基于固定時間擾動觀測器的四旋翼無人機軌跡跟蹤控制

張愛華,蘇梓楠,劉小旭

(1. 渤海大學 創新創業學院，遼寧 錦州 121013； 2. 渤海大學 控制科學與工程學院，遼寧 錦州 121013；3. 深圳技術大學 中德智能制造學院，廣東 深圳 518118)

0 引言

在過去的幾十年里，無人駕駛飛行器系統(UAS)憑借其獨特的優勢和研究價值，在自動控制系統領域中得到了越來越多的學者重視。四旋翼是一種小型無人駕駛飛行器，配備有4個螺旋槳，可以進行垂直起降與6個自由度放心度的運動[1]。四旋翼無人機因其具有機動性強、操作方便、較強的隱蔽性、復雜環境中的穩定性等特點，在商業和軍事領域中得到廣泛應用。近年來，四旋翼無人機已廣泛應用于航空攝影、電力檢查、包裹運輸、農業植物保護、軍事偵察、地理勘探、搜救等諸多領域[2-4]。因此，工業界針對四旋翼進行設計的控制算法數量也在與日俱增，以滿足不同任務下無人機的設計要求[5]。

為了使四旋翼無人機更具靈活性同時能更好地完成任務，目前大部分無人機都具有6個自由度(DOF)，即包括3個平移自由度與3個旋轉自由度[6]。由于四旋翼無人機的應用場景大多為室外區域，甚至為一些較為復雜惡劣的環境，因此，無人機的抗擾性能成為了其控制的首要關注點，如何針對復雜外部干擾進行補償是使得無人機穩定的關鍵因素之一；同時，其作為一個典型的非線性欠驅動高耦合控制系統，近年來越來越多的學者提出了跟蹤和控制四旋翼無人機在復雜干擾情況下的新方法理論[7]。

首先，最經典的研究方向為線性控制方法。其中，PID控制器[8-11]由于簡單易用且穩定的控制結構而得到廣泛使用。在Wang等人的工作中[8]，針對動態未知數字PID控制系統的容錯問題設計了具有容錯補償功能的閉環控制系統。在Javier等人的工作中[9]，在四旋翼無人機位置和姿態增益不確定的前提下，提出了新的PID控制算法，特別是在執行器故障的情況下，取得了較好的控制效果。同時，針對四旋翼無人機高速控制器缺乏精確的動態模型問題，Hoffmann等人[10]提出了基于PID控制的新型四旋翼無人機架構。文獻[11]設計了一種基于PID控制的新型固定間距無人機，結合了直升機和四旋翼的結構特點設計了一種新型的三角四旋翼無人機結構。此外，線性二次調節器(LQR)技術[12-13]也已應用于無人機以實現相應的飛行控制任務。為了獲得處于懸停狀態的四旋翼無人機的最佳反饋增益，Dhew等人[12]設計了基于LQR方法的新型四旋翼控制方法，取得了良好的效果。在Wu等人的工作中[13]，在傳統LQR控制器的基礎上，提出了基于神經網絡ARX模型集的改進LQR控制器，實現了增益調度功能，更好地控制四旋翼無人機。

