初中數學趣味性問題的設計與實踐

江蘇省南通田家炳中學 楊 旭

趣味性問題是指基于學生的學習興趣、學情、心理特點設計的問題，學生在學習問題時會產生強烈的學習欲望，愿意主動經歷發現、探究、抽象、鞏固、梳理、延伸的過程?，F應用“相似三角形”的教學案例說明趣味性問題的設計與實踐方法。

一、導入——提出問題

在導入環節，教師要應用一則典型的數學案例，讓學生把抽象化的概念與具象化的體驗結合起來，讓學生回顧以往的知識，夯實學習基礎，從而能夠為開展后續的學習打好準備。在這一環節，教師不必給出具有很大難度的問題，而要確保問題的典型性。當學生能結合以往學過的知識找到問題的答案時，他們會產生成就感，這種成就感會讓他們有信心進行后續的學習。

問題1：如圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系，并應用數學理論說明自己的依據。

圖1

學生回答：在△AOD中，∠AOD=180 ° - ∠A- ∠D；在△BOC中， ∠BOC=180 ° - ∠B- ∠C。 應 用對頂角相等的性質可得∠AOD=∠BOC，那么可得180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C，從而可得∠A+∠D=∠B+∠C。

【設計思路】應用典型的案例，幫助學生回顧了對頂角相等的性質、三角形內角和的知識，學生在解決問題過程中夯實了基礎知識。

二、探究——交流問題

當學生理解一個數學問題以后，教師需要引導學生辨析問題，了解這個數學問題背后呈現的機理，形成數學理論。如果教師能夠遵循學生的學情，讓學生由淺入深地學習，提高學習自主性，那么學生就會感受到學習的樂趣。學生在學習時，受到知識視野、思維水平、實踐能力的局限，有時會遇到學習挫折。為了幫助學生克服學習困難，教師需要引導學生應用合作學習的方法共同探究知識，以此讓學生感受到交流的樂趣，并讓學生在共同突破學習困境的過程中感受到探究知識的樂趣。

問題2：（1）圖2 中有幾對“對頂三角形”？（2）如果∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，請利用三角形對頂角的性質來計算∠P的度數；（3）假設∠D和∠B為任意角，其他條件不變，你認為∠P與∠D、∠B之間的關系是什么？

圖2

【設計思路】讓學生分工合作逐步完成這三個任務，在任務完成以后交流學習，交換知識。（1）不僅要求學生找到正確的答案，還要找到解題的方法，令學生意識到在復雜的幾何圖形中要找到正確的圖形，可以將角、邊等作為依據，避免重復找圖，或者漏掉圖形。該題需要學生具備發散思維和聚斂思維，在訓練思維的過程中，學生能感受到思維提升的快樂。（2）結合問題（1）中獲得的知識來解題，驗證自己學習到的知識，產生學習成就感。（3）讓學生結合幾何圖形的特殊性，與自己的直覺形成數感，然后驗證自己的感覺，在探索、驗證的過程中感受學習的樂趣。

三、建構——形成理論

當學生通過探索獲得知識以后，需要形成知識體系。教師需要引導學生學習典型習題，結合具象化的案例來形成抽象理論知識，并在完成習題的過程中梳理知識，形成知識體系，這一體系就是學生需要掌握的理論知識。

問題3：（1）如圖3，計算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=？（2）如圖4，如果已知∠B=50°，∠D=32°，∠BAM= ∠BAD，∠BCM= ∠BCD，請計算∠M。（3）如圖5，設∠B=x°，∠D=y°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，請用含n、x、y的式子表示∠M的度數。（4）如圖6，已知點E在BA的延長線上，∠DAE的平分線和∠BCD的平分線交于點N，請計算∠ANC。（5）如圖7，已知點E在BA的延長線上，點F在BC的延長線上，∠DAE的平分線和∠DCF的平分線交于點P，請直接寫出∠APC的度數。

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

【設計思路】讓學生通過完成這幾道習題，全面回顧與相似三角形有關的知識。學生邊完成這幾道習題，邊回憶相關的概念、理論，為梳理知識體系做好準備。

四、鞏固——解決問題

學生是否掌握理論知識，要從學生知識轉化的效果來驗證。教師需要為學生設計習題，幫助學生驗證知識結構。教師設計的習題要緊扣相關知識點，讓學生了解自己是否掌握了知識點、是否了解知識點與知識點之間的聯系。

問題4：如圖8，O是△ABC內一點，且BO，CO分 別 平 分∠ABC， ∠ACB。（1）如果∠ABC=80°，并且∠ACB=60°，計算∠BOC。（2）如果∠A=40°，求∠BOC的度數。（3）如果∠A=α，請含α的代數式表示∠BOC。

圖8

【設計思路】當學生完成知識體系的梳理以后，需要讓學生應用理論解決問題，讓學生驗證知識體系是否存在缺陷。這三道習題緊扣概念和理論，（1）需要應用三角形的內角和定理求值，（2）（3）需要應用角平分線的定義和三角形的內角和定理求值。三道習題全面、系統地幫助學生驗證知識結構。

五、延伸——深化問題

如果要讓學生感受到數學知識的樂趣，就要讓學生看到數學知識的變化。比如，學生需要看到，一個已知條件或者一個未知答案的變化，會讓解題的過程發生哪些變化。這種讓習題開放式的變化，能讓學生的視野變得開闊，同時也要讓學生看到普遍性問題和特殊性問題之間的變化，使學生看到抽象化理論應用于具象化問題中，可以發生哪些變化。

問題5：（1）如圖9，如果BO，CO分別平分△ABC的兩個外角，你認為∠BOC與∠ABC的關系是什么？（2）如圖9，如果BO，CO分別平分△ABC的一個內角和一個外角，交于點O，你認為∠O與∠A之間是什么關系？

圖9

【設計思路】這兩道習題都是問題4 的變式。（1）考核學生的聚斂思維，如果學生具備類比和推理的思維，就能從解答問題4 中得到啟示，應用問題4 中獲得的理論來建構新的解題模型。于學困生而言，這是一道具有挑戰性的問題。（2）考核學生的想象力，這一題對于學中生而言有一些難度，學優生也需要通過思考才能得到答案。學生可以通過發散聯想，關聯知識點來逐漸推理出問題的答案。學中生和學優生可以在解答（2）中享受到挑戰難題的樂趣。

讓學生完成趣味性的習題，可以起到讓學生以完成習題作為目標，指引自己快樂學習的效果。如果要讓習題具有趣味性，首先，就要明晰習題設計的目標，讓學生每完成一道習題就能獲得成就感；其次，要讓知識深入探究的過程循序漸進地發生，使學生能夠奠定好學習基礎以后，做好后續的知識挑戰；最后，習題要具有層次性，讓每個層次的學生都能感受到完成習題的樂趣。