非飽和土半空間Lamb 問題及能量傳輸特性1)

2021-11-09 06:27:02周鳳璽張雅森曹小林牟占霖

力學學報 2021年7期

周鳳璽張雅森曹小林牟占霖

* (蘭州理工大學土木工程學院,蘭州 730050)

? (西部土木工程防災減災教育部工程研究中心,蘭州 730050)

** (東南大學土木工程學院,南京 211189)

引言

彈性半空間的波動響應一直是彈性動力學領域的研究熱點,其中Lamb 問題最具代表性.隨著研究的深入,不同集中荷載形式(點源和線源、表面和內部等)作用下單相彈性介質的Lamb 問題已經取得了比較完備的體系.近年來,有關多相多孔介質的Lamb 問題逐漸受到人們的重視.自Biot[1-2]建立了兩相介質的波動方程后,國內外學者針對飽和半空間Lamb 問題已經取得了一系列研究成果,主要包括荷載作用于半空間表面[3-5]和半空間內部[6-9]以及層狀地基[10-14]等不同方面的動力響應研究.相對于飽和土,在工程建設中大量涉及到的是處于地下水位以上的非飽和土體,而已有研究表明,介質中孔隙氣體的存在對其動力響應行為、彈性波傳播特性以及能量傳輸產生巨大影響,因此研究非飽和半空間的動力學行為在巖土工程、地震工程等領域有著重要的理論和應用價值.

由于非飽和多孔介質物理力學特性的復雜性,使得對非飽和半空間Lamb 問題及能量傳輸特性的研究成果較少.王春玲等[15-17]采用積分變換法和消元法求得了非飽和地基受豎向簡諧荷載作用下的穩態響應積分變換解,但其最終解的形式十分復雜,不便于應用.徐明江等[18-20]以三相多孔介質模型為基礎,通過引入雙變量本構關系,采用解析法研究了簡諧荷載作用下非飽和土地基的動力響應問題,給出了積分形式的解答,但并未考慮顆粒間吸應力對非飽和半空間動力學特征的影響.Zhang 等[21]在假定土骨架為多孔彈性連續介質,且具有均勻性和各向同性的基礎上,通過應用Fiourier 展開技術和Hankel 積分的方法得到了在內部激勵作用下的非飽和土中動態格林函數解,但上述研究成果均未討論不同邊界條件對非飽和半空間表面的動力學響應特征及能量傳輸特性的影響規律.

本文在已有研究成果的基礎之上,考慮非飽和土中粒間吸應力的作用,結合質量守恒方程、動量平衡方程及有效應力原理等基本方程,運用Helmholtz 分解法,在柱坐標系下建立了非飽和半空間的動力學控制方程.分別考慮透水(氣)和不透水(氣)兩種邊界條件,對頻域內的軸對稱問題進行求解,得到了非飽和半空間表面受到豎向集中簡諧荷載作用下的解析解答,并且通過參數分析討論了在不同飽和度、不同振動頻率以及不同滲透系數下的動力響應特性和能量傳輸的變化及其影響規律,以期為不同邊界條件下非飽和半空間的表面振動問題提供參考依據.

1 基本方程

如圖1 所示的非飽和半空間表面受到頻率為ω,幅度為q0的垂直簡諧荷載作用,考慮軸對稱性,問題的基本方程包括如下6 類.

圖1 半空間計算模型Fig.1 Half-space calculation mode

(1) 時域內固體骨架動量平衡方程

(2) 時域內孔隙流體運動平衡方程

式(1)和式(2)中,σr,σθ,σz,τrz分別為代表單元體上的總應力和剪應力;ur,uθ,uz分別為徑向位移、環向位移和豎向位移;wr,wθ,wz分別為孔隙中液體的徑向位移、環向位移和豎向位移;vr,vθ,vz分別為孔隙中氣體的徑向位移、環向位移和豎向位移;pl和pa分別為孔隙水壓力和孔隙氣壓力;分別為固相、液相和氣相的表觀密度.

考慮孔隙中的流體滲透形式符合達西定律,用固有滲透系數K表征氣相和液相的滲透系數kl和ka分別為

則式(2a)～式(2d)中系數bl和ba可表示為如下形式

式中,n為孔隙率;Sr為飽和度;g為重力加速度;ηl和ηa分別為液相和氣相的動力黏度系數.

