基于節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)的螺栓強(qiáng)度可靠性分析

李永華，王百發(fā)，殷浩，孫琦

(大連交通大學(xué) 機(jī)車車輛工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

螺栓作為起緊固連接作用的機(jī)械基礎(chǔ)件，標(biāo)準(zhǔn)和通用程度極高，具有結(jié)構(gòu)簡單，拆裝方便等優(yōu)點(diǎn).螺栓的材料屬性以及工作過程中所受載荷具有隨機(jī)性，螺栓失效會(huì)導(dǎo)致機(jī)械零部件甚至整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的功能失效，因此對(duì)螺栓強(qiáng)度進(jìn)行可靠性分析是十分必要的.傳統(tǒng)的螺栓強(qiáng)度可靠性分析基于MPC接觸方法和蒙特卡羅法進(jìn)行.接觸分析耗時(shí)長，蒙特卡羅法抽取的樣本點(diǎn)數(shù)量龐大，導(dǎo)致傳統(tǒng)的螺栓強(qiáng)度可靠性分析耗時(shí)，難以實(shí)現(xiàn).

惠燁等[1]基于結(jié)合面變形和構(gòu)件變形的耦合關(guān)系，提出在構(gòu)件間增加虛擬材料層反映結(jié)合部非線性特性的假設(shè)并建立包含結(jié)合部特性的模型，提高了螺栓和構(gòu)件整體分析的準(zhǔn)確性；李玲等[2]對(duì)螺栓與結(jié)合面因素進(jìn)行綜合考慮，運(yùn)用功率譜函數(shù)以及WM函數(shù)表征結(jié)合面微觀特征，利用Mindlin理論和統(tǒng)計(jì)學(xué)方法建立了能正確反映螺栓結(jié)合面剛度的分析模型；姚星宇等[3]將層單元方法應(yīng)用到螺栓連接部位模擬中，給出其參數(shù)化建模方法，并證實(shí)了該方法在實(shí)際結(jié)構(gòu)應(yīng)用中的有效性；孫志勇等[4]基于薄層單元參數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系，建立響應(yīng)面，并采用遺傳算法實(shí)現(xiàn)薄層單元參數(shù)的優(yōu)化辨識(shí)；Mael Couchaux等[5]基于增強(qiáng)束理論，建立了預(yù)測螺栓連接彈性行為的機(jī)械模型，可對(duì)螺栓力進(jìn)行較為精確的評(píng)估.以上研究提高了接觸區(qū)域建模的精確度，使螺栓強(qiáng)度分析結(jié)果更接近于工程實(shí)際，然而并未解決傳統(tǒng)螺栓強(qiáng)度可靠性分析耗時(shí)嚴(yán)重的問題.

本文以某地鐵司機(jī)室座椅連接螺栓為研究對(duì)象，建立其節(jié)點(diǎn)耦合模型進(jìn)行強(qiáng)度分析，并與接觸非線性分析的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.基于節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)和響應(yīng)面法對(duì)螺栓強(qiáng)度可靠性進(jìn)行分析，該可靠性分析方法可在極大程度上節(jié)省分析時(shí)間.

1 理論基礎(chǔ)

1.1 節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)

螺栓在實(shí)際工作的過程中，通過預(yù)緊力將多個(gè)部件連接起來.各個(gè)部件主要通過接觸來傳遞力和力矩.可以采用在接觸位置添加節(jié)點(diǎn)耦合的方法模擬接觸行為，這種方法基于小變形理論，使部件間連接變得更加簡單[6].

節(jié)點(diǎn)耦合就是將有接觸關(guān)系的不同部件的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)連接，使連接的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)在指定坐標(biāo)方向上的位移取相同數(shù)值.

根據(jù)節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)需要建立不同節(jié)點(diǎn)間的耦合自由度集，該集合包含一個(gè)主自由度和一個(gè)或多個(gè)其他自由度，在計(jì)算時(shí)只將主自由度在分析的矩陣方程里進(jìn)行保存，而將耦合集內(nèi)的其他自由度刪除.計(jì)算的主自由度值將分配到耦合集內(nèi)的所有其他自由度中[7-8].

一般情況下，對(duì)兩個(gè)不同節(jié)點(diǎn)的所有自由度進(jìn)行耦合，所需創(chuàng)建的約束方程為

UX(i)-UX(j)+0.1ROTZ(j)=0

UY(i)-UY(j)+0.1ROTZ(j)=0

ROTZ(i)-ROTZ(j)=0

(1)

當(dāng)對(duì)多個(gè)節(jié)點(diǎn)的自由度進(jìn)行耦合時(shí)，約束方程的通用關(guān)系式為

(2)

式中，i為節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)號(hào)，Ci為自由度系數(shù)，ui為節(jié)點(diǎn)自由度，C0為常數(shù)項(xiàng).