通過比較上述經典的線性控制方法，我們不難發現，線性控制方法以其出現較早、控制結構簡單、易于實現等特點廣泛應用于諸如對新無人機結構的測試、與新控制算法的結合當中，但是其自身難以應用于復雜控制場景，對存在較強干擾的非線性系統來說魯棒性提升較小。隨著學者們的不斷研究，現代控制方法近幾十年來得到了廣泛的發展。越來越多的現代控制方法應用于四軸無人機，以完成基于復雜非線性系統的各種高精度任務，在高精度跟蹤控制中獲得了廣泛的應用。例如，滑模技術[14-16]，自適應控制技術[17-18]，模型預測技術(MPC)[19-20]，輸出反饋控制[21-22]，模糊邏輯技術[23]，神經網絡[24-25]，魯棒控制[26]等。在文獻[14]的工作中，針對四旋翼的4個電機的魯棒控制問題，提出了基于有限時間滑模觀測器的跟蹤控制策略。在Zhao等人的工作中[15]，在內環控制中使用滑模技術設計控制器用于外環控制，解決了欠驅動四旋翼無人機系統的漸進式跟蹤控制問題。針對四旋翼無人機物理結構老化問題，Liu等人的研究[16]中提出了一種將自適應和滑模技術相結合的姿態容錯控制方法。在Chen等人的研究[17]中，通過采用基于預測的自適應優化控制方法，解決了單機邏輯失控的情況，使無人機能夠獲得更好的性能。針對四旋翼無人機在強擾動下的有限時間姿態控制問題，文獻[18]提出了基于二階多變量系統自適應有限時間控制算法。在Torrente等人的研究[19]中，通過將MPC引入四旋翼控制器的設計，并采用全新動態建模方法，四旋翼可以實現高精度軌跡跟蹤。針對強風噪聲下無人機跟蹤精度低的問題，Alexis等人[20]設計了一種新型的切換模型預測控制器。在Dierks等人的研究[21]中，引入一種以神經網絡技術為基礎的優化輸出反饋控制方法，解決四旋翼無人機的控制問題。在Shao等人的研究[22]中，將與動態表面控制相結合的神經網絡理念引入傳統的基于反饋控制的四旋翼控制算法中，從而提高了控制精度，進一步降低了成本。在Han等人所提出的一種新型的四旋翼控制方法[23]中，將模糊回聲狀態網引入四旋翼控制器的設計中，以更好地提高控制能力。文獻[24]通過引入神經網絡來進一步優化無人機飛行控制問題。文獻[25]進一步證明神經網絡可用于基于四旋翼的脈沖估計器的系數訓練當中。為了解決多輸入多輸出系統中存在的不連續非線性隨機泊松擾動時的軌跡跟蹤問題，文獻[26]提出了一種新的魯棒控制算法。

上述非線性控制方法在解決了高精度跟蹤控制問題的同時也增加了計算的復雜度，對于非線性系統的控制器設計來說，反步法(backstepping)是一個比較易于實現且非常有效地控制方法[27-28]。Zhou等人的研究[27]中，提出基于經典反步法的積分反步法，并比較了該方法與經典反步法，有效地說明了反步法在非線性控制中的優越性。同時為了解決反步法實際應用中的維度爆炸問題，Shao等人的研究工作[28]提出在傳統反步法的基礎上應用動態表面控制技術用于軌道跟蹤和姿態穩定。

雖然基于現有的各種控制方法，四旋翼無人機可以達到良好的軌跡跟蹤精度，但仍存在一些問題，例如針對在復雜干擾下的傳統反步法的跟蹤精度不高等問題。同時，常規擾動觀測器在收斂時間上存在一定的不確定性。基于以上存在的問題，本文提出了一種基于固定時間理論的擾動觀測器，旨在使系統能夠快速響應外界復雜干擾的變化情況，同時在系統中引入基于傳統反步法的反饋補償控制器，以提高復雜外部擾動作用下的軌跡跟蹤精度，增強系統的魯棒性。

文章的主要貢獻如下：

1)針對姿態環和位置環分別設計反步法控制器與固定時間擾動觀測器(FOBC)實現了四旋翼無人機6-DOF的雙閉環控制。借助于姿態環與位置環之間的高度耦合關系，可以實現高精度軌跡跟蹤。

2)提出基于固定時間理論的擾動觀測器，使系統能夠在固定時間內準確估計外部干擾值，從而為控制器提供準確的干擾補償值，使整個系統能夠消除擾動帶來的影響。

文章的結構如下：第1節描述了四旋翼無人機的 6-DOF 動態模型和控制問題陳述。第2節對本文所提出的控制算法進行設計說明，并證明了其穩定性。第3節針對本文所提出的控制方法進行數值仿真實驗，在第2節基礎上進一步驗證其有效性。第4節總結全文工作并為今后的工作指明方向。

