周期函數的原函數問題剖析*

蔡水英 李德新

(福建農林大學計算機與信息學院,福建 福州 350002)

0 引言

1 周期函數的原函數的分解

設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個正數T，使得對于任一x∈D有(x±T)∈D，且f(t+T)=f(t)恒成立，那么稱f(x)為周期函數，稱T為f(x)的周期,通常我們說周期函數的周期是指最小正周期[2]。

所以G(x)是周期為T的連續函數。從而有：

2 連續函數的原函數的周期性

引理1設f(x)是R上一個連續周期函數，則f(x)的所有原函數要么都是周期函數，要么都不是周期函數。

任取一個常數c，Φ(x)+c為f(x)的一個原函數。

若Φ(x)為周期函數，不妨設其周期為T(>0)，那么有：

Φ(x+T)+c-[Φ(x)+c]=Φ(x+T)-Φ(x)=0

因而根據周期函數的定義以及c的任意性可得，f(x)的所有原函數都是周期函數。

若Φ(x)不為周期函數，Φ(x)+c也不是周期函數。因而,由c的任意性可知，f(x)的所有原函數都不是周期函數，證畢。

故f(t+T)-f(t)的所有原函數都是常數，所以f(t+T)-f(t)=0，即f(x)是周期為T的函數,證畢。

推論1:f(x)是周期為T(>0)的奇函數的充分必要條件是f(x)的所有原函數是周期為T(>0)的偶函數。

3 應用

由定理1可得以下推論：

由于連續周期函數G(x)有界，所以可得：

推論2說明了:當x→+∞時,f(x)在[0,x]上的平均值的極限為f(x)在[0,T]上的平均值。

由于

解:[法一]由推論2可得：

[法二]由推論3可得：

當x→+∞時，含有周期函數的變限積分的商式求極限問題，一般不能用洛必達法則，常見用夾逼準則求解，利用本文方法不失為一種簡捷高效的途徑。

4 結論