基于互相關的分布式多信源交叉定位算法

陳增茂， 葛梁， 白永珍

(哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院,黑龍江 哈爾濱 150001)

空間信號到達方向估計(direction of arrival, DOA)是陣列信號處理研究的一個重要問題[1-4]。最早的DOA估計都是基于點信源理想模型的假設，然而實際陣列接收的信號往往具有一定的角度擴展[5]，此時若采用傳統的點信源模型估計性能將嚴重惡化。因此，有學者提出了空間分布源的概念[6]并根據散射分量的特點將分布源分為相干分布源(coherently distributed,CD)和非相干分布源(incoherently distributed，ID)2種。非相干分布源的各散射分量不相關，其協方差矩陣大特征值的個數大于信源數，此時空間譜估計較為困難。文獻[6]通過對多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法的陣列流形進行改進從而提出了針對分布式信源的分布源參數估計(distributed signal parameter estimator, DSPE)算法。文獻[7]中提出，雖然非相干信源存在秩多的情況，但大部分能量都集中于最大的少數特征值中并據此提出了偽子空間的概念。文獻[8]利用泰勒展開的GAM模型提出了一種基于旋轉不變子空間原理的非相干分布式信源空間譜估計方法(ESPRIT-ID)。然而這些方法并未消除多徑信號，只是采用空間重新劃分的方法盡量消除散射信號造成的影響。測向處理后的一個重要的目標就是定位，最常用的方法就是單站定位或多站定位。單站定位一般要求測向站相對待測向目標處于運動當中[9-10]。傳統多站定位一般為2步定位，對信號進行角度解算[11-13]后利用相應方法進行目標位置的估計。2步定位會引入額外誤差[14]，為了解決這個問題有學者提出了數據域直接定位算法[15-19]。但大部分的多站定位都要求測向站的數量大于信源數。此時會造成資源的浪費。

針對非相干分布源，本文利用2個較遠陣列之間接收信號的信號特性，利用主徑信號之間的強相關性和散射徑之間的不相關性，極大地消除散射徑信號對測向結果的影響。同時，利用陣列接收信號之間的角度關聯性，對信號子空間進行重構，完成2陣列測向角度之間的匹配，從而實現了利用2個陣列對多個信源進行無模糊的交叉定位。

1 陣列信號模型

將2個完全相同的均勻線陣X和Y擺放成圖1所示，每個線陣均有M個陣元，陣列中陣元的間距為d，2個陣列位于同一水平線，陣列間的間距為x且有x?d。假設存在K個非相干分布式信號分別入射到2個陣列上，信號的波長為λ且λ≥2d，可以得到t時刻時2個陣列輸出的信號矢量分別為：

圖1 陣列空間Fig.1 Array space

(1)

(2)

(3)

式中：θxk對應第k個信源對應X陣列的中心DOA；φxk,l(t)為入射到X陣列的第l徑信號的隨機角度偏差，其均值為0，方差為待估計的角度擴展。

(4)

式中α′(θxk)為α(θxk)的偏導數。由于角度擴展通常比較小，因此省略泰勒展開中的余項，接收信號重新表示為：

(5)

2 多信源交叉定位算法

為了節約多信源情況下交叉定位方法的空間資源和陣列數量，本文通過利用2個相隔較遠陣列之間非相干信源散射信號之間的不相關性，很大程度上消除了散射信號對主徑信號測向的影響，同時利用2個陣列間同一信號之間的相關性，利用左右奇異向量對應的信號子空間來求解出每個信源對應于2個陣列的分別的入射角，實現利用2個陣列來實現多信源(大于2個)的交叉定位。

2.1 基于互相關測向方法

陣列X和Y接收信號的互相關矩陣為：

Rxy=E[X(t)·(Y(t))H]

(6)

由于發射信號、陣列路徑增益及2陣列角度擴展之間全部互不相關，同時2個陣列的折射徑信號的增益互相之間也互不相關，因此可以得到：

(7)

(8)