1 數學模型與問題陳述

1.1 四旋翼無人機數學模型

四旋翼無人機為一個具有六自由度的欠驅動系統。為了更好地展示四旋翼的機械結構，圖1給出了飛行器的總體受力情況。其中Ee{OEXEYEZE}表示地球坐標系，Bb{OBXBYBZB}表示無人機機體坐標系，OB表示四旋翼無人機的質量中心。

圖1 四旋翼無人機3D結構

假設1:四旋翼無人機是一個嚴格對稱的剛體。

假設2:地球表面是一個嚴格的平面，同時地球系可以定義為一個慣性系。

假設3: 重力加速度恒定且垂直于地球表面。

假設4:由于無人機螺旋槳葉片旋轉時的不穩定性引起的擾動可以忽略不計。

四旋翼無人機飛行時所處空間的3個位置信息表示為χ=[x,y,z]T，同時由機身坐標系產生的線速度表示為v=[vx,vy,vz]T。機身的慣性矩陣I∈3×3定義為進一步的使用3個歐拉角δ=[φ,θ,ψ]T來描述無人機旋轉運動，其中φ∈為繞XB軸旋轉時的橫滾角，θ∈為繞YB軸旋轉時的俯仰角，ψ∈為繞ZB軸旋轉時的偏航角。角速度表示為?=[ωφ,ωθ,ωψ]T。無人機運動學方程表示為(1)～(2)：

(1)

(2)

式(1)與(2)中的T,R∈3×3分別表示無人機的轉移矩陣與旋轉矩陣，可以由以下形式給出：

(3)

(4)

式中,S(·),C(·),T(·)分別表示三角函數sin(·),cos(·),tan(·)。

通過應用“歐拉-拉格朗日”方程，無人機的平移動力學方程可以轉寫為如下形式：

(5)

其中:m∈為四旋翼無人機的質量，FU∈3由FU=Tρ表示，其中表示由四旋翼4個電機轉子產生的推力。FG∈3表示無人機所承受的重力可以由公式表示，g表示重力加速度常數。dχ∈3表示施加在四旋翼上的外部復雜干擾力。

四旋翼飛行器的姿態動力學方程可以改寫為一般形式：

(6)

其中:τf,τd∈3表示控制轉矩和擾動轉矩。同時，Ν(δ)∈3×3表示為如下形式：

Ν(δ)=

(7)

(8)

c11=0

此外，四旋翼螺旋槳產生的扭矩可以表示為：

(9)

1.2 問題陳述

本文旨在使四旋翼無人機在復雜外界干擾條件下準確跟蹤期望軌跡信號。因此，控制問題可以描述為任何具有初始偏航角的四旋翼飛行器，設計一種姿態和位置的全6-DOF跟蹤控制方法，以確保四旋翼飛行器即使在外部干擾下仍能得精確跟蹤期望的軌跡。此外，無人機的位置和姿態的期望值可以分別給出為χd=[xd,yd,zd]T∈3，δd=[φd,θd,ψd]T∈3。為了進一步設計控制器，χe=χ-χd=[xe,ye,ze]T，δe=δ-δd=[φe,θe,ψe]T分別定義了位置和姿態跟蹤誤差。

假設5:給定的姿態與位置期望軌跡信號滿足二階連續可導性且有界。

2 控制律設計與穩定性分析

為了實現上節提出的四旋翼無人機在受到復雜外部干擾下仍能實現高精度跟蹤的任務，本章提出了一種基于固定時間理論的擾動觀測器與控制器相結合的抗擾控制方法。如圖2所示，首先設計兩個基于固定時間理論的擾動觀測器來重構位置和姿態環的擾動量，即擾動力和擾動力矩。在此基礎上，利用backstepping方法分別設計了位置和姿態控制器。最終，該閉環系統可以準確地重構并抵抗外部擾動，從而在存在復雜外部干擾的情況下實現對期望軌跡的精確跟蹤，通過Lyapunov方法證明了閉環系統是漸近穩定的。

