一類新型仿生起豎結構設計及其動力學分析1)

錢佳偉 孫秀婷,2) 徐 鑒 方虹斌,??

* (同濟大學航空航天與力學學院,上海 200092)

? (復旦大學智能機器人研究院,上海 200433)

** (復旦大學智能機器人工程技術研究中心,上海 200433)

?? (復旦大學智能機器人教育部工程研究中心,上海 200433)

引言

隨著科學技術的不斷發展,機器人的應用范圍越來越廣泛,應用場景也越來越多樣化.為了進行災后搜救、管道清理、未知區域探索等任務,機器人需要能在有限的工作空間和不規則的地形下移動并完成任務.于是,許多學者以蚯蚓等蠕蟲為仿生對象,設計了一系列仿蠕蟲機器人[1-8].受到蚯蚓的運動來源于體節的軸向變形的啟發,在此類仿蠕蟲機器人的設計中,仿蠕蟲機器人通過不同的驅動方式驅動環向和縱向彈性元件使體節單元發生軸向伸縮變形,從而實現仿蠕蟲機器人的運動[1].Fang 等[2]使用折紙球結構作為仿蠕蟲機器人的體節單元,通過電機驅動繩索控制體節單元的伸縮變形,在管道中實現了仿蠕蟲機器人的后退蠕動波運動;Luo 等[3]提出了一種剪刀結構單元的仿蠕蟲機器人,該剪刀結構單元可以通過伺服電機控制體節單元的伸縮變形模擬蠕蟲環肌與縱肌的變形,從而實現移動的功能;Pfeil 等[4]提出了一種介電彈性體驅動的軟體仿蠕蟲機器人,其體節單元由內部的保持結構和外部的介電彈性體構成,通過切換介電彈性體一端電極的電壓使體節單元發生伸縮變形.由于彈簧的拉壓變形與蠕蟲體節單元的伸縮變形相似,也有一些學者將蠕蟲機器人描述為多單元的振動驅動系統[5],并針對振動驅動系統的驅動方式[6]、外部摩擦[7]和運動形式[8-9]進行了分析.然而,這些仿蠕蟲機器人僅通過軸向伸縮變形實現了移動的功能,并不具備起豎的功能,因此在管道勘測、地形偵察、精密加工等應用中無法完成特定操作.為了使仿蠕蟲機器人具有執行特定操作的能力,希望設計一種仿生起豎結構,使仿蠕蟲機器人具有尺蠖、蛇等生物的起豎功能.

與蚯蚓等蠕蟲通過體節的伸縮變形來進行移動不同,起豎這種運動形式需要通過彎曲變形來實現.根據不同應用場景的需求,結合材料、結構設計、驅動和控制方法,學者們提出了許多能夠產生彎曲變形的仿生結構.為了代替人類在太空執行任務,學者們針對柔性機械臂提出了相應的控制方法使其產生需求的彎曲變形[10-12],從而執行航天器維修、在線裝配等任務;以章魚手臂為靈感可以實現對不同形狀物體的穩定抓取[13-15];為了幫助中風患者恢復抓取的功能,學者們設計了協助手指產生彎曲變形的上肢外骨骼[16-18];Zareei 等[19]以實現快速展開機構為目的,將彈簧的兩端分別連接在不同桿的中心位置,通過在關節處施加幾何的位置限制,得到了一種具有雙穩態性質的彎曲關節,并基于這種彎曲關節提出了一種在初始激勵下能發生彎曲變形的串聯結構[19].然而,該研究在對串聯結構進行分析時,假定了彎曲變形發生在水平平面內,沒有考慮在重力作用下豎直平面內的彎曲變形,也沒有對該結構不同構型的觸發條件進行分析.此外,大部分以彎曲變形為目標的結構只能產生C 形的構型,無法實現更加復雜的構型.

