數形結合思想運用于小學高段問題解決中的案例研究

龔蘇梅

摘要：數形結合思想是重要的數學思想之一，即用直觀的形表征數的關系、用精確的數表達形的內在特征和規律這樣一種思想方法。問題解決貫穿于數學學習始終，數學思想可較為便捷地解決問題。小學高段中遇到較多問題，可運用數形結合思想進行解決，因此運用具體的案例研究小學高段問題解決中的數形結合思想。

關鍵詞：數形結合思想，問題解決，案例研究

1前言

在上世紀，美國的布魯納強調了數學思想的重要性，認為用數學思想引領學生進行學習，好處極多，可使得學生的學習變得更簡單，更能鍛煉學生的總結概括能力，從而增強對其他學科的學習能力。0進入21世紀之后，我國開始重視數學思想，在《義務教育數學課程標準（2011版）》（以下簡稱《課標》）中，對義務教育階段的學生提出了要求，要求學生不僅掌握數學基本知識和基本技能，而且要獲得數學的基本思想和基本生活經驗，0在此處開始強調數學思想的重要性。數學思想直接顯現出來的作用是提高數學成績，還存在一些深層次的推動作用，可幫助思維發展，提高創新能力。有部分人存在一些疑惑，從小學、初中、高中乃至大學都在學習數學，但是這些知識在生活中又不能直接使用，是不是可以不學呢？答案是否定的，學習數學的目的不是在于學會了多少知識，關鍵在于是否學會了基本的數學思想。

《課標》要求中小學教師滲透數學思想之后，關于如何滲透數學思想的研究逐步火熱，一些常見的數學思想再次回歸到大眾視野，那么數形結合思想也理所當然的再次被人們所重視。所謂數形結合思想，即建立在數形優勢互補基礎上，抓住數與形之間本質上的聯系，以“形”直觀地表達數，以“數”精確地研究形的思想方法。0查閱相關文獻可知，對于數形結合思想的研究，大致分為如下幾類：用以數解形、以形助數、數形相依的方式進行研究;研究整個學段教材中“數與代數、幾何與圖形、概率與統計、實踐與綜合”能夠體現數形結合思想的內容;利用數形結合思想實際解決數學題目等。在真正的數學學習過程中，問題解決貫穿始終，是數學學習的重要任務之一，卻也是部分學生學習數學的重大障礙之一。數形結合思想在問題解決中有著相當豐富的應用，教師若能夠利用數形結合思想指導學生，可以幫助學生較好的理解題意，從而快捷、簡單的解決問題;學生若能夠掌握數形結合思想，則可以將這種思想靈活地運用于解決問題中，當學生看到一大推數字理不清楚頭緒時，數形結合思想可以引導學生使用圖形的方式表達題意，從而找到問題解決的關鍵，增強學生學習數學的信心;當圖形結構越來越復雜時，學生利用數形結合思想，將復雜的圖形結構用已經掌握的數、算式、代數式、方程等進行準確表達，從而提高問題解決的準確性，提升學生數學學習興趣。

通過文獻查詢和資料分析可知，數形結合思想有相當重要的作用，而在已有研究中，單純研究小學高段中數形結合思想的并不多，而又以問題解決為落腳點的研究顯得相對更少。因此筆者基于數形結合思想對小學高段的問題解決進行案例研究，希望為一線教師提供一些借鑒和參考，通過課堂中數學思想的滲透，提高教師的課堂教學效果、學生的學習效率。

2案例研究

數形結合思想在各學段、年級均有所涉及，而在小學高段，數形結合思想是使用頻率最高的學段之一。在小學高段讓學生感知數形結合思想，不僅可以加深學生對基礎知識的理解，讓學生可以創造性地解決問題，還可以改變學生的思維方式，提升思維能力，讓學生更夠準確的把握數學關系和規律，提高數學核心素養。那么究竟怎么給學生滲透數形結合思想，讓學生明確數形結合的意義和價值，運用具體的案例進行分析是最好的方式。因此本文運用具體的案例分析實際問題中蘊含的數形結合思想，本文中筆者將數形結合思想中以形助數、以數解形這兩種具體形式進行案例分析。

2.1以形助數解決問題

進入小學高段，需要解決的問題有更高的難度，要求學生有更高水平的思維能力。雖然小學高段的學生較小學低段學生而言，思維有所進步，但還是比較受局限，因此要讓學生掌握一些思想方法，有助于更快捷、準確的解決問題。其中數學結合思想是眾多的數學思想之一，運用數形結合思想使得數的特征與形的特征可以相互轉化，開闊學生的思路，為學生解決問題提供新方式。