圖2 控制方法流程圖

2.1 位置環的固定時間抗擾觀測器設計

固定時間收斂特性是指系統狀態從任意初始條件開始，都會在有限時間內收斂到平衡點，且收斂時間一致且有界。

為了便于固定時間觀測器的設計，根據式(1)表示的四旋翼動力學模型建立如下狀態方程：

x1=χ

(10)

(11)

(12)

為了進一步設計觀測器，下面的輔助系統xA∈3由下式給出：

(13)

其中:Λ1∈為一個正定向量，同時xr=x2-xA。

定理1：用來估計擾動dχ的擾動觀測器設計如下：

(14)

進一步的設計固定時間觀測器為如下形式：

λ1|e1|psign(e1)+λ2|e1|qsign(e1)

(15)

(16)

Λ2Λ3e1-λ1|e1|psign(e1)-λ2|e1|qsign(e1)

(17)

將公式(17)進一步轉換可以得到：

(18)

定義一個新變量為∏=e(1-q)1，式(18)可以轉換為：

Λ2Λ3∏1/(1-q))=-(1-q)(λ1∏(p-q)/(1-q)+λ2+Λ2Λ3∏)

(19)

∏(0)=∏0

(20)

將式(19)改寫為式(21)：

(21)

對上式兩邊進行積分可得式(22)：

(22)

定義新變量?(∏)為如下形式，同時對式(22)進行改寫：

(23)

?(∏)-?(∏0)=-(1-q)t

(24)

其中:∏0為∏的初值，可以得到?(∏0)為一個常數，進一步可以給出以下定量關系：

(25)

由于當t趨向于無窮時?(∏)為一個單調遞減函數，因此當且僅當∏=0時，e1=0，?(∏)=0。為了驗證方程(10)中的e1收斂到e1=0，只需驗證在t趨向于無窮時?(∏0)收斂到?(∏0)=0。

選擇一個Lyapunov函數V=?(∏)2/2，可以得到：

(26)

(27)

(28)

(29)

將式(15)與式(13)結合可以得到：

(30)

從上述證明以及結論中我們可以得出定理1成立。

2.2 姿態環的固定時間抗擾觀測器設計

為了更好地消除未知復雜擾動對四旋翼無人機姿態的影響，本節將設計一個基于固定時間的抗擾觀測器來估計未知復雜擾動值。根據式(2)可進一步將四旋翼的動力學方程改寫為：

(31)

進一步定義一個新的狀態變量為：

(32)

τf+τd-Μ(Θ1,Θ2)

(33)

定理2：一個用于估計姿態環擾動τd的擾動觀測器設計如下：

(34)

姿態環的固定時間觀測器可以設計為：

(35)

(36)

證明:如定理1證明類似，觀測器如下：

(37)

可見，此二階系統滿足式(18)中顯示的結構，即系統全局收斂至0。不難發現式(37)中k1,k2,k3,α,β可分別類比與式(18)中的λ1,λ2,λ3,p,q。故此證明過程與定理1證明類似，同理可以證得e2在固定時間內收斂于0。且上限滿足式(36)，收斂時間上限只與k1,k2,k3,α,β有關。

觀測器誤差τe滿足：

(38)

由此可得定理2成立，觀測器誤差τe能夠在固定時間內收斂至0。

2.3 位置環控制律設計

在本節中，將針對無人機位置環控制器部分進行設計，backstepping技術由于其有效性及穩定性一直被廣泛應用在非線性控制系統中，本節中將backstepping技術與前文所設計的固定時間抗擾觀測器相結合來設計四旋翼無人機位置環控制器。位置跟蹤誤差χe已在第 1.2 節中給出，同時引入一個新變量：

(39)

定理3：對于式(1)中所示的基于位置的動態方程，位置控制定律設計為如下形式：

ρ=

(40)

其中：控制增益滿足ka>0,kb>1,Λ2Λ3>1。

當基于該控制律的閉環控制系統在受到復雜外部擾動dχ時，整個控制系統能夠達到漸近穩定。

證明: 將(40)進一步轉化可以得到：

(41)

