顯式模擬類橡膠材料應力軟化引起的不可恢復變形及其各向異性特征1)

王曉明吳榮興 蔣 義 肖 衡

* (寧波職業技術學院應用力學研究所,浙江寧波 315000)

? (寧波建工工程集團有限公司,浙江寧波 315000)

** (暨南大學力學和建筑工程學院重大工程災害與控制教育部重點實驗室,廣州 510632)

引言

經過初始加載?卸載后的類橡膠材料再一次加載后,初始卸載應力以下部分會將發生顯著的應力軟化現象,該現象也被稱為Mullins 效應.隨著加載?卸載循環的進行,應力軟化現象逐漸變得顯著,并趨于一個穩定的狀態,而應力?應變曲線也逐漸變化并發展到一個穩定的狀態[1-3].天然橡膠和填充橡膠都有可能發生Mullins 效應,而填充物的種類和比重則會影響應力軟化的程度.

過去幾十年來,為了從微觀尺度解釋Mullins 效應,研究人員們進行了大量的理論研究.Bueche[4-5]認為當材料發生變形后,填充顆粒之間附著的部分橡膠鏈發生了斷裂和松弛,使得填充顆粒間的距離發生仿射變形,從宏觀上表現為應力軟化現象;Lee和Williams[6]通過結構重組以及化學鍵永久性斷裂來說明Mullins 效應的產生原因;Mullins[3]列舉了兩種情況.對于天然橡膠,橡膠長鏈分子之間在剪切過程中的解鏈和定向導致了應力軟化.對于填充橡膠,應力軟化的發生則是因為填充顆粒之間以及填充顆粒和橡膠分子之間的相互作用被斷開而導致.填充顆粒的存在使得應力軟化效應被進一步增強;以上觀點基本都認為應力軟化是因為橡膠分子和填充顆粒之間的相互作用而產生,而Harwood 等[7]提出了不同的見解,他們認為橡膠微結構中的網絡節點位移導致了分子網狀結構的重組,從而產生了應力軟化效應.除此之外,還有其他的微結構理論[8-10]對Mullins 效應的產生做了理論解釋.

在前面微結構理論的基礎上,科研工作者們先構造微觀尺度下的本構關系,再通過一系列平均方法,建立宏觀尺度下的本構模型.Blanchard 和Parkinson[11]提出了一個半經驗公式去描述填充硫化橡膠初始加載后的“應力?伸長比”關系,其中引入了二個微結構相關的參數,分別表示網狀結構數量和分子鏈受限延伸率.通過分析應力軟化的特征,他們給出了網狀結構數量變化的公式,并最終得到匹配實驗數據的“應力?應變”結果;Govindjee 和Simo[8]在Bueche[4-5]理論研究的基礎上進一步發展,通過對統計代表樣本體積(SRSV)進行宏觀平均,最終得到一個三維的本構模型;Marckmann 等[9]發展了Arruda和Boyce[12]的八鏈理論,將該模型中的兩個參數進行改進,使他們依賴于分子鏈伸長比的極限值,得到了能模擬應力軟化效應的新模型.

另一部分學者不考慮橡膠分子的內部微觀結構,從宏觀現象出發構建唯象的本構模型.Mullins和Tobin[13]將橡膠內部區域分為兩大類,分別是“硬區”和“軟區”,材料的變形主要是在“軟區”產生,而“硬區”對變形幾乎沒有貢獻.加載過程中“硬區”部分逐漸轉為“軟區”,卸載后重新加載,當加載應力達到初始卸載應力以后,“轉化”過程才會繼續.此外,為了模擬填充橡膠的應力?應變關系,Mullins 和Tobin[14]又引入了應變放大因子;文獻[15-17]在前面研究的基礎上進一步優化和完善;Simo[18]另辟蹊徑,在基于變形梯度的彈性勢中加入了一個表征損傷的量,用來解釋類橡膠材料應力軟化過程中出現的分子鏈破壞,微結構損傷.在此基礎上,根據引入量演化方程的不同,提出了各種不同的結果[19-22];Ogden 和Roxburgh[23]在偽彈性模型的基礎上只引入了一個變量去表示理想化的應力軟化效應.