在自然界中,可觀察到蛇、尺蠖等具有起豎能力的生物能根據不同的情況觸發不同的穩定構型,當其在移動或者休息時,身體緊貼地面,處于直線穩定構型,當其在偵察、攻擊、防御、捕食時,身體處于特定的起豎穩定構型.仿起豎功能的結構設計能夠進一步拓展仿蠕蟲機器人在不同場景中的應用及其功能.具有多穩態特征的非線性柔性結構能夠實現起豎功能的仿生設計.學者們利用不同的方法,設計了不同類型的多穩態結構以實現需求的仿生物變形功能[20-21].捕蠅草具有張開狀態和閉合狀態兩種不同的穩定狀態,當昆蟲等生物觸及其表面時,捕蠅草便會快速地從張開狀態切換至閉合狀態以捕獲獵物[22-23].學者們受其啟發,設計了一系列仿捕蠅草多穩態結構,并利用電磁驅動[24-25]、形狀記憶合金[26]、氣動[27]等驅動方法完成狀態的切換;Li 等[28]基于捕蠅草細胞組織的分布式加壓和內嵌式多穩態這兩個特點,提出了一種仿捕蠅草的射流折紙結構,該結構能夠通過調控壓強實現結構在單穩態、雙穩態和多穩態之間的切換.Lachenal 等[29]利用兩個預應力法蘭構造了一種多穩態復合扭轉結構,該結構能在外界力矩下從直線構型轉換為扭轉構型;Zirbel 等[30]提出了一種有限厚度的折紙結構模型,可以應用于可展開太陽能電池板.基于尺蠖、蛇等生物具有的多穩態特征,我們希望設計一種具有非線性多穩態性質的仿生柔性關節以實現一種起豎功能的機器人.

本文設計了一種仿生柔性關節,在此基礎上構建了多節仿生起豎結構以實現仿蠕蟲機器人的起豎功能.研究給出了仿生起豎結構在直線構型和需求的起豎構型下穩定的結構參數設計準則和使仿生起豎結構能夠起豎至需求構型的觸發條件準則,并通過不同穩態的吸引盆得到了滿足觸發條件準則的初始激勵形式.本研究提出的仿生起豎結構考慮了豎直平面內的重力作用,因此需要提出整體結構的設計準則.此外,本文中的仿生起豎結構除了要實現C 形的構型以外,還希望能夠實現更多樣的起豎構型,這種構型的復雜性也對研究工作形成了挑戰.最后,采用數值方法求解動力學方程來研究起豎構型的觸發條件,對后續協同控制的研究具有指導意義.本文提出的仿生起豎結構能夠進一步拓展仿蠕蟲機器人的功能,為仿蠕蟲機器人在航空航天與精密加工等領域的應用提供了理論依據,也是對仿生設計理論的進一步完善.

1 仿生起豎結構設計準則

1.1 仿生起豎結構勢能

由于蚯蚓等蠕蟲類生物能夠在管道、泥地等不平整、受限的環境中移動,仿蠕蟲機器人得到了學者們的關注,越來越多的仿蠕蟲機器人被提出,這些仿蠕蟲機器人通過不同的方式模仿蚯蚓等蠕蟲體節的伸縮變形來實現移動的功能.然而,由于蚯蚓這種生物并不具備起豎的能力,這些仿蠕蟲機器人都沒有被賦予起豎功能.具有起豎功能的仿蠕蟲機器人能夠通過起豎進行偵察、操作等任務,因此可以進一步應用于管道勘測、復雜地形偵察、精密加工等實際場景,從而擴展仿蠕蟲機器人的應用范圍.在自然界中,蛇、尺蠖等生物能夠將身體的前部直立起來,通過起豎這種運動形式來進行攻擊、防御、偵察、捕食等任務,這為我們賦予仿蠕蟲機器人起豎的功能提供了靈感.于是,受到這些生物的啟發,本文設計了一種能夠實現生物起豎功能的仿生起豎結構,其力學模型如圖1(a)所示.

圖1 仿生起豎結構模型圖:(a) 仿生起豎結構;(b) 仿生柔性關節(變形后);(c) 仿生柔性關節(變形前)Fig.1 (a) Bio-inspired erecting structure;(b) bio-inspired flexible joint (after deformation);(c) bio-inspired flexible joint (before deformation)

本文提出的仿生起豎結構如圖1 所示,仿生起豎結構由多個連桿和仿生柔性關節串聯組成,其中剛性連桿用來模擬生物的體節和骨骼,而仿生柔性關節中的彈性元件用來模擬體節單元連接處的彈性肌肉及軟組織.仿生起豎結構每根連桿的長度為li,質量為mi,轉動慣量為Ii,連桿與x軸的夾角為 θi.圖1(b)和圖1(c)分別是變形后和變形前的仿生柔性關節示意圖,仿生柔性關節由剛度為ki、預壓角度為 φi的預壓扭轉彈簧和一對剛度為Ksi的拉伸彈簧構成,并假設拉伸彈簧的原長為0.變形前后仿生柔性關節的幾何尺寸與偏轉角如圖2 所示.