選擇Lyapunov函數：

(42)

其導數可以推到如下公式：

(43)

由式(30)可得：

(44)

將式(44)代入式(43)可進一步得：

(45)

≤-2ΔVb

(46)

其中:Δ=min{ka,kb-1,Λ2Λ3-1}>0，因此V1滿足V1(t)≤V1(0)e-2Δt。綜上所述，位置環控制器能夠漸進穩定。

2.4 姿態環控制律設計

姿態環控制器的設計過程與前一節中給出的位置環控制器相似。引入另一個新變量：

(47)

定理4：對于式(2)中所示的無人機姿態動力學方程，控制律可以設計為如下形式：

(48)

姿態控制律中的控制增益選擇為la>0,lb>1,a2a3>1。

當基于該控制律的閉環控制系統在受到復雜外部擾動τd時，整個控制系統能夠達到漸近穩定。

證明: 這部分證明類似于定理3，使用相同的證明方法。將式(48)代入動力學方程，可以獲得：

(49)

選擇Lyapunov 方程V2：

(50)

其導數可以寫成如下的形式：

(51)

由觀測器公式(38)可得：

(52)

將式(52)代入式(51)可得：

(53)

(54)

其中：Δ=min{la,lb-1,a2a3-1}>0。因此，V2滿足V2(t)≤V2(0)e-2Δ2t。綜上所述，姿態環控制器能夠漸進穩定。

總之，通過定理3和定理4及其證明，當該6-DOF無人機系統受到復雜外部擾動時，可以得到本文所設計的由位置與姿態環構成的閉環控制系統在固定時間內全局漸進穩定。后續的仿真實驗更進一步驗證了這一結論，同時驗證了引入固定時間觀測器可以很好地估計外部干擾，并同時在固定時間內實現收斂。

2.5 蹤控制器的實際實現

由于四旋翼無人機是一種多轉子欠驅動系統，其位置環和姿態環之間為高度耦合關系。為了更好地跟蹤軌跡，姿態環中除了給定的期望偏航角度ψd之外，橫滾角φd與俯仰角θd將有位置環進行進一步結算得出。通過李代數計算虛擬控制信號Ua，可以得出“歐拉角”的參數化提取滿足以下要求：

(55)

在此基礎上，以下公式可以通過任何給定的偏航角ψd獲得所需的橫滾角與俯仰角的期望值

(56)

(57)

3 實驗結果與分析

本節中，通過數值仿真來驗證本文針對四旋翼無人機在受到復雜干擾情況下的跟蹤問題所設計控制方法的性能。對在復雜外部擾動作用下的軌跡跟蹤情況進行模擬。

無人機模型式[27]與控制律中的參數選擇為：m=1.44 kg，g=9.8 m/s2，Ix=0.03 kg·m2，Iy=0.03 kg·m2，Iz=0.04 kg·m2，b=3.026×10-5Ns2，d=3.122×10-6Ns2，Λ1=0.002 5，Λ2=5.5，Λ3=70，λ1=λ2=20，p=α=1.3，q=β=0.6，k1=k2=50，a1=0.001，a2=7.5，ka=150，kb=25，la=100，lb=20.8。

仿真部分將模擬施加復雜外部干擾的四旋翼無人機軌跡跟蹤情況?？刂颇繕耸谴_保四旋翼能夠跟蹤期望軌跡。下面描述了本實驗給定的期望軌跡：

(58)

同時為了驗證所設計的觀測器可以實時估計干擾，在5～20 s內對6自由度給定由常值信號與時變信號組成的復雜外部干擾信號：

dy=0.2cos(5t)-0.2sin(5t) 5

(59)

dz=0.2sin(5t) 5

τdφ=0.5cos(2t) 5

τdθ=0.2sin(3t)-0.1cos(2t) 5

(60)

τdψ=0.5sin(2t) 5

圖3顯示整個軌跡跟蹤階段，對FOBC與 BC方法的軌跡跟蹤效果進行比較，以顯示在復雜外部擾動作用下本文所提出方法的有效性。圖4和5分別顯示位置和姿態的跟蹤誤差比較，表1和表2進一步提供了實驗的可靠性。