在實際解決問題的過程中，當題目中數量關系過于復雜時，可以利用形進行直觀的解決問題;當形過于簡單，可以使用數來明確數量關系。0當實際問題過于抽象時，可用畫圖方式進行直觀展示。下面給出一個具體的案例，此案例能夠較好的體現以形助數。

教師讓學生自行思考、嘗試，學生中肯定會有通分的方式進行計算，也有按照從左到右以此計算的，有相當一部分學生是不能解答出正確的答案。

教師引導學生觀察這些數字特點，發現每后一個分數是前一個分數的一半，看到、等，思考構造出1，考慮畫圖的方式了。教師引導學生從左往右依次計算，部分計算。

對這幾個式子進行計算，結合圖形總結規律。

師生發現似乎幾個數相加的和等于一減去最后一個數，這個結論是否成立，繼續再驗證一個。

綜上可得出，幾個數相加的和等于一減去最后一個數。

本案例能夠較好的體現數形結合思想，也可以體現歸納法的思想。

以形助數對于學生解決實際問題有重要的價值和意義。在這里需要我們思考的地方在于若想使用以數助形，必須思考數量關系，找尋到合適的圖形來表達數量關系，而找尋恰當的圖形對學生有一定的挑戰，但是這正是鍛煉學生思維的好機會。所以教師在教學中，不僅僅重視對數形結合思想的滲透，讓學生能夠耐心地觀察數量關系，探索內在的規律，從而選擇適宜的圖形來表達數量關系。同時，教師還要為學生提供足夠多的歷練機會，使學生能夠見識足夠多的圖形結構，掌握常見的以數助形策略，積累更多的經驗，逐步提升應用數形結合思想的自覺性。

2.2 以數解形解決問題

數形結合思想涉及到多方面，不僅僅包括以形助數，還存在以數解形。所謂以數解形，就是看到圖形的結構特征，可以找到恰當的數字表達方式，使得圖形的特征可以數字化。在實際的學習生活中，遇到以數解形的并不多，因此易被師生所忽視。但是正是由于其稀少性，則教師更應該抓住這種少有的機會鍛煉學生，培養學生的思維能力。面對小學生實際的知識儲備情況和思維發展水平，應該加強學生用已經掌握的數、算式、代數式、方程等來表示相關圖形的特征，使列寫出來的表達式子能夠恰當的解決相關問題。下文給出兩個具體案例，案例能夠較好的體現以數解性。

案例：找長方形個數，并給出相應規律。

根據圖形找出長方形的個數，得出規律：直接看到n個小長方形，

長方形個數=（1+2+······+n）個。

以上就是以數解形的典型案例，這個案例難度并不大，實際還存在一些稍微復雜的案例，那么在本文中，筆者對一個稍顯復雜的案例進行展示。

案例：找長方形個數，并給出相應規律。

在完成題目之后，師生共同總結出計算此類圖形長方形的個數規律為：長方形個數=（長邊線段數量×寬邊線段數量）個。

以數解形的方法能夠準確表征圖形特征，也有利于開拓學生的解題思路。在教育教學中，教師應該為學生挑選恰當的例子，讓學生感知以數解形的方式方法。在講解和探索基礎知識過程中，教師應該從多方面尋找數形結合思想相關的素材，給學生體會數形結合思想的機會，幫助學生開闊眼界，拓寬知識面，讓學生積累豐富的經驗，增強學生對數形結合思想的應用意識，例如遇到判斷一個角是否為直角、兩邊是否相等、圖形的周長是多少等類似問題時，讓學生明確不僅僅可以直接進行測量，還可以通過計算得出相應結論。0除了教授應該掌握的知識外，教師可以根據學生掌握知識的實際水平，適當拓展一些幾何與圖形的問題，以此增強學生對數形結合思想的體驗，例如去探索一些平面圖形邊的長度關系，角、周長、面積的大小關系。

3結語

數形結合思想在問題解決中起著重要作用，不僅可以以數解形，也可以以形助數。數形結合思想是一種有效的數學思想，可以發展學生的思維能力。在小學高段的教育教學中，教師引導學生探索基礎知識和解決實際問題時，要深度挖掘數與形的本質關系，讓學生意識到可以利用直觀的形表征數的關系，也可以用精準的數表達形的內在特征和規律。0在學生學習過程中，會多次見識到數形結合的典型例子，學生需多加積累，進行歸納總結，在頭腦中形成數形結合的概念，在實際解決問題時，形成自覺利用數形結合思想的習慣。

參考文獻

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