1.2 響應(yīng)面法

響應(yīng)面法就是用一系列基函數(shù)來近似隱式極限狀態(tài)函數(shù)[9-10].多項(xiàng)式響應(yīng)面基本思想為，通過確定性試驗(yàn)得到一系列輸入和輸出值，采用最小二乘法擬合多項(xiàng)式函數(shù)來近似設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)值之間的映象關(guān)系.

二階響應(yīng)面(不包含交叉項(xiàng))的基本形式為

(3)

式中，α0、αi、αii均為待求系數(shù).

寫成向量的形式為

X×α=Y

(4)

把樣本點(diǎn)的值代入式(5)，利用最小二乘法得到系數(shù)向量

(5)

1.3 結(jié)構(gòu)可靠性

在實(shí)際使用過程中，由于螺栓本身的材料屬性及受載的不確定性，導(dǎo)致其工作強(qiáng)度會(huì)發(fā)生一定波動(dòng)，當(dāng)螺栓的工作強(qiáng)度超過其材料的屈服強(qiáng)度時(shí)，就會(huì)發(fā)生斷裂，無法完成規(guī)定的連接功能；當(dāng)螺栓的工作強(qiáng)度小于材料的屈服強(qiáng)度，則其處于安全狀態(tài)，可以繼續(xù)工作[11-12].

根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論建立螺栓強(qiáng)度的極限狀態(tài)函數(shù)

(6)

式中，R為螺栓材料的屈服強(qiáng)度，S為實(shí)際工況下螺栓的最大Von. Mises應(yīng)力.

結(jié)構(gòu)的可靠度就是Z>0的概率.

2 工程案例

2.1 節(jié)點(diǎn)耦合模型強(qiáng)度分析

為驗(yàn)證基于節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)和響應(yīng)面法的螺栓強(qiáng)度可靠性分析方法可行性，以地鐵司機(jī)室座椅連接螺栓為研究對(duì)象，進(jìn)行螺栓強(qiáng)度可靠性分析.

地鐵司機(jī)室座椅有限元模型如圖1～2所示，主要包括頭枕、靠背、座墊、座椅架和底座等結(jié)構(gòu)，座椅通過螺栓與司機(jī)室地板連接.

圖1 地鐵司機(jī)室座椅有限元模型

圖2 連接螺栓位置局部放大圖

司機(jī)室座椅連接螺栓的靜強(qiáng)度工況包括螺栓預(yù)緊力工況和緊急制動(dòng)工況，其具體工況見表1.

在對(duì)接觸區(qū)域進(jìn)行節(jié)點(diǎn)耦合建模時(shí)，首先根據(jù)模型的總體受力和約束情況初步確定節(jié)點(diǎn)耦合區(qū)域，再根據(jù)應(yīng)力和變形的分布確定耦合節(jié)點(diǎn)的范圍，最后根據(jù)模型的傳力情況確定主節(jié)點(diǎn)、從屬節(jié)點(diǎn)和需要耦合的自由度.

基于節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)對(duì)接觸區(qū)域進(jìn)行建模，得到其有限元模型如圖3所示，在螺栓預(yù)緊力工況下和緊急制動(dòng)工況下分別包括13和15個(gè)耦合集.對(duì)基于節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)的有限元模型進(jìn)行線性分析，所得螺栓Von. Mises應(yīng)力結(jié)果如圖3所示.

(a) 螺栓預(yù)緊力工況接觸區(qū)域有限元模型

(b) 緊急制動(dòng)工況接觸區(qū)域有限元模型圖3 基于節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)的接觸區(qū)域有限元模型

由圖4可知，在螺栓預(yù)緊力工況下，其最大應(yīng)力出現(xiàn)在螺帽螺桿過渡區(qū)域，這是由于節(jié)點(diǎn)耦合區(qū)域過約束造成的；在緊急制動(dòng)工況下，螺栓最大應(yīng)力出現(xiàn)位置為螺桿與地板的連接位置，其分析結(jié)果符合工程實(shí)際.兩個(gè)工況下的螺栓最大Von. Mises應(yīng)力值為243.63 和538.12 MPa，小于螺栓材料的屈服強(qiáng)度640 MPa，滿足強(qiáng)度要求.

(a) 螺栓預(yù)緊力工況螺栓Von.Mises應(yīng)力云圖

(b) 緊急制動(dòng)工況螺栓Von.Mises應(yīng)力云圖圖4 節(jié)點(diǎn)耦合模型的螺栓Von. Mises應(yīng)力云圖

2.2 接觸模型強(qiáng)度分析

對(duì)地鐵司機(jī)室座椅連接螺栓進(jìn)行基于MPC接觸算法的非線性分析，并將強(qiáng)度分析結(jié)果與節(jié)點(diǎn)耦合模型的強(qiáng)度分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證節(jié)點(diǎn)耦合模型強(qiáng)度分析結(jié)果的正確性.

