巧用極化恒等式破解向量數量積問題*

安徽省合肥市第一中學 (230601) 谷留明

平面向量是高中數學較為重要的內容,其中數量積內涵豐富,是連接各知識點的核心概念,也是平面向量和其他知識相融合的重要渠道.在高考和競賽中,經常涉及到數量積的求值或最值問題,在平時的教與學中,師生比較關注定義法、坐標法、基底法,有時也用投影法.但有些數量積問題,若用前面這些方法,就不太行得通或者不夠簡潔,而如果能夠巧用極化恒等式,問題往往能夠迎刃而解.

一 公式介紹

圖1

二 公式妙用

1.以三角形或多邊形為背景

解析：如果采取將不等式兩邊平方,運算量非常大.其實由向量的減法及數乘運算的幾何意義,根據已知不等式,可得點P到直線AB的距離為3,所以△PAB由P出發的中線最短為3,而且AB邊長為定值10,所以具備用極化恒等式的典型條件.

圖2

圖3

2.以圓為背景

圖4

解析：此題用坐標法是可以的,但運算過程不夠簡潔,如果要用極化恒等式,初看起來好像不具備相應特征.如果能動中取靜,就會注意到圓O和Rt△ABC是固定的,點P,Q在運動中恒以定點O為中點.

3.以圓錐曲線為背景

4.以立體幾何為背景

圖6