式中：τk=τklx-τkly，代表2陣列接收的第k個信號主徑信號間的延時。

同時，由于2個陣列接收的噪聲均為高斯白噪聲，兩者之間相互獨立，因此接收信號互相關中不包含噪聲分量，避免了噪聲分量對于參數估計的影響。因此，兩陣列接收信號的互相關矩陣可以表示為：

Rxy=E{X(t)·Y(t)H}=

A(θx)RSBH(θy)

(9)

式中：

對接收信號互相關矩陣進行奇異值分解可以得到：

(10)

式中：ΛK對應奇異值分解得到的K個大奇異值組成的對角陣；U1和V1分別為K個大奇異值ΛK所對應的M×K維的左右奇異向量矩陣。根據信號空間理論，U1和V1分別對應陣列X和Y的信號子空間，因此可以得到：

(11)

由式(11)可知必定存在唯一的、非奇異的K×K維的滿秩矩陣T1、T2滿足：

(12)

由于均勻線陣具有的旋轉不變一致性，可以將信號子空間分解為2部分，為了盡可能提高測量的精度，將信號子空間U1分解為2個(M-1)×K維的矩陣:

(13)

式中：U11和U12分別為U1的第1～M-1行和第2～M行所組成的矩陣；A和Φ分別為：

(14)

由式(13)可以得到：

U12=U11T-1ΦT=U11Ψ

(15)

此時利用最小二乘準則，即尋找一個矩陣：

(16)

使得

(17)

達到最小，并且滿足：

FHF=I

(18)

(19)

(20)

同理，對陣列Y對應的信號子空間V1進行同樣的處理即可得到相應的陣列Y的DOA的估計值。

雖然通過對2個信號子空間直接進行估計可以快速的得到2個陣列的入射角信息，但當空間中的信源數大于1時，左右陣列的角度并不一一對應，此時交叉定位在空間中會出現多個交匯點。當信源數為K時，空間中會出現個K2交匯點，此時虛假點的個數為K2-K。傳統的交叉定位方法在解決虛假點問題時多采用多站定位的方法，即增加空間中觀測站的數量，通過相應的算法剔除虛假點，還原信號的真實位置信息，此時計算的復雜度隨著信源數的增多而提高。

2.2 多信源角度匹配

由2.1節可知U1和V1分別對應陣列X和Y的信號子空間。雖然空間相同，但對2個空間進行處理后的角度并不能一一對應，因此需要對U1和V1進行一定的處理。

由前面的推導可知：

(21)

由式(12)可知，存在K×K維滿秩矩陣T使得：

U1=A(θx)·T

(22)

代入式(22)中可以得到：

(23)

將左右兩端分別進行轉置可以得到：

B(θy)RS=V1ΛTH

(24)

式中：RS與Λ均為對角陣，因此其轉置不變；RS對角線上元素表示發射信號的功率；Λ對角線上元素表示接收信號的功率。

B(θy)為Y陣列的陣列流形，對其進行處理時需要的是每一列元素相鄰兩元素之間的相位信息。RS對角線上元素為發射信號的功率，因此均為實數。兩者相乘的結果為：

B′(θy)=B(θy)RS=

[ρ1b(θ1)ρ2b(θ2)…ρKb(θK)]

(25)

式中ρK表示第K個信號的發射功率。

(26)

(27)

利用前面求得的2個陣列的角度信息即可以得到信源的空間位置，通過簡單推導即可得出第k個信源與兩陣列間的距離lkx和lky分別為：

(28)

算法步驟總結如下：

4)將U分解成K×K維的子矩陣：

3 仿真分析

定義均方根誤差(root mean square error, RMSE)作為衡量估計精度的指標，RMSE的計算公式為：

(29)

仿真1 驗證算法有效性。假設空間中存在5個非相干分布式信源，5個信源的入射角分別為(10°,-10°)、(20°,-20°)、(30°,-30°)、(40°,-40°)、(50°,-50°)；信噪比(signal to noise ratio，SNR)為15 dB。左右2個角度分別對應陣列X和陣列Y的入射角，進行100次獨立實驗，測量結果如圖2所示。由圖2可以看出，本算法可以很好的將2個陣列的入射角相對應，可以實現多個信源(大于2個)同時入射時的交叉定位測向。