(3) 有效應力原理

有效應力原理是土力學的核心,目前關于非飽和土中有效應力原理大致可分為單變量理論[22]、雙變量理論[23]和復合變量理論[24].其中,Lu 等[25]在考慮微觀顆粒間作用力和有效應力的基礎上提出了吸應力表示的有效應力公式

式中,σs=?(pa?pl)Se表示粒間吸應力,Se為有效飽和度,Se=(Sr?Sw0)/(1?Sw0),Sw0為殘余飽和度.吸應力表示的有效應力公式是非飽和介質中兩相流體壓力的函數,主要受飽和度變化的影響,消除了Bishop 有效應力原理中對參數χ的依賴性.

(4) 質量守衡方程

忽略各相之間的質量交換,非飽和多孔介質各相的質量守衡方程可描述為[26-28]

(5) 本構方程

考慮固相顆粒的可壓縮性,彈性各向同性非飽和介質的本構方程為

式中,α=1?Kb/Ks,Ks和Kb分別為固相顆粒以及骨架的體積壓縮模量; λ 和 μ為 Lame 常數.

(6) 滲流連續方程

式中,系數aij的具體表達式詳見附錄A.本構方程(7)和滲流連續方程(8) 的具體推導過程分別見附錄B 和附錄C.

2 問題的求解

2.1 控制方程

考慮簡諧荷載作用下各位移分量的形式如下

將式(9)代入孔隙流體運動平衡方程(2)中,并結合式(1)、式(7)和式(8),整理后可得頻域內非飽和半空間的動力控制方程

根據Helmholtz 分解定理,引入柱坐標系下的兩個勢函數Φ和Ψ表示ur和uz如下

將式(12a)分別代入式(10a)和式(11)中,可得

考慮到因變量的時間導數同二階空間導數的乘積與其時間導數同一階空間導數的乘積相比,前者是高階小量[21].因此,利用式(8)可以得到

將式(16)代入式(13),可得

將式(17)代入式(15),整理后可得

式中

方程(14)和方程(18)即為以勢函數表示的頻域內控制方程.在得到勢函數解答的基礎上,可通過基本方程得到各位移分量、應力分量等物理量的解答.

2.2 解析解答

利用分離變量法求解微分方程(14)和(18),可得

式中,I0(ζ11r),K0(ζ11r),I0(ζ12r),K0(ζ12r),I0(ζ2r),K0(ζ2r)分別為第一類和第二類零階貝塞爾函數;

待定系數A,B,C,D由具體的邊界條件確定.

考慮如下邊界條件

根據邊界條件(21)～ (23)可得

因此,對于勢函數可重寫成以下形式

將式(26)和式(27)代入式(12)和式(17)中,最終可獲得非飽和多孔介質中孔隙壓力及位移分量的表達式為

將孔隙壓力和位移的結果代入本構方程(7)中,可得各應力分量的表達式為

對于本文所討論問題的描述,在非飽和半空間表面(z=0)分別考慮透水(氣)和不透水(氣)兩種邊界條件.

(1) 當半空間表面排水(氣)時,土體表面孔隙氣壓力和孔隙水壓力為0,即

此時,式(28)～式(30)中各參數分別為

(2)當半空間表面不排水(氣)時,土體表面孔隙流體和土骨架之間的相對位移為0,即

此時孔隙中流體和土骨架間的位移關系由式(2)得

此時,式(28)～式(30)中各參數可表示為

2.3 能量場特性

通常情況下,半空間表面單位面積的能量傳播情況可由其表面牽引力和質點運動速度的積表示[29].因此,對于本文所考慮的非飽和多孔介質材料,單位面積上的能量,可由式(34)表示,結合兩類邊界條件(1)和(2)可求得不同透水(氣)條件下,非飽和半空間表面受到簡諧荷載作用時能量的傳輸性質.

3 解答的有效性驗證

在經典Lamb 問題的分析研究中,學者們往往采用位移解的形式進行描述.為驗證本文計算結果的準確性,利用式(29)得出的非飽和半空間表面的豎向位移uz和水平位移ur的解析解答,同文獻[29]在飽和半空間中的計算結果進行對比,其分析結果十分接近,說明本文所得結果可以和經典飽和半空間理論很好地銜接,進一步證明本文計算結果的有效性,如圖2 所示.

