多角度觀察 多維度思考 多手段處理
——一道多元函數最值問題的求解

廣東省惠州市第一中學 (516007) 鐘時泉

多元函數最值問題是指含有多個變量、以求解最大值或最小值為目的的一類數學問題．多元函數最值問題中蘊含著豐富的數學思想和方法，而且有利于培養學生數學解題思維和能力.怎樣求多元函數的最值，是師生們非常關注的問題，也是高中生必須具備的解題技能.本文借用一道多元函數最值問題的求解，通過一題多解及解法演變，以點帶面，連點串線，不僅激發了學生的好奇心與求知欲，而且幫助學生拓寬解題思路，提高數學素養.

1.利用消元法求解

“消元法”是處理多元最值問題的一種常見方法，所謂消元法是指根據題設或題目所求結論，直接消去一個或多個變量，或者通過變形、構造把多個變量轉化成一個變量的問題，把原問題變換角度進行研究.

2.巧用換元法求解

“換元法”也是處理多元最值問題的一種常見方法，所謂換元法是指根據題設或題目所求結論，引入一個或多個新“元”代換原來問題中的舊“元”，通過換元對原問題進行變換，使得問題變為簡單，從而便于求解.

在解決多元最值問題中，三角換元是常客，由于本題沒有常見的平方和等于1，那么該如何借用三角換元法去解決呢？

評注：換元的實質是轉化，它是用一種變數形式取代另一種變數形式,關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象.

評注：題海茫茫，變化無窮，通常數學問題中已知與未知之間的聯系并不明顯,有時甚至好象隔著一條難以逾越的鴻溝，本題借用引進參數m，牽線搭橋,溝通了已知與未知的聯系,可使問題迎刃而解．

3.借用構造法求解

“構造法”就是根據題設條件或結論所具有的特征、性質，構造出滿足條件或結論的數學模型，借助于該數學模型解決數學問題的方法.

評注：從表面上看，本題純屬代數中的函數問題，但根據多元函數式及條件的結構特點，聯想到與之相應的幾何模型和代數背景，通過挖掘代數問題中蘊含的幾何含義，使問題獲得了簡捷快速的解答．其解法獨特，實屬巧妙，體現了數學的奇異美.

評注：由于2y=x+3z，看到這個等式很容易聯想到等差中項，于是構造等差數列輔助求解，巧妙的構造給解題帶來了意想不到的神奇效果.

評注：回顧解法3的整體換元，在求解過程中出現了y2=txz，由這個形式我們不難聯想到等比中項,于是構造等比數列輔助求解.其解法新穎別致,獨樹一幟，可喚起學生的求知欲,誘發他們的好奇心,培養他們的創造力.

4.引用配湊法求解

“配湊法”是一種迂回的解題方法，體現了化歸的思想，它指的是在解答數學問題的過程中，巧妙地配、湊一些適當的數、式或圖形，以獲得或化歸成利于解答的形式.

綜上,一題多解，殊途同歸，是數學解題的一大奇觀.一題多解對于提高學生的學習能力是十分必要的,但一題多解的最終目的不是用來展示有多少種解決問題的途徑,也不是所有的題目都需要用多種方法求解.通過一題多解的教學，學生的數學思維可以得到鍛煉，并且從不同的角度對問題進行深入思考，可提高學生的解題能力，達到一舉多得的效果.研究表明，一題多解也是被認為是培養學生創造性思維的有效手段.