Mullins 效應通常伴隨著不可恢復變形的產生[3](隨著時間的流逝會慢慢變小,在退火后靜置足夠長時間基本消失),其大小和橡膠中的填充物含量百分比以及加載應力大小均有關系[24-25].通過大量實驗證明,應力軟化會使得材料性質變成各向異性,先前伸長過的方向上應力軟化會更加明顯[1-3,26].各向異性特征也會直接導致材料發生不可恢復變形.為了模擬Mullins 效應產生的不可恢復變形和各向異性特征,Dorfmann 和Ogden[27]在偽彈性理論[23]的基礎上額外引入了一個表征殘余應變的量,可以模擬單軸拉伸?壓縮循環加載下產生的應力軟化和不可恢復變形.他們的模型可以證明材料循環加載下發生了各向異性,但是無法通過模型進行量化模擬;G?ktepe 和Miehe[10]將分子內部網絡結構分解成CC (crosslink-to-crosslink)結構和PP (particle-toparticle)結構.Mullins 效應引起的結構損傷和各向異性主要發生在PP 結構中,且會自然而然地使得模型產生不可恢復變形;Diani 等[26]根據Marckmann 等[9]的方法,定義了不同方向上的耗散,然后將其引入到Pawelski[28]的本構法則中,構建了新的本構模型.他們的方法可以預測應力軟化、殘余變形以及各向異性特征;談炳東等[29-30]根據纖維增強復合材料連續介質力學理論,提出了各向異性超彈性本構模型,并能很好地預測0°～ 45°各向異性力學性能.

關于Mullins 效應產生不可恢復變形和各向異性特征的最新研究成果主要是在經典的模型上進行改進[31-34].以上提到的模型盡管可以模擬Mullins 效應引起的不可恢復變形和各向異性特征,但是都存在著不足.微結構模型的參數往往需要迭代求解,計算量大;唯象模型則需要引入沒有物理意義的隱式參數.近幾年來,Xiao 等[35-36]和Wang 等[37]用顯式的方法提出了類橡膠材料的多軸彈性勢,可以精確匹配4 個基準實驗,同時預測非等雙軸拉伸的變形趨勢.王曉明等[38]在此基礎上引入了耗散量,并通過分析應力?應變關系,給出耗散表達,最終使得模型可以模擬理想的Mullins 效應滯回圈.通過進一步改造形函數的表達,該方法還能模擬類橡膠材料過載破壞的情況[39].在彈性勢中加入溫度的項,可以模擬形狀記憶聚合物的熱力學行為[40].

本文以前面的研究為基礎,在形函數中新引入表征不可恢復變形大小和各向異性特征的兩個變量,以上兩個量均依賴于依賴耗散大小.其中,不可恢復變形量隨著耗散的增大而增大,直到趨于穩定;各向異性特征量在應力軟化之前不起任何作用(材料各向同性),一旦在某一方向發生Mullins 效應,其值將發生變化,在任意其他方向加載?卸載后的應力?應變關系將和初始加載方向上的應力?應變關系發生明顯的偏離(引入各向異性),在達到相同的變形情況下,應力值小于初始方向的應力值.當加載方向和初始加載方向呈90°時,這樣的差異最為明顯.

1 考慮耗散的多軸可壓縮彈性勢

類橡膠材料本構模型的建立,通常需要提出合適的彈性勢.本章通過以下4 個步驟構造彈性勢:首先,通過對數應變張量和耗散標量構造彈性勢;其次,通過對數應變偏量構造3 個不變量,并將它們引入彈性勢,使其多軸可壓縮且能匹配多個變形模式;再次,將3 種變形模式下考慮耗散的單軸形函數積分得到各自的單軸彈性勢;最后,通過Hermite 插值方法,利用3 個不變量和單軸彈性勢,構造考慮耗散的多軸可壓縮彈性勢.

1.1 基于對數應變的耗散彈性勢

理想的超彈性模型沒有能量的耗散,而Mullins效應的存在表明材料在加載?卸載過程中出現了能量的損耗.為了使模型具備模擬應力軟化的功能,需要引入一個標量 κ 來表示耗散.此外,相比于其他模式的應變張量,基于對數應變h的彈性勢W推導得到應力?應變關系的過程更加簡單和直接[41]

式中,W,J,τ,σ 分別表示彈性勢、體積比、基爾霍夫應力以及柯西應力.

