關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)之差不等式問題的探究

重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校 (401220) 田 鵬

1 問題提出

如果一個(gè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，這兩個(gè)零點(diǎn)的差往往不能得到一個(gè)精確的值，尤其是在含參數(shù)的問題中，零點(diǎn)的差更難求出一個(gè)精確的值.因此，這類問題往往以不等式知識(shí)為載體，綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式問題.主要考查數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸，分類與整合等數(shù)學(xué)思想.難度偏大，技巧性較強(qiáng)，抽象程度高，對(duì)直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高.本文通過一些典型的例題說明這類問題的幾種常見處理方法，以供讀者參考.

2 數(shù)學(xué)模型

模型1 設(shè)函數(shù)y=f(x)，y=g(x)，若直線y=a與函數(shù)y=f(x)和y=g(x)分別交于點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y1)，不妨設(shè)x1

模型2 設(shè)函數(shù)y=f(x)，若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)滿足x1∈(a,b)，x2∈(m,n)，則m-b

圖1

模型3 如圖1，函數(shù)y=f(x)的圖象下凹，直線AD,BD是函數(shù)y=f(x)的兩條切線，且切線AD,BD恒在函數(shù)y=f(x)的圖象上方，線段AC,BC是函數(shù)y=f(x)的兩條割線段，且割線段AC,BC恒在函數(shù)y=f(x)的圖象下方.直線y=a與切線AD,BD分別交于E,F兩點(diǎn)，與y=f(x)的圖象分別交于M,N，與割線段AC,BC分別交于G,H.設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，E(x3,y3)，F(xiàn)(x4,y4)，G(x5,y5)，H(x6,y6)，則x6-x5≤x2-x1≤x4-x3.該模型主要是通過切線放縮和割線放縮來解決，更一般地，可通過曲線進(jìn)行放縮.若函數(shù)y=f(x)的圖象上凹，也有類似的結(jié)論.

3 模型運(yùn)用

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=2x+3-a，g(x)=ln(2x)-a的零點(diǎn)分別為x1,x2，則|x2-x1|的最小值為.

評(píng)注：結(jié)合零點(diǎn)的定義，可構(gòu)建方程f(x1)=0和g(x2)=0，從中可解出x1和x2，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，特別注意其中的參數(shù)a的范圍.另外，若f(x1)=0或g(x2)=0不可解時(shí)，注意變量的選取，此時(shí)往往將x1和x2其中一個(gè)作為變量來構(gòu)造函數(shù).

(1)設(shè)函數(shù)h(x)=(x-1)F(x)，當(dāng)a=2時(shí)，證明：當(dāng)x>1時(shí)，h(x)>0；

(2)若F(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

評(píng)注：此題難度較大，綜合性強(qiáng)，思維靈活.主要考查利用導(dǎo)數(shù)來分析函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題，利用零點(diǎn)存在定理來逼近函數(shù)的零點(diǎn).其中將F(x)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為g(x)的零點(diǎn)這一步很關(guān)鍵，用零點(diǎn)存在定理可得x1∈(e-a,t1)，x2∈(t2,ea)，最后結(jié)合一元二次方程的韋達(dá)定理順利得到證明.對(duì)這類問題，應(yīng)深入分析不等式結(jié)構(gòu)，通過直觀想象，數(shù)據(jù)分析，找到問題的突破口，理清解題思路.

例3 已知函數(shù)f(x)=2sinx-x2+2πx-a.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)在其零點(diǎn)處的切線方程；

圖2

解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x=0和x=2π.f(x)在x=0的切線方程為y=(2+2π)x；f(x)在x=2π的切線方程為y=(2-2π)(x-2π)，過程略.

評(píng)注：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)g(x)=2sinx-x2+2πx的圖象和直線y=a的交點(diǎn)，由(1)可得函數(shù)g(x)的兩條切線.接著證明g(x)≤(2+2π)x和g(x)≤(2-2π)(x-2π)在定義域內(nèi)恒成立，進(jìn)而得到x2-x1≤x4-x3，而x3和x4可以解出來，問題得證.這類問題的關(guān)鍵是分析函數(shù)的圖象特點(diǎn)(畫出函數(shù)的大致草圖)，尋找函數(shù)的兩條切線，至于尋找函數(shù)的切線沒有通法可言，常用的經(jīng)驗(yàn)是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)，大膽猜測(cè)，小心求證，方能順利解決問題.

例4 已知函數(shù)f(x)=xlnx-a(a∈R).

(1)討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2，且x1ae+1.

圖3

(1)當(dāng)a=1時(shí)，比較f(x)與x+1的大小；

解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)>x+1恒成立，過程略.

圖4

4 一點(diǎn)說明

函數(shù)問題內(nèi)容多，方法多，技巧多，本文著重從函數(shù)的零點(diǎn)之差的視角進(jìn)行探究，很可能本文中的這些例題還有其他的方法解決，這一點(diǎn)留給讀者去探索.另外，在學(xué)習(xí)和研究這類問題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)，其一，注重基礎(chǔ)知識(shí)的積累，勤于思考，勤于探究，多積累解題經(jīng)驗(yàn)，不斷提高學(xué)生分析問題，解決問題的能力.其二，建構(gòu)常見的函數(shù)放縮模型，努力鉆研典型試題，深度挖掘其背景知識(shí)，不斷提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.其三，加強(qiáng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育.