精心設計探究活動，打造動感數學課堂

余飛

[摘? 要] 精心設計探究活動，打造動感數學課堂是探究性教學的強烈訴求. 文章基于“解三角形”復習課的教學過程，作出反思：探究性教學需基于學生基礎，將數學思維作為探究性教學的起點;基于互動交流，利用情感因素驅動學生一探究竟;基于學生本位，通過探究不息揭示數學本質.

[關鍵詞] 探究性教學;解三角形;動感數學課堂

[?]問題的提出

探究性教學觀是數學課程標準理念下的深入發展，也是教師精心設計探究活動的“升級版”. 它著重強調不斷探索和自主構建的學習過程，表現為以課本內容為依托，以學生為主體，通過組織、點撥和引導來精設探究活動，讓學生在自主探究的模式下實現教學目標，讓數學課堂卓有成效，成為動感數學課堂. 因而，探究性教學的目標與活動都需要立足于能力生長的高度來進行，為學生的發展謀求最大利益.

既然探究性教學是廣大一線教師著重關注的話題，那么就更加需要我們積極去理解和實踐. 在課堂教學中需要如何創新設計探究活動，才能實現新課程標準所倡導的探究發現和生長能力的理念呢？抱著積極嘗試和反思提升的情懷，筆者開設了一節“解三角形”的復習課，下面就摘取部分教學過程加以分析.

[?]教學片段實錄

1. 激趣布疑，引發探究

問題1：已知△ABC中，內角A，B，C分別對應邊a，b，c，且有a2=b（b+c），A=60°，試求B.

效能分析：以問題驅動數學課堂是一線數學教師復習課教學的一大法寶. 這里從一道典型數學問題引入，來激活學生的思維，讓學生帶著問題由初步感覺向著體驗感知逐步邁進.

2. 交流探究，精彩紛呈

師：這是一道值得“一探究竟”的數學問題，請大家獨立思考后，說一說解題思路.

生1：根據cosA==和a2=b（b+c），可得=，從而有c=2b，a=b，所以cosB=，所以B=30°.

師：思路清晰，很好. 生1出示的是一般性解法，其他同學有不同解法嗎？

生2：可以利用cosB求出結果.

師：能說一說具體的解題過程嗎？

生2：cosB=====，從而得出cosB=，則有sinA=2sinBcosB=sin2B，所以A=2B或A+2B=180°（舍去），所以B=30°.

師：哇！十分流暢且有創意的解法，其他人有沒有不同的觀點呢？

生3：我也是利用cosB來探求的，不過和他的方法不同. 因為cosB==，從而得出cosB=，即2sinAcosB=sinB+sinC，則有cosB=sinB+sin（A+B）=sinB+cosB+sinB，化簡后得出tanB=，所以B=30°.

師：生3的解法也甚是精彩，看來思維的“預熱”已經到位了，下面就讓我們期待更多的新發現.

生4：既然可以利用cosB求解，是不是也可以嘗試利用cosC求解呢？cosC===，好像沒辦法化簡下去了. （生4尷尬地搖了搖頭）

師：生4的聯想是非常棒的，大家說是不是？既然有了思路，我們不妨試一試，看看是不是真的不可以. （學生展開了火熱的討論）

生5：可以因式分解這個分式：cosC====. 之后的我還沒有想到.

師：非常棒！生5帶領我們跨出了艱難的一步，下面該怎么辦呢？

生6：利用“邊化角”，得出cosC=，則2sin2BcosC=2sinA·sinB-sinAsinC，后面的我好像也不會了……（其他學生也陷入了久久的沉思）

師：要不老師來試一試？我們可以看出，這個等式左側是3次，而右側是2次，是否可以統一次數呢？顯然，這里對等式左側降次的難度系數太多，那就對等式右側升次，則2sin2BcosC=2sin（B+C）sinB-sin（B+C）sinC，進一步得出2sin2BcosC=2sin2BcosC+2cosBsinCsinB-sinBcosC·sinC-cosBsin2C，化簡后可得2cosBsinB=sinBcosC+cosBsinC，即sin2B=sin（B+C）=sinA，所以A=2B或A+2B=180°（舍去），所以B=30°. （學生立刻鼓起掌來，為教師的精彩解析過程，也為自己的深入探究）

師：看！在我們的通力合作下，成功完成了這種方法的解題，這里凝聚著我們大家的智慧和思維！

師（拾級而上）：用這樣的方法來解決本題果真完美嗎？剛才我們通過幾種方法探究這個問題，但從始至終選擇的方法都是“余弦定理”，當然探究的過程中也嘗到了收獲的喜悅，但是思維的歸宿卻總是“邊化角”. 我們再回到問題的條件中，有何發現？（短暫的沉默后，有學生有了想法）

生7：式子a2=b（b+c）為邊的齊次式，可直接“邊化角”.

