三角形的一條小性質

湖南省長沙市望城區中小學教師發展中心 (410200) 劉先明

湖南省長沙市望城向陽中學 (410200) 譚文娟

圖1

圖2

由上面兩題，可獲得三角形的一條性質.

圖3

性質三角形任意一邊的兩個頂點，通過這條邊上中線的中點，在對邊的射影是對邊靠近第三個頂點的三等分點.反之，這條邊的一個頂點與對邊靠近第三個頂點的三等分點的連線必過此邊中線的中點，亦成立.即如圖3，在△ABC中，點D是AB的中點，點O為中線CD的中點，則BO與AC的交點E為AC的三等分點，或點B與AC的三等分點E的連線必過CD的中點O.我們把點E叫做點B通過點O在直線AC上的射影.

圖4

進一步探究，可得如下結論.如圖4，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，取中線AD的中點O1，連接BO1延長交AC于點E1，取BO1的中點O2，連接AO2延長交BC于點E2，取AO2點中點O3，連接BO3延長交AD于點E3，取BO3的中點O4，連接AO4延長交BE1于點E4，取AO4的中點O5，連接BO5延長交AE2于點E5，則得：

結論1E1為AC的三等分點，E3為AO1的三等分點，E5為AO3的三等分點，E2為BD的三等分點，E4為BO2的三等分點，E6為BO4的三等分點.

結論2 點E1，E3，E5，…共線，點E2，E4，E6，…共線.

結論3 點O1,O3,O5，…共線，點O2,O4,O6，…共線.

結論1此即上面的性質.

結論2的證明：以證明“點E1，E3，E5，…共線”為例.由上面性質可得E3為AO1的 三 等分點，E5為AO3的 三 等分點，…

仿照結論2的證明結論3可證.此處略.