圖2 有效性驗證Fig.2 Validity verification

4 數值分析與討論

為討論不同邊界條件下相關參數對非飽和半空間動力響應和能量傳輸特性的影響規律,本文將通過數值算例分析在不透水(氣)條件、透水(氣)條件下土體表面位移及能量變化受到飽和度、振動頻率、滲透系數的影響情況.數值算例中所選取的計算參數如表1 所示.

表1 計算參數[17]Table 1 Calculation parameters[17]

在激振圓頻率ω=1 rad/s 時,圖3 繪制了非飽和半空間表面處為不透水(氣)條件、透水(氣)條件時,飽和度變化對其表面位移及能量傳輸特性的影響曲線.由圖3 可見,非飽和半空間表面位移幅值會隨著飽和度的增大而增大.這主要是由于隨著飽和度的升高,非飽和介質中基質吸力降低從而引起粒間吸應力降低,使半空間抵抗外力變形的能力減弱,導致半空間表面位移幅值會呈現出逐漸增大的趨勢.在不透水(氣)條件下,整體的位移幅值低于透水(氣)條件下的位移幅值,當飽和度較低時,孔隙內部存在大量氣體,由于氣體本身有很強的可壓縮性,因此當飽和度較低時,兩種不同邊界條件下的位移幅值相差很小;當飽和度較高時,土中孔隙水的含量明顯升高,非飽和介質抵抗變形的能力也會隨之提升,因此當飽和度較高時,不透水(氣)條件下的位移幅值會較為明顯的低于透水(氣)條件下的位移幅值.同位移幅值的變化情況類似,半空間中的能量同樣呈現出隨著距離振源位置的增大而振蕩下降的趨勢,且當表面不透水(氣)條件下,孔隙流體壓力占比相對更大,但由于總應力沒有變化,導致有效應力占比相對較小,因此在不透水(氣)條件下半空間表面受外荷載作用時的總能量值依然小于透水(氣)條件下的能量.

圖3 飽和度對位移和能量的影響曲線Fig.3 Influence curve of saturation on displacement and energy

為了分析荷載激振圓頻率對非飽和半空間表面位移及能量傳輸特性的影響,圖4 繪出了不同頻率下相關物理量的變化曲線.從圖4 可以看出,隨著激振頻率的逐漸增加,不論是徑向還是豎向位移的幅值均逐漸減小.因為在荷載振動頻率較小時,透水(氣)條件下的地表孔隙水(氣)壓力更容易消散,所以在透水(氣)和不透水(氣)兩種不同邊界條件下的位移幅值顯現出一定的差異,荷載振動頻率較大時的現象與之相反.且由于施加的外力水平不變,因此非飽和半空間中的能量變化會呈現出相似的變化趨勢.

圖4 激振頻率對位移和能量的影響曲線Fig.4 Influence curve of excitation frequency on displacement and energy

在ω=1 rad/s,飽和度Sr=0.6 時,圖5 給出了固有滲透系數的變化對半空間表面位移幅值和能量傳輸特性的影響曲線.由圖5 可見,隨著固有滲透系數的逐漸降低,骨架位移也隨之減小.隨著距離振源位置的逐漸增加,位移幅值呈現出振蕩下降的現象.當滲透系數很低時,兩種邊界條件的性質趨于一致,因為在條件(1)的情況下,表面雖透水(氣),但由于半空間內部的孔隙水(氣)壓力難以快速消散,依然會對土骨架產生一定的支持作用,所以位移幅值會隨著滲透系數的降低而呈現出一定的下降趨勢.在不透水(氣)條件下,孔隙流體會持續影響半空間的表面位移,且孔隙中流體和土骨架之間沒有相對位移,因此不透水(氣)邊界條件下非飽和半空間表面的位移幅值會略低于透水(氣)邊界條件下的位移幅值,且當土骨架位移幅值減小時,總能量也會呈現出減小的現象,當滲透系數下降至K<1×10?13m/s 時,地表位移幅值受滲透系數影響趨于一極限值,并且隨著滲透系數的逐漸降低,這兩種不同邊界條件所產生的宏觀現象會逐漸趨于一致,但其差異性將一直存在.