師：很敏捷的思路，要不再來嘗試一下？

生7：根據a2=b（b+c），可得sin2A=sinB（sinB+sinC），則sin2A-sin2B=sinB·sinC……（又一次思維卡殼）

師：很不錯，哪位同學能施以援手？

生8：通過降次，得到-=sinBsinC，即cos2B-cos2A=2sinBsinC，得出cos[（A+B）-（A-B）]-cos[（A+B）+（A-B）]=2sinBsinC，即2sin（A+B）sin（A-B）=2sinBsinC，從而sin（A-B）=sinB，進一步得出A-B=B或A-B+B=180°（舍去），則A=2B，所以B=30°.

師（總結）：從剛才的探究過程可以看出，一道典型的數學問題有著無窮無盡的探究樂趣，而經過多番探索，你們覺得哪種解法最為簡單？

生9：還是生1的解法最簡單.

師：非常正確，這種解法不僅簡單而且也是最容易想到的.

生10：那我們剛才的“萬般折騰”有何意義？

師：是否有意義呢？下面我們來看這樣一個問題……

效能分析：在掌握了解三角形問題的一般方法的基礎上，繼續讓學生經歷解決問題方法的形成過程，去傾聽、去觀察、去實踐、去交流、去思考、去聯想、去爭辯，進而探究得出更多的解法和思路，收獲更多的解三角形的方法，以便今后在應用這一解法求解這類問題時更加得心應手.

3. 探究不息，揭示本質

問題2：已知△ABC中，內角A，B，C分別對應邊a，b，c，且有a2=b（b+c），A=80°，試求B.

師：現在用常規方法還能解決這一問題嗎？（學生沉思片刻后紛紛搖頭）

師：其他方法呢？（學生又紛紛點頭，一下明白了本節課探究的意義）

師：由此可見，解決問題時我們需要樹立“一題多解”和“一題多探”的觀念，這樣才能在真正意義上探到問題本質，理解數學. 那么，這道題一般方法真的沒辦法解決嗎？

生1：根據cosA====，從而有2sinBcosA=sinC-sinB，則2sinBcosA=sin（A+B）-sinB=sinAcosB+cosAsinB-sinB，則sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B），進一步得出A-B=B或A-B+B=180°（舍去），則A=2B，所以B=40°.

師：哇，非常好，讓我們為生1的“探究不息”鼓掌！

效能分析：通過一系列分析和思考，學生建構了自己的方法體系，而靈活運用卻又是另一考驗，通過變式問題提升學生選擇思維的能力，并在師生交流和生生互動中完善知識和方法，充分體驗探究性教學的“探究不息”.

[?]教學反思

1. 基于學生基礎，將數學思維作為探究性教學的起點

高中數學課堂時間少、任務緊，不少教師出于功利性目的，復習課中總是講解各種各樣的習題，介紹多種多樣的解題方法，完全忽視了學生的基礎和感受，毫不關心學生思維的主動性，教學效果自然可想而知. 探究性教學中，教學設計是建立在學生的已有知識經驗基礎之上的，考慮到學生是一個動態而富有個性的主體，因此需將學生的思維作為起點開展數學探究活動. 本課中，教師在課前做好了充分的預設，了解到學生的一般性思路和會出現的問題，以此開展教學活動. 在課堂上，暴露學生的思維障礙，順勢而上進行點撥和引導學生積極探索，從而掌握一種又一種的解三角形的方法，促進了學生的深度學習.

2. 基于互動交流，利用情感因素驅動學生一探究竟

動機是學習中不可或缺的一部分，它以情緒、態度和意志的模式呈現，在探究性教學中充分利用好情感因素可以驅動學生的學習. 基于互動交流的探究性課堂，學生能充分表達自身的思路和見解，師生之間連續不斷地發問和探討，這樣的互動交流并不是僅僅傳遞了數學知識、技能和方法，更多的是充分利用情感因素驅動學生突破一個又一個障礙，在一探究竟之后體會成功的喜悅，形成自己的觀點和看法. 本課中，教師不斷鼓勵和倡導思維風暴，激發學生探究的動機，使學生努力去解決思維障礙，完善認知結構. 在這個過程中，學生可以感覺到教師是真正認可自己的想法和回答的，從而增加了探究的幸福感，成就了克服困難的勇氣，在探究中形成了深刻的認識.

3. 基于學生本位，通過探究不息揭示數學本質

葉瀾教授曾說：將課堂還給學生，讓課堂煥發生命活力. 在探究性教學的實施下，“學生本位”的理念是不可動搖的. 在這個過程中，教師給學生一個啟發或問題，促使學生自己進行探究，讓教與學的過程充滿挑戰和樂趣，使原有思維經驗獲得新的生命力. 本課中，教師通過問題指引學生進行有效的探究，自然生成一個又一個源于學生基礎的數學思考，促進學生探究不息，打造動感數學課堂.

總之，教學即探究，探究發現的歷程就是培養學生思維能力和數學素養的重要渠道. 從而在探究性教學中教師應關注學生基礎，關注互動交流，關注學生本位，將數學思維作為探究性教學的起點，利用情感因素驅動學生一探究竟，通過探究不息揭示數學本質. 只有這樣的課堂才是真正意義上的動感數學課堂.