基于圖像視角下極值點偏移問題的解法探究

江蘇省南京市棲霞中學 (210046) 劉建國 胡黨琴

一、問題背景

極值點偏移問題多次出現在各地模擬題與高考中，只有深入了解這類問題的本質，才能掌握此類問題的命題背景，進而對問題進行變式(如[1])，當前也有很多文獻研究了此類問題的解題策略(如[2]).極值點偏移問題是函數不等式證明中常見的題型，這類問題通常以多變量甚至引入參數使得問題復雜而又難以處理，其本質在于極值點兩側的增減速率不一致導致偏移現象，從而使得問題難度增加.學生對此往往束手無策，其原因是多方面的，從代數角度分析，學生不會對變量問題進行轉化，如何轉化，怎樣轉化是學生面臨的一個困難；從圖像角度分析，學生對函數的本質問題沒有理清，不會畫圖，更不會用圖像去研究此類問題的本質.

二、圖像解法探究

圖1

圖2

例1 (2020兗州區高三網絡模擬22)已知函數f(x)=2lnx-ax，a∈R.

(Ⅰ)討論f(x)的單調性;

(1)若f(x)≥0，求實數a的范圍；

(2)若函數f(x)有兩個零點x1,x2，證明：x1x2<1.

注：含參的極值點偏移問題，往往兩個零點與參數的雜糅加大問題的難度，處理這類問題的根本思想就是消元思想，利用零點在函數中建立等式，消除參數，再利用對稱性的思想將兩個零點消元得到一元的問題，進而比較大小得出結果.

例3 (2021湛江一模22)已知函數f(x)=ex，g(x)=2ax+1.

(1)若f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值集合；

分析：針對第(2)問根據前面的圖像分析，只需將圖像上零點x1關于極值點x0對稱到x0右側2x0-x1，將問題轉化為兩個數值f(2x0-x1)-g(2x0-x1)與f(x2)-g(x2)的大小比較問題.

注：極值點含參數時，利用函數零點進行消參顯得繁瑣，不妨保留參數，對零點進行消元，構造新的函數，對新函數通過求最值進行判斷符號，得出結果.

三、幾點思考

1.圖像是函數問題的本源.數形結合思想是解決函數問題的重要思想，從函數圖像上了解問題的根源，更好的把握問題內在的規律性，因此教師在教學過程中處理這類問題時，應注重引導學生對函數圖像的畫法，教學生去畫圖，從圖像上探究問題的本源，這種思想在處理多變量問題時往往有意想不到的效果.

2.重視問題的源頭是解決問題方法的來源.當前高三復習中，很多學生在學習過程中只重結果，以刷題為手段，答對為目的進行周而復始的題海戰術，機械刷題，套路題型，而不重視解題思想，使得在面對新題型時，往往束手無策.函數問題的命制往往來源于函數圖像，函數圖像是函數問題的源頭，圖像給學生以直觀感受，在觀察圖像中可以尋找到解題策略，函數的性質只是解決問題的輔助工具，在觀察圖像基礎上，通過邏輯推理，從而解決問題.

3.倡導多題一解，注重對問題進行溯源.函數中除了極值點偏移問題外，參數范圍問題，恒成立問題，零點問題等都是較難的問題，教師在平時教學中，不能一味的以解題為目的，一個好的數學問題除了本身解法的之外，更應該對問題進行溯源，探究其內在的命題背景與命題方法，針對此類情況進行歸納總結，注重方法的合理性與可行性，做到一題解決一類題的教學目標.