圖2 仿生柔性關節的幾何尺寸和偏轉角Fig.2 Geometric parameters and deformation of the bio-inspired flexible joint

在圖2 所示的仿生柔性關節中,O點為仿生柔性關節的轉軸,A,B,C,D為兩側拉伸彈簧的安裝位置,圖2 中黑色虛線部分代表未變形的仿生柔性關節,藍色實線部分代表變形后的柔性關節.在本文中,將拉伸彈簧的安裝位置與轉軸連線的長度定義為安裝半徑,分別記作La1和La2,將一對拉伸彈簧同一端安裝位置與轉軸連線的夾角定義為安裝角度,分別記作βi1,βi2.將兩個安裝角度的算術平均值定義為平均安裝角度,記作.柔性關節變形后,其連接前后連桿部分轉過的角度分別為 θi和 θi?1,兩根拉伸彈簧的長度分別為L1和L2.從仿生角度而言,柔性關節中的扭轉彈簧對應于軟組織,拉伸彈簧對應于肌肉.從力學角度而言,柔性關節中的扭轉彈簧剛度ki和預壓角度 φi決定了正剛度,拉伸彈簧剛度Ksi和平均安裝角度決定了非線性剛度,這些結構參數對仿生起豎結構的多穩態特性起關鍵作用.因此,ki,φi,Ksi,為待設計的結構參數.

由于仿生起豎結構的平衡點位置及穩定性都與結構勢能密切相關,為了設計仿生起豎結構的穩定平衡狀態位置,需要得到多節仿生起豎結構的總體勢能表達式.單個柔性關節的勢能由拉伸彈簧和扭轉彈簧的彈性勢能構成,將第i個柔性關節的勢能記作Vqi,其表達式為

其中,第一項為扭轉彈簧的彈性勢能,由于扭轉彈簧存在預壓角,其變形為 θi?θi?1?φi.后兩項為兩側拉伸彈簧的彈性勢能,由于柔性關節兩側的拉伸彈簧的原長為0,其變形即為彈簧的長度L1,L2.在式(1)中,L1,L2,βi1,βi2,La1,La2滿足幾何關系

將式(2)代入式(1),得到第i個柔性關節的彈性勢能表達式為

基于柔性關節的彈性勢能表達式(3)可以得到多節仿生起豎結構的勢能表達式.由于提出的仿生起豎結構由一系列連桿和柔性關節構成,其總體勢能由柔性關節的彈性勢能和連桿的重力勢能組成,因此多節仿生起豎結構的總勢能表達式為

其中,V代表多節仿生起豎結構的總勢能,VG代表多節仿生起豎結構的重力勢能,.

為了研究結構參數ki,Ksi對仿生起豎結構穩定平衡點個數和位置的影響,對單節起豎的仿生起豎結構的勢能曲線進行分析,單節起豎的仿生起豎結構在不同結構參數k1,Ks1下的勢能?角位移圖如圖3所示.

圖3 不同結構參數下仿生起豎結構的勢能?角位移關系Fig.3 Potential energy for different structural parameters