圖2 算法有效性仿真結果Fig.2 Simulation results of algorithm effectiveness

仿真2 算法性能對比。將所提算法與廣義ESPRIT算法[18]及DSPE算法[8]進行性能對比。實驗中均采用均勻線陣作為接收陣列，陣元間距為λ/2；信號拍數N=500；角度擴展σ=2°；入射路徑數L=100；分布方式采用高斯分布。

圖3為信噪比對3種算法測向性能的影響，仿真時陣元數K=16；左右陣列入射角分別為(-10°,10°)。1 000次蒙特卡洛仿真結果如圖3所示。

圖3 RMSE隨信噪比SNR變化Fig.3 RMSE varies with SNR

圖4為陣元數對3種算法測向性能的影響，仿真時信號信噪比SNR=15 dB；左右陣列入射角分別為(-10°,10°)。1 000次蒙特卡洛仿真結果如圖4所示。

圖4 RMSE隨陣元數變化Fig.4 RMSE varies with the number of array elements

圖5為陣列入射角度變化對3種算法測向性能的影響。仿真時信號信噪比SNR=15 dB；陣元數K=16；圖5(a)為X陣列入射角度變化對測向性能的影響，此時Y陣列的入射角度固定為0°；圖5(b)為Y陣列入射角度變化對測向性能的影響，此時X陣列的入射角度固定為0°。1 000次蒙特卡洛仿真結果分別如圖5所示。

從圖5中可以看出，本文算法的測向精度與DSPE算法相當，同時優于廣義ESPRIT，這是因為本文算法通過利用多徑信號之間的不相關性，通過取陣列的互相關從而減弱了多徑信號對測向的影響，同時由于不同陣列之間的噪聲互不相關。因此，互相關也削弱了高斯噪聲對測向誤差的影響。

仿真3 算法復雜度。將本文的方法與廣義ESPRIT和DSPE算法進行復雜度的對比，復雜度的對比標準為復數乘法的運算次數。假設陣列個數為M，快拍數為N，信源數為K。廣義ESPRIT算法主要的運算在于一個M階矩陣的協方差矩陣及特征值分解運算、再加上需要進行搜索函數的構建以及譜峰搜索，因此復雜度可以表示為O(M2N+M3+l(2MK))，其中l為譜峰搜索的次數；DSPE算法主要運算為M階矩陣的協方差矩陣及特征值分解運算、再加上需要進行搜索函數的構建以及譜峰搜索，因此復雜度可以表示為O(M2N+M3+l1l2×M(M-K))，其中l1和l2分別為對中心DOA和角度擴展譜峰搜索的次數；本文算法主要為一個M×M階矩陣的互協方差和奇異值分解、最小二乘估計、計算滿秩矩陣T以及陣列流形的重構，因此本文算法的復雜度可以表示為O(M2N+M3+K2+MK+K3)，各算法復雜度如表1所示。

假設空間中信源數量為5；快拍數為500；方位角搜索范圍為-90°～90°;角度擴展搜索范圍為-5°～5°；搜索步進為0.1°。此時各算法的復數乘法運算復雜度對比如圖6所示。

圖6 算法復雜度對比Fig.6 Algorithm complexity comparison diagram

可以看出，本文算法的復雜度較低，這是因為本文算法無需進行譜峰搜索，因此大大減少了計算量，提升了測向的實時性。

本文算法的缺點在于雖然算法的復雜度較低，但由于特定的陣列結構，造成了陣列孔徑的缺失，使得相同陣元數的情況下可同時測向的目標數減少。

4 結論

1)本文利用泰勒級數展開的方法建立非相干分布式信源的模型，通過2個較遠陣列之間的互協方差來消除不相關散射信號對測向造成的影響，提升了測向結果的精度。

2)利用2個陣列之間的相關性，通過角度匹配的方法解決了交叉定位中由于測向角與信源失配造成的模糊點問題。仿真結果表明，在多信源情況下，所提算法可以很好的實現信源測向角的對應問題。

3)本文算法的缺點在于雖然算法的復雜度較低，但由于特定的陣列結構，造成了陣列孔徑的缺失，使得相同陣元數的情況下可同時測向的目標數減少。