對數應變與變形梯度的關系為

其中B=F·FT,也稱為左柯西?格林張量.方程(2)中,λi,ni,i=1,2,3,是材料伸長比(特征值)和特征向量.方程(1)中的彈性勢W是對數應變張量和耗散標量的函數

1.2 基于對數應變偏量的不變量

基于對數應變張量的3 個基本不變量表達為

其中s=1,2,3.對數應變偏量的表達為

根據方程(5),當trh=0 時,i1=0,表示變形前后體積變化忽略不計(材料不可壓縮),使得h=h?.本文考慮可壓縮情況,所以對數應變偏量和對數應變可以不相等.

類似于方程(4)的表達,基于對數應變偏量的3 個基本不變量為

其中s=1,2,3.新的3 個基本不變量和初始的3 個基本不變量之間存在著以下關系

從以上3 個基本不變量出發構造3 個新的不變量.第1 個不變量稱為壓縮不變量,用 γ1表示,能控制材料是否可壓縮的條件.當材料不可壓縮,其值為0,當材料可壓縮,其值不為0;第2 個稱為橋聯不變量,用 γ2表示,能實現模型的多軸擴展.在單軸情況下會自動退化到相應的對數應變;第3 個不變量稱為匹配不變量,用 γ3表示,能將3 種不同變形模式(單軸拉伸和壓縮、等雙軸拉伸和壓縮、以及平面應變)整合到一個統一的模型當中.通過分析我們可以得到滿足條件的3 個不變量表達為

1.3 帶有耗散的單軸彈性勢

理想情況下加載?卸載循環作用下的應力?應變曲線都是重合的,引入了耗散也就意味著每一次循環都會發生能量損耗,應力?應變曲線隨著循環的進行而逐漸變化,因此其形函數的給定必須考慮耗散.

單軸拉伸壓縮變形模式下,假設受力方向應力為 τu,對數應變為h,耗散用 κ 表示,則應力?應變形函數可以表示為

對方程(9)積分,就可以得到單軸拉伸情況下的彈性勢

等雙軸拉伸的應力?應變關系可以通過單軸實驗的關系推導出來(參考文獻[35]中的Theorem A),再通過積分可以得到其彈性勢.

平面應變是對一個長條形橡膠塊(z方向比x和y方向尺寸大很多),在z方向進行固定,x方向和y方向,一端拉伸,另一端自由.假設加載方向應力為 τP,對數應變為h,固定方向應力為 τpf,我們給定其兩個方向的應力?應變關系為

在該變形模式下,只有在載荷方向做功,因此我們得到應變能彈性勢為

1.4 統一彈性勢

方程(3)給定的彈性勢依賴于對數應變張量和耗散,其中前者可以通過1.2 節中給定的3 個不變量來替換,即

將方程(13)代入到方程(1),得到

式中是對數應變偏量,I是單位二階張量.張量I,,之間相互正交

可以作為對數應變張量的3 個基.

接下來利用Hermite 插值方法,我們可以得到多軸可壓縮彈性勢為

其中Z+和Z?表達為

Y+,Y?分別等于,形式為

式中 υ 表示泊松比,等于側向應變hl比上受力方向應變h的相反數

當材料變形前后體積不變,hl=?0.5h,從式(20)可以得到泊松比 υ=0.5.

從式(17)出發,可以得到單軸實驗下的應力應變關系為方程(9),平面應變下的應力?應變關系為方程(11),而等雙軸下的應力?應變關系[38]為

2 新的形函數

本節首先通過應變?應力圖中面積所代表的能量關系推導出耗散 κ 的顯式表達;其次,隨著耗散的增加,分析不可恢復變形大小的演變規律以及各向異性引入對應力?應變關系的影響,分別通過hP(κ)和 φ(κ) 來表示不可恢復變形大小以及各向異性對應力?應變關系的影響程度;最后,利用耗散 κ,不可恢復變形大小hP(κ),以及各向異性影響項 φ(κ),結合球坐標,構造新的形函數表達形式.

2.1 耗散表達

如圖1 所示,橡膠材料在初始加載下,應力?應變沿著(a)前進,在達到P1點后開始卸載,卸載路徑沿著(b)運行,最后產生不可恢復變形hP1,完成一個循環,產生的能量耗散可以用圖1 中(1)的面積來表示;再次加載后,初始卸載應力點以下的部分發生明顯的應力軟化,而之后這樣的軟化就不是很明顯[1-3].因此,第2 次加載路徑應該是從(b)變成(c),到達P2點后再次卸載,卸載路徑沿著(d)走(此時軟化現象更加嚴重,卸載曲線和初始加載曲線之間的偏離更加嚴重),最后產生不可恢復變形hP2,產生的能量耗散可以用圖中(2)的面積來表示;第3 次循環的路徑可以通過類似的規律推導.