圖3(a)是不同扭轉剛度k1下單節仿生起豎結構的勢能?角位移圖;圖3(b)是不同平衡彈簧剛度Ks1下單節仿生起豎結構的勢能?角位移圖.由圖3 可知,仿生起豎結構的平衡點個數、穩定性、位置與結構參數k1,Ks1有關.如圖3(a)所示,由于扭轉剛度k1決定了關節處的正剛度,因此隨著扭轉剛度k1的增大,單節起豎的仿生起豎結構的平衡點的個數由3 個逐漸變為1 個,且中間的平衡點逐漸從不穩定的平衡點變為穩定的平衡點.當k1=0.8 N·m/rad 時,單節仿生起豎結構具有3 個平衡點I,II,III,其對應的位置分別為 θ1=?0.91 rad,0.24 rad,1.40 rad.其中,平衡點I,III 為穩定平衡點,平衡點II 為不穩定平衡點.當扭轉剛度增加到k1=1 N·m/rad 時,單節仿生起豎結構仍具有3 個平衡點IV,V,VI,平衡點的穩定性與k1=0.8 N·m/rad 時的情況類似,但3 個平衡點的位置變為了 θ1=0 rad,0.24 rad,0.4 rad,說明不同的扭轉剛度k1下單節仿生起豎結構具有不同的平衡點位置.當扭轉剛度增大到k1=1.2 N·m/rad 時,單節仿生起豎結構只有一個穩定平衡點VII,平衡點的個數由3 個減少為1 個.如圖3(b)所示,由于平衡彈簧剛度Ks1決定了關節處的負剛度,因此隨著Ks1的增大,單節仿生起豎結構的平衡點的個數逐漸由1 個變為3 個,且中間的平衡點逐漸從穩定的平衡點變為不穩定的平衡點.當Ks1=360 N/m 時,單節仿生起豎結構只有一個穩定平衡點VIII.當平衡彈簧剛度Ks1由360 N/m 增大至392 N/m 時,單節仿生起豎結構的平衡點數量由1 個增加至3 個,記為平衡點IX,X,XI,其位置分別為 θ1=0 rad,0.24 rad,0.49 rad.當Ks1增大至440 N/m 時,單節仿生起豎結構的平衡點個數與Ks1=392 N/m 相同,但平衡點的位置變為了 θ1=?0.48 rad,0 rad,1.15 rad.由于仿生起豎結構的穩定平衡點位置、個數與結構參數密切相關,為了實現直線構型與起豎構型的穩定平衡,需要提出相應的結構參數設計準則.

1.2 仿生起豎結構動力學模型

為了構建仿生起豎結構達到特定需求構型的結構參數設計準則及觸發條件,需要建立仿生起豎結構的動力學模型,并求解仿生起豎結構在初始激勵下的動力學響應.利用拉格朗日方程建立仿生起豎結構的動力學模型

其中,θi是連桿絕對轉角,是連桿的角速度,L為系統的拉格朗日函數,Qi是作用在第i個廣義坐標上的廣義力,n為連桿的數目.

如圖1 所示,仿生起豎結構每一節連桿的長度為li,質量為mi,轉動慣量為Ii,連桿與x軸的夾角為θi,質心坐標為 (xi,zi).由幾何關系,可以得到

將上兩式兩端對時間求導,可以得到

因此,仿生起豎結構的動能寫為

由式(4)和式(8),可以得到拉格朗日函數的表達式為

系統的廣義力Q包含關節處阻尼的阻尼力,假設阻尼所產生的廣義力形式為

將式(6)和式(7)代入式(9),可以得到由廣義坐標 θ1,θ2,···,θn表示的拉格朗日函數.將由廣義坐標表示的拉格朗日函數和廣義力代入拉格朗日方程,可以得到仿生起豎結構的動力學方程為

其中,M矩陣為質量陣,C矩陣為科氏陣,D矩陣為阻尼陣,K矩陣為剛度陣,G矩陣為重力項,N矩陣為非線性剛度項,各矩陣的具體形式見附錄.

本文通過求解不同初始條件下仿生起豎結構的動力學模型式(11)得到仿生起豎結構的動力學響應,以研究實現仿生起豎結構特定需求構型的結構參數設計準則及不同構型的觸發條件.

1.3 仿生起豎結構設計準則

基于仿蠕蟲機器人在管道勘測、地形偵察、精密加工等應用中實現特定操作的需求,本文提出的仿生起豎結構需要滿足以下要求:

(1)在地面約束下保持直線構型的穩定平衡;

(2)實現需求的起豎構型并保持起豎構型的穩定平衡;

(3)能夠通過觸發條件來實現起豎構型.