圖3 BC與FOBC軌跡跟蹤效果對比

圖4 位置誤差(xe,ye,ze)對比

從圖3的實驗結果中可以看出，本文提出的FOBC控制方法的跟蹤效果明顯優于傳統的反步控制方法(BC)，可以有效補償軌跡跟蹤中的復雜外部干擾，提高四旋翼無人機的穩定性及魯棒性。同時，由圖4～圖5的曲線可以看出該方法的誤差、超調以及魯棒性均優于傳統反步法。表1以及表2所示的跟蹤誤差對比情況，顯示出在軌跡跟蹤時本文所提出的方法比BC法誤差更小，無人機系統能獲得更好的抗擾性能。

圖5 姿態誤差(φe,θe,ψe)對比

表1 BC與FOBC的位置跟蹤誤差對比

表2 BC與FOBC的姿態跟蹤誤差對比

為了進一步分析所提方法的可靠性，以下給出觀測器的仿真結果，圖6～11反映了觀測器對復雜外部擾動的重構能力，給出觀測器估計值跟蹤觀擾動真實值的能力，同時，在圖12和圖13中進一步給出觀測器估計誤差圖，表3與表4給出了觀測器誤差的數據說明。

表3 位置環觀測器估計值誤差

表4 姿態環觀測器估計值誤差

圖6～8中所得出的位置環擾動觀測器具有很好的估計擾動的能力，在擾動發生前后能夠在0.5 s內快速估計并跟蹤擾動值；圖9～11顯示了角度環擾動觀測器估計擾動的能力。圖12～13展示了兩個觀測器估計擾動的誤差，可以得出當擾動發生后，兩個觀測器能夠精確估計并跟蹤擾動值，誤差精度控制在10-4。

圖6 外部干擾dx軌跡及其估計值

圖7 外部干擾dy軌跡及其估計值

圖8 外部干擾dz軌跡及其估計值

圖9 外部干擾τdφ軌跡及其估計值

圖10 外部干擾τdθ軌跡及其估計值

圖11 外部干擾τdψ軌跡及其估計值

圖12 位置外部干擾估計誤差de

圖13 姿態外部干擾估計誤差τe

從上述仿真模擬結果中可以得出，通過引入固定時間擾動觀測器的設計，可以在短時間內準確估計并重構復雜外部擾動值。綜上可進一步說明本文提出的固定時間擾動觀測器可以有效地消除外部干擾對無人機軌跡跟蹤的影響，證明本方法的優越性與更強的魯棒性。

4 結束語

本文針對六自由度小型四旋翼無人機在復雜外部干擾作用下只依靠控制器無法實現高精度的軌跡跟蹤問題，提出了一種基于固定時間擾動觀測器與反步法控制器相結合的跟蹤控制方法。在傳統反步法控制器基礎上引入了固定時間擾動觀測器，使得無人機在受到復雜外部干擾作用時能夠快速重構并抵抗擾動，進而實現高精度的軌跡跟蹤任務，針對無人機的6個自由度采取雙閉環控制方法，將位置與姿態環分別進行觀測器與控制器設計，最后借助位置與姿態的強耦合性實現最終的控制。同時，借助利用Lyapunov穩定性理論，證明了該控制方法能夠使該無人機雙閉環系統達到漸進穩定。數值仿真結果驗證了該方法在四旋翼無人機受到外界復雜干擾時執行軌跡跟蹤的任務的有效性，并可以快速精準地對外界干擾值進行重構，并估計出未知擾動。通過對與只采用傳統反步法的控制系統進行對比，進一步驗證了所提出方法的有效性與優越性。

本文所提出的控制方法雖然對復雜擾動有效，但仍然對電機失效等無人機常見故障問題存在容錯能力不足的情況，后續的研究將針對這一方面進行，考慮引入切換系統來使無人機控制系統能夠提升自身容錯能力。