圖1 Mullins 效應產生不可恢復變形示意圖Fig.1 Schematic of Mullins effects with permanent set

通過大量應力軟化的實驗數據分析,循環加載?卸載作用下能量耗散的變化規律有以下3 點:(1)隨著循環加載?卸載的進行,能量耗散逐漸累積;(2)從單個加載?卸載循環來看,能量耗散最小的情況是加載和卸載路徑重合(不產生應力軟化),κ=0;(3)從單個加載?卸載循環來看,能量損耗最大的情況是卸載曲線極度彎曲(應力軟化最大化),κ=κm.其中

滯回圈面積大小無法超過 κm,因此

耗散隨著卸載應力 τm的變化規律可以通過雙曲正切函數得到

式中,τr和 α1是可調參數.當 τm=τr時,;參數α表示 κ隨著 τm變化的速度.

2.2 不可恢復變形和各向異性

耗散的引入會產生不可恢復變形以及各向異性特征.本節討論不可恢復變形以及各向異性特征隨著耗散累積的變化規律,分別通過hP(κ) 和 φ(κ) 來表征不可恢復變形大小和各向異性對應力?應變關系的影響程度.

2.2.1 不可恢復變形

在保持最大應變的情況下,不可恢復變形的變化規律如下[27]:(1)不可恢復變形量隨著循環的進行會逐漸變大;(2)第一個循環前后產生的變形最大,后面依次減少;(3)在循環次數足夠多的情況下,不可恢復變形不再變化,達到一個穩定值.假設有n次循環,hPi表示每一次產生的不可恢復變形,i=1,2,···,n.則有

耗散的引入導致了不可恢復變形的產生.因此,假設

hP隨著耗散的增大而增大,直到趨于一個穩定的數值.p1和p2是可調參數.

2.2.2 各向異性

如圖2 所示,假設六面體橡膠塊初始情況下為各向同性.從任意方向加載,其性質都是一樣的.一旦在某一方向(比如x軸方向)加載然后卸載,Mullins 效應的產生將導致材料引入了各向異性特征,此時,再沿著初始方向(x軸方向)加載?卸載的應力?應變關系將和沿著其他方向(比如y軸或者z軸)的發生明顯的差異.

圖2 六面體橡膠塊三維受力示意圖Fig.2 Schematic of hexahedral rubber block with three-dimensional force

為了證明并量化Mullins 效應引入的各向異性性質.Diani 等[26]做了相關實驗.首先,將A 和B 兩塊相同的橡膠六面體同時在x軸方向進行同樣的拉伸加載,然后卸載.此時兩塊試樣均發生了Mullins 效應且都產生了相同的不可恢復變形.接下來,對A 進行x軸方向的拉伸加載和卸載,對B 進行y軸方向(垂直于初始方向)的拉伸加載和卸載.將兩塊試樣的第2 個循環的應力?應變曲線(Mullins 效應已經飽和)進行比較,結果如圖3 所示,其中,應變類型采用對數應變.從圖3 可以得到二個結論:(1) A 和B兩塊試樣的應力?應變曲線不重合且有明顯的差異,說明Mullins 效應確實引入了各向異性特征;(2) A的曲線明顯高于B 曲線(同樣應變情況下,A 的應力更大),說明B 的應力軟化更加嚴重.假設在x軸上的應力?應變形函數為f(h,κ),那么與其垂直方向加載?卸載的形函數為(h,κ)=φ(κ)f(h,κ),其中 φ(κ) 表征了各向異性程度,其滿足以下條件

圖3 Diani 等[26]證明引入各向異性的實驗數據Fig.3 An experimental evidence of induced anisotropy by Diani et al.[26]

式(29)表示如果沒有發生耗散(κ=0),那么垂直方向的應力?應變關系和初始方向一致,材料沒有發生各向異性特征;如果耗散很大,那么材料發生極度的各向異性,垂直方向幾乎沒有抵抗變形的能力.基于以上條件,可以假設 φ(κ) 的形式為

式中,α2和 κr是可調參數.在初始方向和垂直方向中間的形函數,其各向異性特征項的值理論上介于0～1 之間.