由圖3 可知,仿生起豎結構的平衡點及其穩定性與結構參數的選取有關.在本文中,連桿的質量mi,長度li,轉動慣量Ii以及柔性關節的安裝半徑La1,La2為固定的結構參數,柔性關節扭轉彈簧的剛度ki,預壓角度 φi,平衡彈簧的剛度Ksi,平均安裝角度 βˉi為待設計的結構參數.為了實現要求(1)和(2),基于仿生起豎結構總體勢能表達式和多元函數極值原理提出仿生起豎結構的結構參數設計準則.首先,要求仿生起豎結構的直線構型在地面的約束下穩定平衡,即每個關節處扭轉彈簧產生的力矩應小于重力產生的力矩.于是,結構參數需要滿足的條件為rz,即

其次,要求仿生起豎結構能夠起豎到需求構型,并在需求起豎構型處保持穩定平衡,即結構總勢能在起豎構型處取到極小值.于是,基于多元函數極值原理,結構參數需要滿足的條件為rw1和rw2,分別為

綜上,為了滿足要求(1)和(2),仿生起豎結構設計參數的設計準則為

最后,由于所設計的仿生起豎結構具有多穩態性質,在不同的初始激勵下仿生起豎結構最終可能達到的不同的構型.為了滿足要求(3),需要得到能夠實現仿生起豎結構起豎構型的觸發條件.在本文中,對各關節受到的初始位移激勵和速度激勵做出以下假設:

(1) 各關節受到的初始位移激勵和速度激勵的比例一定,即

其中,k為起豎構型中絕對轉角最大的關節的序號,且k∈N,1≤k≤n,ηi是第i個關節初始激勵的比例系數.

(2) 相鄰關節受到的初始位移激勵和速度激勵不相等,即

為了描述不同關節的比例系數,基于以上兩個假設定義如下的比例系數單調性變量

由比例系數單調性變量的定義可知,比例系數單調性變量的取值只可能為 ±1.在本文中,定義η0=0,則有Δ1=1恒成立.Δ1=1 表示在第i個關節處驅動上側的彈簧,Δ1=?1 表示在第i個關節處驅動下側的彈簧.本文將對起豎構型觸發條件的研究簡化為對初始激勵比例系數單調性的研究,即研究不同關節的比例系數在什么樣的單調性下使仿生起豎結構實現起豎構型的概率最大.基于上述的單調性變量,提出各關節初始激勵的比例系數單調性變量需要滿足的準則為r2,寫為

其中,P(θ1→,θ2→,···,θn→) 表示觸發起豎構型的概率,該準則表示在所有關節比例系數的單調性情況中選取觸發起豎構型概率最大的情況.本文利用仿生起豎結構不同穩態的吸引盆,闡明不同關節比例系數單調性情況下觸發起豎構型的概率.對于不同的初始條件 θk(0),(0),利用數值方法求解仿生起豎結構的動力學方程,得到不同初始條件下仿生起豎結構的動力學響應.通過對仿生起豎結構的穩態響應的判斷和分類,可以得到不同穩態的吸引盆以及觸發不同構型的概率,進而得到仿生起豎結構起豎構型的觸發條件.

2 不同需求下仿生起豎結構的實現及其觸發條件

根據第1 節提出的仿生起豎結構參數設計準則,針對不同起豎節數的設計需求,設計了相應節數的仿生起豎結構來驗證設計準則的有效性,并通過不同穩態的吸引盆研究仿生起豎結構的構型觸發條件,為利用主動控制保持仿蠕蟲機器人在移動中的需求構型奠定理論基礎.

2.1 單節起豎的仿生起豎結構

首先以單節起豎的仿生起豎結構為例,即仿生機器人只有最右端的一節進行起豎,對仿生起豎結構參數設計準則的作用進行展示.取結構參數為m1=0.05 kg,l1=0.1 m,La1=La2=0.05 m,由式(15)可以得到單節起豎的仿生起豎結構設計參數的設計準則為

