一題恒久遠 經典永流傳

陜西省西安市長慶二中 (710201) 安文華

陜西省漢中市四〇五學校 (723312) 侯有岐

高考對三角的考查可以分為三個知識點，一是三角函數(shù)的圖像與性質；二是三角恒等變形；三是解三角形.而解三角形的問題是在三角形的邊與角六個量中給出若干個量求其它量或者其它量的范圍，這里尤其是以求周長、面積的取值范圍最為典型.由于這類問題入手比較寬，可以運用正弦定理，也可以運用余弦定理，甚至可以考慮幾何方法，對全面系統(tǒng)掌握解三角形的方法有以點帶面的作用.此外，這類問題的求解過程中通常要進行代數(shù)變形或者三角變形，考察學生數(shù)學運算的核心素養(yǎng).本文結合2019年高考理科數(shù)學全國三卷第18題，來談談這類問題在三角復習備考中的典型作用.

一、熟悉公式，提高敏感性

二、一題多解，優(yōu)化認知結構

下面對例題第(2)問的求解進行探討.

反思：通過解法二，我們發(fā)現(xiàn)求解過程非常完美，對三角形是銳角三角形的條件有了深刻理解和認識.感覺這題好啊，出乎意料的好，一是正、余弦定理都能用，二是銳角的條件，用邊和用角都可以轉化，這才把正余弦定理是邊角互化的工具，判定三角形的形狀既可以用邊也可以用角這個觀念體現(xiàn)的淋漓盡致.解法一相對比較很自然，但解法二認識層次更深，因為明明是求邊a，為什么用角，應該用邊更直接，所以才有解法二.但a2-a+1=b2>0沒有得到a的范圍，這就有了認知沖突，遇到挫折怎么辦？回到條件去，去分析還有什么條件沒有用到，對條件的理解還能怎樣？

解法三：事實上本題難點在于“銳角三角形”這個條件的翻譯與表達，如果結合幾何直觀，則能更好、更深的理解這一條件對解答的啟發(fā).

圖1

反思：滿足△ABC為銳角三角形這個條件的要求是三個角都是銳角，在無限的變化過程中，極限狀態(tài)是有一個角是直角，只要越過這個極限那自然就不再是銳角三角形，所以問題的求解可以將這種運動變化推到極致，從而得到變量的范圍.

三、一題多問，變式練習

本題可以在(2)加上：求△ABC周長的范圍.

方法一：仍然考慮正弦定理，用角求解.

①引入輔助角，化為正弦型函數(shù).

②考察幾何意義，用幾何法求解.

圖2

③進行恒等變形，用三角函數(shù)求范圍.

方法二：從余弦定理出發(fā)，用邊求解.

通過上述過程，我們看到這一個題串起了龐大的三角知識庫，這不正說明它的經典作用和價值，在高三復課教學中我們要挖掘高考真題的價值，會用數(shù)學眼光觀察問題，會用數(shù)學思維思考問題，會用數(shù)學語言表達問題，落實核心素養(yǎng).類似可解決下題：

(2013新課標Ⅱ理科第17題)△ABC在內角的對邊分別為a,b,c，已知a=bcosC+csinB．

(1)求B；(2)若b=2，求△ABC面積的最大值．