2.3 統一形函數構造

首先給出各向同性的形函數形式;然后利用球坐標轉換和2.2.2 節中給定的各向異性項 φ(κ) 進行擴展,得到能模擬各向異性特征的形函數;最后,在單軸情況下,利用有理插值的方法給定帶有不可恢復變形hP(κ) 的形函數表達.將結果代入到前面的各向異性形函數,從而構造統一的形函數形式.

2.3.1 各向同性的形函數

形函數分為加載曲線和卸載曲線,如圖1 所示.初始加載曲線沿著路徑(a)前進,P1點卸載以后發生應力軟化(耗散的產生).重新加載直到上一次卸載應力之前的部分將沿著上一次卸載曲線路徑(b)行走.一旦應力超過P1點應力,應力軟化降低,應力?應變曲線沿著(c)前進.再次在P2點卸載后重新加載,將沿著從(d)到(e)的方向前進;卸載曲線的變化和耗散緊密相關,耗散越大,軟化越嚴重,和同一滯回圈內的加載曲線偏離就越大.滿足以上條件的形函數構造形式如下

式中 τm表示上一次卸載應力,α3是可調參數,表示應變率.參數 χ和 π 具有如下性質

下面分析加載曲線和卸載曲線.初次加載時,將κ=0,χ=1,π=1 代入到方程(31),得到加載曲線方程為

有了加載歷史以后,χ=1不變,κ>0,加載曲線方程變為

然后分析卸載曲線,此時 χ=?1,κ>0,得到曲線方程為

2.3.2 各向異性的形函數

方程(31)得到的各向同性形函數還需要進一步改進,使其能夠產生各向異性性質.改進形式為

如圖4 所示,r表示受力方向,φ 表示受力方向在x軸和y軸組成的平面投影和x軸的夾角,θ 表示受力方向和z軸的夾角.假設初始受力方向為x軸,φ(κ)表示與其垂直的y軸方向各向異性程度,而φ′(κ)表示與其垂直的z軸方向各向異性程度,他們均可用方程(30)的形式給出.

圖4 任意方向受力的球坐標示意圖Fig.4 Schematic of loading in arbitrary direction by Spherical coordinate system

在初始x軸方向加載?卸載的基礎上,如果繼續在同樣的方向進行加載,那么r方向和x軸重合,此時 φ=0°,θ=90°,得到

如果再次加載方向為y軸,則 φ=90°,θ=90°,得到

如果再次加載方向為z 軸,則 φ=90°,θ=0°,得到

2.3.3 兩個基準實驗下的單軸形函數

本節需要給出方程(31)中函數fˉ(κ) 和f?(h,κ) 具體形式,然后代入到方程(38),得到統一的形函數表達.(κ) 和(h,κ) 表示的是單軸情況下基準實驗形函數,可以通過有理插值的方法給出.對于單軸拉伸?壓縮變形模式下的形函數給定為

關于以上兩個函數具備的性質在前面的研究工作[38]中已經闡明.其中方程(43) 中的E(κ),h1(κ),h2(κ)和 α(κ) 是依賴耗散的函數,當耗散 κ=0,他們的初始值即為方程(42)中的E0,h10,h20和 α0.和前面研究不一樣的地方在于本文的方程中加入了依賴耗散的不可恢復變形hP(κ);等雙軸實驗的形函數結合方程(21)和(38)得到平面應變情況下的形函數形式,其加載方向為

固定方向為

式中hq(κ),αq(κ) 和 αqf(κ) 是依賴耗散 κ 的函數,他們的初始值分別為hq0,αq0和 αqf0.

3 數值模擬

第2 節構造的形函數代入到第1 節的本構方程中,能夠自動得到對應變形模式的應力?應變關系.3 個基準實驗和Mullins 效應產生的理想滯回圈數據都能精確匹配[38].本文重新優化了形函數,加入了考慮不可恢復變形和各向異性的項,本章給出模型結果和經典實驗數據的對比.

3.1 不可恢復變形實驗模擬

單軸情況下對數應變h=lnλ,代入到方程(42)和(43),再結合方程(31)和(38),即可得到單軸拉伸?壓縮情況下的應力?應變形函數.

Diani 等[26]做了單軸拉伸加載?卸載循環實驗.分別保持伸長比 λ 為1.5,2,2.5 和3 不變,進行10 次加載?卸載,產生了相應的4 個穩定的不可恢復變形.

為了得到模型結果,給出方程(43) 中的E(κ)(MPa),h1(κ),h2(κ) 和 α(κ) 的具體表達為

通過方程(46)～ 式(49)得到,當 κ=0 時初始值(方程(42)中的參數)分別為E0=10 MPa,h10=1.4,h20=10和 α0=0.16.

