一道2021年廣東高三?？荚囶}的探究

福建省莆田第一中學(xué) (351100) 林 敏

1.試題再現(xiàn)

2.試題賞析

考題第(1)問考查了橢圓的定義和幾何性質(zhì)，可以利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，第(2)問是橢圓的定值問題，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系以及弦長公式，考查在解析問題中進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算的能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).該題不但著力考查了考生的綜合思維能力、創(chuàng)新意識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還留下很大的拓展空間.

3.解法探究和拓展探究

以下對這道試題進(jìn)行解法探究和拓展探究.

評注：將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，根據(jù)橢圓離心率的公式以及c2=a2-b2，建立關(guān)于a2和b2的方程組，解出a2和b2的值，從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

評注：先討論直線MN斜率不存在時的情況，當(dāng)直線MN斜率存在時，將直線MN方程和橢圓方程聯(lián)立消元后，先求判別式，再由韋達(dá)定理表示兩根之和與兩根之積，再結(jié)合直線方程表示y1y2，由已知條件和直線斜率公式得出等式2t2=4k2+1，整體代換后得出△>0，由弦長公式和點(diǎn)到直線距離公式列式子，在運(yùn)用整體代換法可得出△OMN的面積為定值1.

通過比較上面三種解法發(fā)現(xiàn)，解法1幾何直觀利用的較少而代數(shù)運(yùn)算較多，體現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化和設(shè)而不求的思想方法，但其中代數(shù)運(yùn)算運(yùn)用較繁瑣，解法2運(yùn)用參數(shù)方程法，把解析幾何中的面積定值問題化歸為三角恒等變換問題，并且運(yùn)算量減少，令人耳目一新，解法3運(yùn)用了伸縮變化法，借助伸縮變換將橢圓中的問題化歸為圓中的問題，幾何直觀增多而代數(shù)運(yùn)算減少，但這種解法對學(xué)生的思維能力要求較高，只有考生非常熟練伸縮變換的性質(zhì)的前提下該解法才會運(yùn)用自如，否則容易出錯.