為了驗證式(20)中兩條不等式條件rz,rw2的必要性,對結構參數在僅滿足rz、僅滿足rw2和同時滿足rz,rw2這3 種情況下的勢能?角位移曲線進行分析.通過rw1,可以建立k1與Ks1,的關系,代入rz,rw2中,可以得到k1?φ1平面上某一起豎角度下滿足兩個不等式的的區域.圖4(a)展示了時k1?φ1平面上僅滿足rz、僅滿足rw2和同時滿足rz,rw2的區域.圖4(a)中的區域Ⅰ對應于滿足rz而不滿足rw2的情況,在該區域中選取一個點,記作P1,其對應參數的勢能?角位移曲線和構型穩定性示意圖如圖4(b)所示.由圖4(b)所示的勢能?角位移曲線可以注意到,θ1=0處勢能曲線切線斜率為正且處勢能取到極大值,說明仿生起豎結構能夠在地面約束下保持直線構型的穩定,但仿生起豎結構的起豎構型不穩定.圖4(a)中的區域Ⅱ對應于滿足rw2而不滿足rz的情況,在該區域中選取一個點,記作P2,其對應參數的勢能?角位移曲線和構型穩定性示意圖如圖4(c)所示.由圖4(c)中的勢能?角位移曲線可以注意到,θ1=0處勢能曲線切線斜率為負且 θ1=π 2 處勢能取到極小值,說明仿生起豎結構的起豎構型穩定,但仿生起豎結構的直線構型在地面約束下不能保持穩定.圖4(a)中的區域Ⅲ對應于rz,rw2同時滿足的情況,在該區域中選取一個點,記作P3,其對應參數的勢能?角位移曲線和構型穩定性示意圖如圖4(d)所示.由圖4(d)中的勢能?角位移曲線可以注意到,θ1=0處勢能曲線切線斜率為正且處勢能取到極小值,說明仿生起豎結構的直線構型和起豎構型都能保持穩定.因此,只有當rz,rw2同時滿足的情況下,即結構參數在區域Ⅲ內時,仿生起豎結構才能同時在直線構型和起豎構型下穩定平衡.

圖4 勢能?角位移曲線和構型穩定性示意圖Fig.4 Potential energy and corresponding configuration stability schematic diagram

2.2 兩節起豎的仿生起豎結構

以兩節起豎的仿生起豎結構為例,即仿生機器人只有最右端的兩節進行起豎,驗證結構參數設計準則的有效性.仿生起豎結構需求的起豎構型設為.針對具有兩節起豎功能的仿生起豎結構,取結構參數m1=m2=0.05kg,l1=l2=0.1 m,La1=La2=0.05m,c1=c2=0.01 N·s/m.根據結構參數設計準則式(15),兩節起豎的仿生起豎結構的設計參數的取值為k1=1N·m/rad,k2=0.5 N·m/rad,φ1=0.01rad,φ2=0.05rad,=0.98rad,=1.29 rad,Ks1=Ks2=400 N/m.在這組結構參數和設計參數下,兩節仿生起豎結構的勢能等高線圖和起豎構型示意圖分別如圖5(a)和圖5(b)所示.在圖5(a)中,θ1=θ2=0處的梯度方向處于θ1負半軸與θ2負半軸之間.于是,由于地面的約束,仿生起豎結構能在θ1=θ2=0位置處穩定平衡.此外,在圖5(a)中,起豎構型處為勢能極小值點,因此,仿生起豎結構能在設計的起豎構型位置處穩定平衡.圖5(c)是仿生起豎結構在初始激勵下的時間歷程曲線,由圖可知仿生起豎結構能在初始激勵下從直線構型變成起豎構型,并能在起豎構型位置處穩定平衡.

圖5 兩節仿生起豎結構Fig.5 Two-segment bio-inspired erecting structure

2.3 三節起豎的仿生起豎結構

為了說明本文提出的仿生起豎結構不僅能夠實現C 形構型,也能夠實現C 形構型以外的其他構型,設計了兩種不同起豎構型的三節起豎的仿生起豎結構,即仿生機器人只有最右端的三節進行起豎.仿生起豎結構的起豎構型分別設為,其構型示意圖如圖6(a)和圖6(b) 所示.本文將滿足<<···<的起豎構型稱為C 形構型,并將滿足<<···<且>>···>的起豎構型稱為S 形構型.三節仿生起豎結構的結構參數為m1=m2=m3=0.05 kg,l1=l2=l3=0.1m,La1=La2= 0.05 m,c1=c2=c3=0.01 N·s/m.根據結構參數設計準則式(15),兩種起豎構型的仿生起豎結構對應的設計參數取值分別見表1和表2.圖6(a)和圖6(b)中的右圖分別是起豎構型為S 形和C 形的三節仿生起豎結構在受到初始激勵后的時間歷程圖,由圖6(a)和圖6(b)可知,所設計的仿生起豎結構能夠在受到初始激勵后達到所需求的起豎構型并在起豎構型處穩定.同時,由圖6 可以得知,本文提出的仿生起豎結構除了可以實現C 形的起豎構型,還可以實現C 形構型以外的起豎構型,這說明本文提出的仿生起豎結構進一步拓展了彎曲變形結構可實現的構型.