進(jìn)行螺栓強(qiáng)度的接觸非線性分析前，為保證強(qiáng)度分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，需要對(duì)接觸計(jì)算參數(shù)進(jìn)行合理的賦值.按照工程實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，法向懲罰剛度(Normal Penalty Stiffness)和穿透容差(Penetration Tolerance)取0.5，摩擦系數(shù)(Friction Coefficient)取0.15，同時(shí)打開大變形開關(guān).為加快迭代收斂速度選用牛頓-拉普森迭代法(Full Newton-Raphson).

根據(jù)表1中的靜強(qiáng)度工況，對(duì)座椅連接螺栓進(jìn)行接觸非線性分析，得到螺栓預(yù)緊力工況和緊急制動(dòng)工況下的迭代曲線和螺栓Von. Mises應(yīng)力結(jié)果如圖5 ～ 6所示.

由圖5可知，在螺栓預(yù)緊力工況下，非線分析迭代到第4步時(shí)， 力F，位移U以及轉(zhuǎn)矩M的范數(shù)均低于收斂準(zhǔn)則，迭代到第11步時(shí)計(jì)算結(jié)束；在緊急制動(dòng)工況下分析迭代到第13步時(shí)，力F，位移U以及轉(zhuǎn)矩M的范數(shù)均低于收斂準(zhǔn)則，迭代到第19步計(jì)算結(jié)束.兩個(gè)工況的非線性分析迭代次數(shù)較少，說明分析的非線性程度較低，證明可以考慮采用線性節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)進(jìn)行接觸區(qū)域建模.

(a) 螺栓預(yù)緊力工況迭代曲線圖

(b) 緊急制動(dòng)工況迭代曲線圖圖5 非線性分析迭代曲線圖

由圖6可知，在螺栓預(yù)緊力工況和緊急制動(dòng)工況下，螺栓最大應(yīng)力均出現(xiàn)在螺桿與地板連接位置，說明在螺栓工作過程中螺桿受力較大.螺栓應(yīng)力值較大的位置存在形狀突變，屬于應(yīng)力集中高發(fā)區(qū)，說明分析結(jié)果符合工程實(shí)際.兩個(gè)工況下螺栓最大Von.Mises應(yīng)力值分別為249.34 和562.55 MPa，小于螺栓材料的屈服強(qiáng)度640 MPa.兩種建模方式和工況下的螺栓最大Von.Mises應(yīng)力值對(duì)比見表2.

表2 螺栓最大Von.Mises應(yīng)力值對(duì)比

(a)螺栓預(yù)緊力工況螺栓Von.Mises應(yīng)力云圖

(b)緊急制動(dòng)工況螺栓Von.Mises應(yīng)力云圖圖6 接觸模型的螺栓Von.Mises應(yīng)力云圖

由表2可知，在螺栓預(yù)緊力工況下，兩種建模方式下分析所得螺栓最大Von.Mises應(yīng)力值結(jié)果最大相對(duì)誤差絕對(duì)值為2.47%；在緊急制動(dòng)工況下，兩種建模方式下分析所得螺栓最大Von.Mises應(yīng)力值相對(duì)誤差絕對(duì)值最大值為7.20%，保持在10%以內(nèi)，證明在滿足一定的計(jì)算精度要求的前提下，可以使用節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)進(jìn)行接觸區(qū)域建模并進(jìn)行強(qiáng)度分析.

對(duì)兩種建模方法下的分析時(shí)間進(jìn)行記錄，發(fā)現(xiàn)基于節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)的線性分析時(shí)間僅為接觸非線性分析時(shí)間的4.89%.

2.3 螺栓強(qiáng)度可靠性分析

上文已經(jīng)證明在保證一定計(jì)算精度的前提下，可以使用節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)對(duì)接觸區(qū)域進(jìn)行建模，且可以減少大量強(qiáng)度分析時(shí)間.為進(jìn)一步節(jié)省可靠性分析所耗時(shí)間，在節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)進(jìn)行建模的基礎(chǔ)上，采用響應(yīng)面法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的蒙特卡羅法進(jìn)行螺栓強(qiáng)度可靠性分析.

將司機(jī)室座椅兩種材料的彈性模量、泊松比、螺栓預(yù)緊力以及工作外載作為設(shè)計(jì)參數(shù)，對(duì)有限元模型進(jìn)行參數(shù)化，各設(shè)計(jì)參數(shù)以及分布類型見表3.

表3 設(shè)計(jì)參數(shù)及分布類型

運(yùn)用中心復(fù)合設(shè)計(jì)選取初始樣本點(diǎn)，并將其帶入有限元模型中進(jìn)行確定性分析，得到對(duì)應(yīng)的螺栓最大Von.Mises應(yīng)力值，試驗(yàn)設(shè)計(jì)所得部分樣本點(diǎn)及響應(yīng)值見表4.

