摸一摸、量一量”等基本數學活動，生動形象地塑造“原型”。“看一看”讓學生尋找圓柱與圓錐的相同點與不同點；“摸一摸”感受三維立體空間及曲面的變化；“量一量”能夠通過測量得到兩個圖形中哪些有用的數學信息。教師在課堂中利用生活中的實物讓學生用“五官”感知圓柱與圓錐的“型”。

荷蘭著名的數學教育家弗賴登塔爾強調：“學習數學唯一的方法是實行‘再創造，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來。”利用小組合作交流的形式找到實物圓柱與圓錐外形特征上的相同點與不同點，并測量相對應的有效數據，讓學生感知曲面圖形的測量方法（如表1）。

2.用學具塑形

學生尋找的實物在測量對比過程中無法得出特定的數據，這時需要用到特定的學具進行研究，得出圓柱與圓錐之間存在的密切關系。在教材配套的學具中有對應的圓柱與圓錐學具，學生用學具進行研究，發現兩者之間底面積相等，高相等，塑造“等底等高”的圓柱與圓錐模型。

3.用意想塑形

通過實物、學具塑形實現思維可視化，用意想強化思維可視化，塑造“空間模型”。學生空間觀念的發展是離不開對表象物體的進一步想象的。建立在想象塑形中，學生才能從形象思維過渡到抽象思維，從具體到抽象，從而更加深刻地感悟空間觀念。

（二）建模促思維可視化

數學空間觀念的形成是學生通過舊知轉化新知，完善數學模型的過程，需要學習者將所學知識納入到其內在邏輯形式及知識網絡中，實現新概念與舊經驗的融合，構建起合理的知識結構網，形成建模思想。一般包含動態演示建模、公式推導建模、條件逆推建模三種形式。

1.動態演示建模

在現代信息技術發展下，教學中可以通過動態的演示形成更直觀的空間感知。在教學中用動態演示呈現圓柱與圓錐從具體到抽象的過程，從“體動成面、面動成線”的動感生成過程，實現了“體—面—線”的思維可視化。同時，完善意想塑形，加深學生對于圓柱與圓錐體積的建模（如圖1、2）。

2.公式推導建模

在《九章算術·商功》中記載了關于圓柱和圓錐體積之間的關系，圓柱體積：“今有圓堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺。問：積幾何？答曰：二千一百一十二尺。術曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。”圓錐體積：“今有圓錐，下周三丈五尺，高五丈一尺。問：積幾何？答曰：一千七百三十五尺一十二分尺之五。術曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。”從而驗證了圓錐體積是圓柱體積的三分之一。圓錐體積需建立在圓柱體積基礎上推導公式，圓柱體積需建立在長方體體積基礎上推導公式，環環轉化建立公式推導可視化模型。在公式推導過程中借助動手操作、動態演示、圖形繪制等方法把圓柱的體積轉化成其他物體的體積，滲透“轉化”和“等積變形”的數學思想，發展學生的空間觀念。嘗試把圓柱切、拼成近似的長方體，并思考長方體的長、寬、高分別對應的是圓柱的底面圓的周長和高。同理，借助學具推導圓錐的體積公式。

3.條件逆推建模

（三）繪圖促思維可視化

圓柱與圓錐的思維可視化過程是從“體—面—線”的學習過程，在厘清圓柱與圓錐的體積關系后，遇到解決實際問題時，還需繼續借助幾何直觀的圖形來闡明圓柱與圓錐之間的某種關系。研究者認為，通過繪圖“以形解數”方式可以更好地形成思維可視化的效果，一般包含變識圖為繪圖、變轉化為繪圖、變答疑為繪圖三個方向。

1.變識圖為繪圖

在解決實際問題時，一般都會用“數形結合”的方式進行解題，研究者認為在圓柱與圓錐的體積計算時，有時也可以“以形繪形”，把具體物體抽象化，提煉出幾何直觀圖形，以面轉線，更直觀、簡便地展現思維可視化。

2.變轉化為繪圖

在已有的思維導圖公式中，把難懂的數學體積公式用繪圖來代替，讓學生能更看得清，弄得明。如：將圓柱與圓錐體積相等的兩個圖形畫出來，當底面積相等，那么圓錐的高是圓柱的3倍；當高相等，那么圓錐的底面積是圓柱的3倍。在實際解決問題中，可以讓學生在逆推公式時用繪圖的方式，將兩者解決問題的過程進行對比，也能有效地對結果是否正確進行檢驗。

3.變答疑為繪圖

有時學生遇到問題時，往往直接用正確的公式去計算，但有的學生卻無從下手。其實真正會解題的同學并不是公式會背，而是在他們看到題型時，已經在大腦中繪制成了一個圖形。有的同學能正確繪圖也就能理解題意，在學生掌握“畫圖策略”的數學技能時，數學學習也就變得更輕松了。如：（1）一根3米的圓柱形木料，沿著橫截面把它截成3個小圓柱，表面積增加了4.8平方米，原來這根圓柱形木料的體積是多少？學生在解決問題時首先借助圖形：理解題意中增加的面有幾個，增加的是哪幾個面，增加的面面積相等嗎？學生在直觀可視化的圖形中更能厘清解決問題的思路。

新課標中強調數學教學要以學生的發展為本。建構主義理論認為：“知識不是被動接受的，而是由認知主體構建的。”總之，只有學生自己習得的知識才能將其學懂、弄透。在圖形計算的過程中，學生不斷地通過塑形、建模、繪圖的思維可視化過程對圖形知識進行探索，揭露圖形的本質，最終實現思維的靈活變通，達到最佳的學習效果。