表2 C 形構型設計參數Table 2 Design parameters values of three-segment bio-inspired erecting structure with C configuration

圖6 不同起豎構型的三節仿生起豎結構的起豎構型示意圖及其動力學驗證Fig.6 Erecting configuration schematic diagram and dynamics verification of different three-segment bio-inspired erecting structure

在表1 的設計參數下,仿生起豎結構一共有3 個穩定構型,其穩定構型示意圖如圖7 所示.在圖7中,藍色構型表示的S 形構型,黃色構型表示 θ1=0.35π,θ2=0.74π,θ3=1.14π 的C 形構型,鮮綠色構型表示 θ1=0,θ2=0,θ3=0 的直線構型.接下來,通過仿生起豎結構不同穩態的吸引盆來研究初始激勵對仿生起豎結構最終達到構型的影響.

表1 S 形構型設計參數Table 1 Design parameters values of three-segment bio-inspired erecting structure with S configuration

對于三節起豎的仿生起豎結構,其比例系數單調性變量的取值一共有4 種情況,在圖8 中分別給出了4 種不同情況下仿生起豎結構不同穩態的吸引盆,并在吸引盆的左上方用柱狀圖標出了比例系數單調性變量的取值.其中,藍色部分對應于圖7 中的S 形穩定構型,黃色部分對應于圖7 中的C 形穩定構型,鮮綠色部分對應于圖7 中的直線穩定構型.由圖8 可以得知,不同比例系數單調性的情況下,仿生起豎結構觸發S 形構型的概率有顯著的差異.在圖8(a)和圖8(b)所示的吸引盆中沒有藍色的部分,說明在這兩種情況下無法觸發仿生起豎結構的S 形構型.在圖8(c)和圖8(d)中,吸引盆出現了較大的藍色區域,說明圖8(c)和圖8(d)這兩種情況比圖8(a)和圖8(b)中這兩種情況更容易觸發仿生起豎結構需求的S 形構型,針對圖8(c)和圖8(d)對應的兩種情況進行進一步討論,以確定滿足準則r2的比例系數單調性變量的取值.

圖7 表1 參數下仿生起豎結構穩定構型示意圖Fig.7 Stable configuration of three-segment bio-inspired erecting structure with parameters in Table 1

圖8 不同單調性變量情況下三節仿生起豎結構不同穩態的吸引盆Fig.8 Basin of attraction corresponding to different conditions

為了將初始激勵的比例系數單調性與需求的起豎構型聯系起來,定義如下的起豎構型單調性變量

圖9 三節仿生起豎結構比例系數單調性變量與起豎構型單調性變量示意圖及不同比例系數情況下不同穩態的吸引盆Fig.9 Schematic diagram of excitation variable and configuration variable and basin of attraction under different excitation variable situation for three-segment bio-inspired erecting structure

2.4 多節起豎的仿生起豎結構

為了說明本文提出的仿生起豎結構能夠實現需求的仿生構型,設計了多節起豎的仿生起豎結構,多節仿生起豎結構的起豎節數和起豎構型由圖10(a)中蛇起豎的構型而來.多節仿生起豎結構只有最右端的六節進行起豎,起豎構型為.仿生起豎結構的結構參數為m1=m2=···=m6=0.005 kg,l1=l2=···=l6=0.1 m,La1=La2=0.05m,c1=c2=···=c6=0.075 N·s/m,其設計參數如表3 所示.圖10(b)為多節仿生起豎結構在受到初始激勵后的時間歷程圖,多節仿生起豎結構受到初始激勵后的起豎過程及對應的時間歷程的動力學模擬結果在附加材料中.由圖10(b)可以得知,多節仿生起豎結構能夠在受到初始激勵后達到設計的起豎構型并在起豎構型處穩定,說明了本文提出的仿生起豎結構實現了需求的仿生構型.