表4 試驗(yàn)設(shè)計(jì)及響應(yīng)值

根據(jù)表4的45組樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)，利用最小二乘法擬合二次項(xiàng)系數(shù)，建立螺栓強(qiáng)度的多項(xiàng)式響應(yīng)面函數(shù)為

(7)

式中，x1、x2、x3、x4、x5以及x6分別對(duì)應(yīng)彈性模量E1、彈性模量E2、泊松比PR1、泊松比PR2、工作外載Fw以及螺栓預(yù)緊力Fy.

各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)螺栓最大Von.Mises應(yīng)力值的三維響應(yīng)曲面如圖7所示.

(a)彈性模量E1、E2的響應(yīng)曲面

(b)泊松比PR1、PR2的響應(yīng)曲面

(c)載荷Fw、Fy的響應(yīng)曲面圖7 設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)螺栓最大Von.Mises應(yīng)力值的響應(yīng)曲面

由圖7可知，各設(shè)計(jì)參數(shù)的變化對(duì)螺栓最大Von.Mises應(yīng)力值均具有一定影響，彈性模量E1和泊松比PR1的增加會(huì)導(dǎo)致螺栓最大Von.Mises應(yīng)力值的減小，工作外載Fw、螺栓預(yù)緊力Fy、彈性模量E2和泊松比PR2的增加會(huì)導(dǎo)致螺栓最大Von.Mises應(yīng)力值的增大，符合工程實(shí)際中的情況.工作外載Fw以及螺栓預(yù)緊力Fy對(duì)螺栓最大Von.Mises應(yīng)力值的敏感性較強(qiáng).

運(yùn)用拉丁超立方抽樣技術(shù)進(jìn)行100 000次抽樣，進(jìn)行可靠度計(jì)算，得到極限狀態(tài)函數(shù)Z的概率密度以及各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)螺栓強(qiáng)度可靠性的靈敏度水平分別如圖8 ～9所示.

圖8 極限狀態(tài)函數(shù)Z的概率密度

圖9 各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)極限狀態(tài)函數(shù)Z的靈敏度水平

由圖8可知，極限狀態(tài)函數(shù)Z的抽樣結(jié)果接近正態(tài)分布曲線，樣本點(diǎn)落在50 ～200 MPa之間的數(shù)量較多.提取可靠性分析結(jié)果可得到極限狀態(tài)函數(shù)Z大于0的可靠度為0.999 6，即螺栓最大Von.Mises應(yīng)力小于材料屈服強(qiáng)度，結(jié)構(gòu)不會(huì)發(fā)生失效的概率為99.96 %.

由圖9可知各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)極限狀態(tài)函數(shù)Z的影響程度.對(duì)螺栓強(qiáng)度可靠性影響較大的設(shè)計(jì)參數(shù)為工作外載Fw和螺栓預(yù)緊力Fy，且與工作外載和螺栓預(yù)緊力成負(fù)相關(guān)，即螺栓強(qiáng)度可靠性隨著工作外載和螺栓預(yù)緊力的增大而減小，與工程實(shí)際情況相符.彈性模量E1、彈性模量E2，泊松比PR1以及泊松比PR2對(duì)螺栓強(qiáng)度可靠性的影響相對(duì)較小，可以忽略不計(jì).螺栓強(qiáng)度可靠性主要受到工作外載和螺栓預(yù)緊力的影響，工作外載受現(xiàn)場實(shí)況的影響較大，不可控程度高，而螺栓預(yù)緊力屬于人工施加，可控程度高，所以可以通過提升螺栓預(yù)緊力施加的精確度來保證螺栓強(qiáng)度具有較高的可靠性.

3 結(jié)論

(1)基于節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)對(duì)地鐵司機(jī)室座椅連接螺栓建模并進(jìn)行強(qiáng)度分析，解決了基于MPC接觸方法的螺栓強(qiáng)度分析耗時(shí)問題;

(2)提出了一種基于節(jié)點(diǎn)耦合技術(shù)和響應(yīng)面法的螺栓強(qiáng)度可靠性分析方法，該方法可以在極大程度上節(jié)省可靠性分析時(shí)間;

(3)可靠性分析結(jié)果顯示螺栓結(jié)構(gòu)不會(huì)發(fā)生失效的概率為99.96 %.由靈敏度結(jié)果可知，對(duì)螺栓強(qiáng)度可靠性影響最大的設(shè)計(jì)參數(shù)為工作外載Fw和螺栓預(yù)緊力Fy.在實(shí)際工程中可以通過提高螺栓預(yù)緊力施加的精確度來保證螺栓強(qiáng)度具有較高的可靠性.