方格網法在山地選址問題中的應用

陳雨杉

摘要：隨著科技的進步與社會的發展，城市建設對土地的需求越來越大，對于山地城市而言，向山要地更是發展的一個必然選擇。其中，工廠的選址更是成為山地城市中的一個焦點問題。本文基于以上背景對該問題進行分析，結合方格網法建立了離散優化模型并進行求解，從而得到不同條件下的滿意選址結果。

關鍵詞：方格網法;區域土方平衡;最優分層模型

一、背景介紹

近年來，隨著我國經濟的不斷發展以及人口的迅速劇增，城市建設對土地的需求越來越大。因此，為了滿足社會發展的用地需求，人們迫切需要對山地進行開發，尤其是位于城市周邊的山區地帶則成了人們的首要選擇。所以說"開發山地，利用山地"是我們所面對的必然選擇。[1]在建設過程中，對于山區城市而言，向山要地更是成為發展的一個必然的選擇。

但是如何在一片山地之中選擇合適的地域，不僅涉及合適的方位與開挖深度，還需要在挖、填方盡可能平衡的前提下，使工程費用最小。因此，對山區城市的工廠進行合理選址對城市的合理規劃與企業的發展起著至關重要的作用。

二、問題的提出及分析

某山區城市的某工廠需在一片長度為1500米，寬度為1000米的山地之中開挖出一個800米×600米平坦連續的長方形地塊作為工廠的廠房地基選址，在挖、填方土方量盡可能平衡的前提下，考慮在什么地方，什么海拔高度可以平整一塊800米×600米的水平面連片土地，使選址的工程費用最小。

考慮底面區域對應的山體是一個曲頂柱體，根據微積分的知識，可將山地分成n個區域。在底面區域內取一個800米×600米的矩形，建立以矩形左下標點為旋轉中心，旋轉角度為變量的離散連續方程模型，且在挖、填的土石方量盡可能平衡的情況下，確定合適的高度使選址的工程費用最小?；诜礁窬W法，讓底面區域在地面區域范圍內枚舉，即可計算出對應的土石方量最小的值。

三、模型的假設

①假設除了挖土和填土以外，在平整土地的過程中其他作業產生的費用都與800米×600米的連片土地所處的位置方向和海拔高度均無關。

②不考慮計算體積的過程中，分割的小曲頂柱體不能達到無窮小，取一個很小的步長去劃分，使其劃分盡可能的小，而產生的誤差忽略不計。

③不考慮平整土地后表面的凹凸石塊，忽略該局部高度差產生的影響。

四、模型的建立與求解

確定開挖方向，即要確定平整塊的底面位置。首先，將平整區域投影到底面（XOY平面），顯然底面是800米×600米的矩形，假設矩形的四個頂點分別為A、B、C、D。已知山地是長度為1500米，寬度為900米的矩形區域，因此平整塊底面投影矩形ABCD可以在1500×900的區域范圍內任意移動，但四個頂點不能超出這個范圍。

設矩形ABCD的邊長AB=W=600，AC=L=800，各頂點的坐標分別為A（xa，ya），B（xb，yb），C（xc，yc），D（xd，yd），沿A點將矩形ABCD進行旋轉，旋轉角度為θ。已知A點坐標和旋轉角度θ，即可確定B、C、D三點坐標。

基于全搜索法的模型求解：在對1500米×900米的區域進行劃分時，當步長τ越小時，每一個網格的邊長越小，每個小網格對應的海拔高度就越可以用一個值來代替。當τ無限小的時候，每個小網格即可以看作區域上的一個點。所以，在該模型中，τ越小，模型的精度越高。同理，對于旋轉角度θ，當旋轉角度的遞增步長越小，矩形ABCD可供選擇的方案就越多，模型的覆蓋范圍越廣，但這將增加算法的時間復雜度和空間復雜度，因此在求解時，我們選取τ=30，ε取0.1%，旋轉角度θ依次遞增5°進行計算。

Step1：令步長τ為30，對1500×900的區域范圍進行劃分;

Step2：選取一點A，給定旋轉角度θ，計算其余三點坐標，并檢查該平整區域D是否符合約束條件;

Step3：遍歷所有網格，得到在該區域D中的最低高程h1和最高高程h2，從h1開始，以步長為0.2逐步增加得到H，計算H對應的填挖平衡度，此處取ε=0.1%。若填挖平衡9度小于給定的ε值，則進入下一步;否則，舍棄該H。

Step4：計算符合填挖平衡的H所對應的土方石頭量費用，經過比較得到在該區域內的最小費用值和H。

Step5：以步長為10°增加θ，依次計算在該A點符合條件的矩形ABCD的最小費用值和H。

Step6：在約束條件下遍歷所有A點，經過比較得到最小費用和對應的H。

其中各點坐標分別為，A（481，150），B（127.96，219.72），C（1225.66，817.44），D（428.71，747.72），即在以這樣的ABCD構成的矩形區域為底面，在海拔h=15.63751米處平整一塊800米×600米的連片土地，所需要的土石方量費用最低。

五.靈敏度分析

根據對模型相關參數的分析，我們可以發發現，當τ無限小的時候，每個小網格即可以看作區域上的一個點。所以，在該模型中，τ越小，模型的精度越高。因此我們選取τ為30m、15m、10m、5m依次進行求解，得到的最終挖填差：

由圖可以發現，隨著步長τ的減小，挖填差的數量也逐漸減少，但填挖和總量增大。步長為5m的搜索結果填挖幾乎相同，但總填挖量比其他三個步長的大，填挖差的減小帶來了較大的工程量波動，權衡考慮我們選擇步長為10m或15m時的結果作為方案。再對角度的搜索步長與挖填差做靈敏度分析，當搜索角度步長從3°減小到1°時，搜索出的填挖差顯著下降，從10.84降低至0.24，但同樣出現了填挖工程量增大的情況。

六、模型的總結與推廣

該模型具有合理性，使用MATLAB軟件描述山地的三維圖形和等高線圖形，在此基礎上可以得到具有很高的擬合度和適度性。對模型的進一步討論便可以得到一系列可靠而實用的信息，所得結論與客觀事實很好地吻合，從而進一步說明模型是合理的。

本模型雖然討論的是以通過土石方量費用最小的原則來確定平整土地海拔的開挖高度，但是可以推廣到各種合理開挖土地的問題中，用類似的方法進行建模求解。

解決該問題時，我們首先利用MATLAB軟件的三維繪圖功能，畫出工廠這片土地的三維圖形，再確定平整塊開挖的方向。本文所建立的模型可以推廣到其他各種模型。

參考文獻

[1]劉曉夢.論城市周邊山區人居環境的保護與開發[D].2013.

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[4]王寧，曹娟.土地整理中坡改梯土方量的計算方法[J].地理空間息，2018，16（06）：112-113+118+9