表3 多節仿生起豎結構的設計參數Table 3 Design parameters values of multi-segment bio-inspired erecting structure

圖10 多節仿生起豎結構Fig.10 Multi-segment bio-inspired erecting structure

多節仿生起豎結構有多個不同的穩定構型,通過求解不同初始激勵下多節仿生起豎結構的動力學模型,可以得到仿生起豎結構不同穩態的吸引盆中出現的穩定構型,其示意圖如圖11 所示.根據三節起豎的仿生起豎結構中對仿生起豎結構需求構型觸發條件的討論,可得到了3 種不同比例系數單調性下多節仿生起豎結構不同穩態的吸引盆及不同構型出現的概率,如圖12 所示.在吸引盆圖像的上方,我們用柱狀圖標出了對應的單調性變量的取值.在多節仿生起豎結構不同穩態的吸引盆中,藍色部分表示所設計的S 形起豎構型,棕色部分表示C 形構型,橙色部分表示斜S 構型,綠色部分表示受地面約束的直線構型.圖12(a)為Δi=1,i=1,2,···,6 時多節仿生起豎結構不同穩態的吸引盆.由圖12(a)可以得知,在Δi=1,i=1,2,···,6 的情況下,最容易觸發=1,i=1,2,···,6 的C 形構型.圖12(b)為Δi=1,i=1,2,···,5,Δ6=?1 時多節仿生起豎結構不同穩態的吸引盆.由圖12(b) 可以得知,在Δi=1,i=1,2,···,5,Δ6=?1的情況下,最容易觸發=1,i=1,2,···,5,=?1的斜S 形構型.圖12(c)為Δi=1,i=1,2,···,4,Δ5=Δ6=?1時多節仿生起豎結構不同穩態的吸引盆.由圖12(b) 可以得知,在Δi=1,i=1,2,···,4,Δ5=Δ6=?1時的情況下,最容易觸發=1,i=1,2,···,4,==?1 時的S 形構型.通過對圖12 的分析,驗證了在三節仿生起豎結構中得到的關于觸發條件準則的結論,即Δi=為滿足觸發條件準則的比例系數單調性變量.

圖11 多節仿生起豎結構穩定構型示意圖Fig.11 Stable configurations of multi-layer bio-inspired erecting structure

圖12 不同比例系數單調性下多節仿生起豎結構不同穩態的吸引盆Fig.12 Basin of attractions corresponding to different conditions

3 結論

本文提出了一種具有多穩態性質的仿生柔性關節以實現仿蠕蟲移動機器人的起豎功能,并針對不同起豎節次和起豎構型的需求,設計了相應節次的仿生起豎結構.本文的主要結論如下:

(1) 本文提出的結構參數設計準則能夠實現仿蠕蟲機器人在直線和起豎兩種構型下的穩定平衡.準則rz保證了仿生起豎結構直線構型的穩定平衡,準則rw1使得仿生起豎結構在起豎構型位置處是一個平衡點,準則rw2確保仿生起豎結構在起豎構型位置處穩定.

(2) 本文定義了初始激勵與起豎構型的比例系數單調性變量來研究初始激勵與起豎構型的關系,并建立了觸發條件準則來描述觸發需求起豎構型的初始激勵形式.

(3) 基于不同起豎節次的需求,設計了相應節數的仿生起豎結構.結果說明,本文提出的仿生起豎結構能夠在重力作用下實現需求的起豎構型.在三節和多節仿生起豎結構中,利用不同穩態下的吸引盆得到了滿足觸發條件準則的初始激勵形式.

本文提出的仿生起豎結構對拓展仿蠕蟲機器人的應用場景、豐富仿蠕蟲機器人的功能性有指導意義.同時,對仿生起豎結構的構型觸發條件的研究為我們利用主動控制調控仿生起豎結構的不同構型提供了依據,也對后續通過主動控制保持需求的構型有參考價值.

附錄

仿生起豎結構動力學模型中各矩陣M,C1,D,K,G,N中各元素的具體表達形式如下: