有效進行“乘法分配律”教學例談

陳浩中

摘要：乘法分配律作為小學階段計算教學的一個難點，要突破這個難點，需要教師引導學生弄明白什么是“乘法分配律”，并與其他運算律作對比分析，最后將乘法分配律的題型進行整理歸納，找出其萬變不離其宗的原理。這樣步步推進，方可將這一難點逐步化解。

關鍵詞：乘法分配律;整理歸納;對比分析

“乘法分配律”在教學上歷來是一個難點，并且該知識連貫性很強，貫穿小學四～六年級的計算學習。學生在學習過程中不但易與乘法結合律相混淆，而且對于乘法分配律的內涵并不理解。那“乘法分配律”的教學如何突破呢？下面從教學實踐談談筆者的做法與認識。

一、揭示內涵，打好基礎

從字面上說，“乘法分配律”簡單地分為“分”和“配”兩個方面。其中的“分”可以理解為把乘法算式進行拆分，而“配”可以聯想到“配對”的意思，需要配對的乘法算式才能配在一起。打個比方：任意乘法算式能隨意組合在一起嗎？答案是不能的。例如：2×3+7×5就不能隨意組合。那怎樣的乘法算式能組合在一起呢？答案是具有相同的乘數的算式才能配對組合。例如：2×3+2×7=2×（3+7），算式中都有乘數2，所以2×3和2×7這兩個乘法算式是一對的，配對成功才能組合起來，這就是對“乘法分配律”的理解。理解需要配對的乘法算式才能組合，老師在教學過程就可以進行延伸，例如：12×60+12×50-12×10，像這樣即便是多個乘法算式，只要有相同的乘數就能配對組合，于是才有12×（60+50-10）。這樣有助于加深學生對于乘法分配律的理解。筆者認為“乘法分配律”的教學除了通過數形結合的方式理解乘法分配律的原理外，其實還可以結合字面中的“分配”兩字來理解乘法分配律，特別強調只有在具有相同乘數的情況下，乘法算式才能配對在一起，這樣學生才能正確運用乘法分配律。然而有些教師在教授乘法分配律的時候，過度強調湊整，其實是忽視乘法分配律的根本（相同的乘數才能配對），就會出現類似以下的錯誤：99×a+99×1=a×（99+1）=100×a。假如教師在平時強調要先找出相同的乘數，把兩個乘法算式中都要乘99給提出來，那么學生就會出現：99×a+99×1=99×（a+1）。因此，筆者認為教師在教學中應該讓學生認識到“乘法分配律”的意義，這很關鍵。

二、橫向比較，加深理解

談到乘法分配律，許多孩子都會與乘法結合律相混淆，其本質是對于它們的特征不熟悉。就算式的外在特征而言：乘法結合律多用于連乘算式，例如：8×125×25×4=（8×125）×（25×4）;乘法分配律多用于混合運算（一般是乘法和加法或減法的混合運算），例如8×（125+4）=8×125+8×4。從算式的內在特征而言：乘法結合律由于最終是將所有數都乘起來，所以計算乘法的先后順序并沒關系，這一方面與乘法交換律相似，本質上屬于調整計算順序;而乘法分配律則是屬于乘法算式的拆分與組合，這就是兩者內在的最大不同。我認為教師在完成運算律的授課后，應該就各個運算律的特點和適用情景的異同進行一次整理歸納，關鍵讓學生在對比中感受它們的差異，從而減少張冠李戴的可能。

三、層層深入，提高能力

每次考查到乘法分配律的時候，學生的錯誤率總是居高不下。其實只要把乘法分配律的幾種常見類型歸納整理好，一切問題就能迎刃而解。乘法分配律有以下五種類型：

加括號型：

例如：12×13+12×87=12×（13+87）=12×100=1200

去括號型：

例如：12×（100-1）=12×100-12×1=1200-12= 1188

補充型：

例如：12×99+12=12×99+12×1=12×（99+1）= 12×100=1200

拆分型：

例如：12×99=12×（100-1）=12×100-12×1=1200-12=1188

等積變換型：

例如：33×21+99×3=33×3×7+99×3=99×7+99×3=99×（3+7）=99×10=990

以上五種類型，其實通過歸納整理它們本質上只屬于兩種類型，那就是①加括號型和②去括號型，這兩類筆者稱它們為乘法分配律運算的基本式。其余像③④⑤這三類其實是第①②類的變形，筆者稱它們為乘法分配律運算的變式。顧名思義，③④⑤這三類其實可以通過轉換變成①②的。我們可以結合下面的關系網絡圖來理解這五類題型之間的關系。

奧蘇貝爾的“認知同化理論”中談到新知識的學習必須以已有的認知結構為基礎。學習新知識的過程，就是學習者積極主動地從自己已有的認知結構中，提取與新知識最有聯系的舊知識，并且加以“固定”或者“歸屬”的一種動態的過程。為此，教師的教應該幫助孩子與原有的知識體系構建聯系。從網絡圖上我們可以看出，要讓學生完全掌握所有的類型，關鍵在于學生必須熟練掌握①②的基本式，才能應對③④⑤的變式。

其中①②類型的關鍵在于讓學生找出算式中同時乘以幾。以①加括號型中的12×13+12×87為例：需要先引導學生找出算式是同時乘以12，把12×寫在外面，然后左邊有13個12，右邊有87個12，加起來就是（87+13）個12，從而列出正確的算式12×（13+87），最后解出正確答案。再以②去括號型中的12×（100-1）為例：需要先引導學生找出算式是100和1同時乘以12，表示100個12減去1個12，從而列出正確的算式12×100-12×1，最后解出正確答案。筆者認為強調同時乘以幾是很有必要的，這樣可以避免在使用乘法分配律的過程中出現列式出錯。

而③④⑤的變式的關鍵則在于想辦法打通與基本式之間的聯系，讓它們回歸到基本式，那一切問題就能迎刃而解。

以④拆分型中的12×99為例：許多教師在批改的時候就發現學生要不就直接計算了，要不就變成改變題目，最后改變答案。筆者認為在拆分型的教學中，應強調替換的概念。在12×99算式中有一個特別之處——99不好計算，但99接近100，100倒是很好計算。這樣先讓學生尋找算式中的特別之處，然后提出問題：能不能想一個算式替換掉不好計算的99？在找算式的替換過程中，要強調算式結果必須算出99。于是學生想出用100-1的算式來替換，算式變成12×100-1，這時候強調算式算不出99，先算的是12×100，必須加括號后100-1才能變成99，于是就自然而然得到算式12×（100-1），最后計算出正確結果。

以⑤等積變換型中的33×21+99×3為例：首先讓學生發現算式中的特別之處——33和99是倍數關系，此處提醒學生能用乘法分配律需要相同的乘數，你有辦法將33和99變成一樣的數嗎？此時學生會想33×3就能變成99，可哪里有3呢？目光移到21，就會有學生想到從21那里拿3過來。由此算式就變成33×3×7+99×3，繼而得到99×7+99×3，最后算出結果。

總之，乘法分配律作為小學階段計算教學的一個難點，要突破這個難點，需要教師引導學生弄明白什么是“乘法分配律”，并與其他運算律作對比分析，最后將乘法分配律的題型進行整理歸納，找出其萬變不離其宗的原理。這樣步步推進，方可將這一難點逐步化解。

參考文獻：

[1]蔡賢浩，宋榮.形式邏輯[M].武漢：華中師范大學出版社，2015.

（責任編輯：韓曉潔）