方程(28)中,取p1=0.25,p2=0.27.方程(24)中控制耗散變化規律的兩個參數 τr和α1分別給定為10.15 MPa 和0.056.實驗中的4 次卸載應力分別為4.49 MPa,7.68 MPa,11.23 MPa 和15.98 MPa.再根據方程(42)確定 κm的大小分別為1.01,2.51,4.68和7.05,由此可以確定耗散功大小.將耗散代入到方程(46)～ 式(49)確定每一次循環參數值,方程(32)中的 α3=100.最后根據方程(31)計算每一次循環的加載曲線和卸載曲線.與實驗結果的對比如圖5所示.

圖5 模型結果和實驗結果[26]對比圖.橫坐標表示對數應變,縱坐標表示基爾霍夫應力Fig.5 Comparison between model result and the experimental data[26].“x”axis represents the Hencky strain,and“y”axis represents the Kirchhoff stress

實線表示模型模擬的結果,其中黑線表示第1 次加載路徑,紅色表示第1 次卸載然后再次加載的路徑,藍色表示第2 次卸載然后再次加載的路徑,洋紅色表示第3 次卸載然后再次加載的路徑,褐色表示第4 次卸載然后再次加載的路徑,紫色表示第5 次卸載然后再次加載的路徑.空心圓點表示實驗數據.從圖中可以看出模型可以精確模擬和匹配前四次加載?卸載的實驗數據,而對于第5 次卸載(假設卸載應力為21.08 MPa,塑性功為9.17)的曲線,能夠進行合理的預測.

3.2 引入各向異性實驗模擬

為了證明Mullins 效應會引入各向異性特征,Diani 等[26]做了相關實驗,結果如圖3 所示.假設方程(38)中的 φ(κ) 和φ′(κ) 的形式一致,都通過方程(30)來確定,其中參數 α2=0.52,κr=3.11.初次加載到λ=2,對數應變為l nλ=0.6931,通過前面的方法可得耗散為2.51.代入到方程(30) 得到 φ(κ)=0.65,φ′(κ)=0.65.假設初始加載方向為x軸,后面再次加載分別在x軸和y軸,通過方程(38)可以得到模型結果,和實驗結果的對比如圖6 所示.

圖6 Diani 等[26]的實驗數據和模型結果對比Fig.6 Comparison between experimental data of Diani et al.[26] and model result

黑色圓點和空心圓點分別表示x方向和y方向的實驗數據,黑色實線和紅色實線分別表示x方向和y方向的模型結果.從圖6 可以看出,模型結果和實驗結果可以精確匹配.

除了匹配實驗結果,模型還能預測其他方向受力的應力?應變滯回圈關系.在 φ(κ) 和 φ′(κ) 形式一致的前提下,方程(38)轉化為

在 φ=0°,30°,60°和90°的情況下,結果對比如圖7所示.其中 φ=0°和90°分別表示x方向和y方向,圖6結果證明這兩個方向受力得到的模型結果和實驗數據可以精確匹配.而 φ=30°和 60°方向上的應力?應變關系可以通過模型進行合理的預測.

圖7 不同方向上模型結果對比Fig.7 Comparison of model results in different directions

4 結論

本文在前面研究[38]的基礎上,改進了形函數的構造形式,其中加入了依賴耗散的不可恢復變形項和控制各向異性的項.通過圖5～ 圖7 的結果,模型結果不僅可以精確匹配實驗數據,同時可以對結果做合理的預測.從而證明新的模型可以模擬Mullins效應產生的不可恢復變形以及由此引入各向異性特征.

本文創新點在于以下3 點:(1) 改進了加載?卸載形函數的統一模式(方程(31)),引入了新的量 π,實現了加載曲線從應力顯著軟化(τ<τm)到不顯著軟化(τ>τm)的平滑過度;(2)形函數中引入了不可恢復變形部分hP,并給出其具體形式,且符合2.2 節給出的3 個條件,最后能精確匹配和預測實驗結果(圖5);(3)通過球坐標構建了任意方向受力的形函數改進形式(方程(38)),并在其中加入了控制各向異性的項 φ(κ) 和 φ′(κ) 及其具體表達(方程(30)).引入的各向異性滿足2.2.2 節中提出的條件且能精確匹配和預測實驗結果(圖6).