對一道數列課堂習題的探究與引申

四川師范大學附屬中學(高中) (610066) 周其祥 黃光鑫

四川師范大學數學科學學院 (610068) 紀定春

1.問題呈現

該數列證明題，主要考察學生對等差數列中等差中項的概念理解與應用，是培養學生數學概念理解能力、邏輯推理素養和數學運算素養等的好題．問題的思路開闊、解法多樣、形式簡單、結構優美，是一道值得探究的好試題．同時，該問題的解決思路，蘊含了豐富的數學思想，如對稱思想、“配湊”思想、整體化思想、代換思想、平移變換思想等，是高中數學思想的瑰寶，是滲透數學思想方法的好問題．接下來，先對原問題的解法進行探究，然后從等差中項或等比中項的角度，對問題進行適當的引申．

2.問題探究

思路1：等差定義法

思路2：定向“配湊”法

思路3：整體“平移”法

分析：對比條件和結論的結構，可以發現，條件中以單個字母作為分母，這與結論的結構完全相同，而條件的分母都是“1”，待證明的結論中出現了輪換對稱結構，考慮將分子全部變成“a+b+c”，再利用分數恒等變形，就可化為待證明的結構．

評注：思路1從等差數列等比中項的性出發，然后將待證明數列前后項相加，再利用等價代換，建立三個數之間的數量關系，進而證明結論．思路2利用條件和結論之間的差異性，從結論的結構出發，利用條件的結構來湊結論需要的結構，進而達到證明的目的．思路3是從整體的觀點出發，巧妙的運用了“1”的特性、等式的恒等變形和等差數列具有平移變換不改變等差特性的特點．從本質上講，思路3可視為思路2的優化．從思路3可以發現，條件和結論之間，相當于作了兩次變換，從條件出發，先作“a+b+c”的數乘變換，在作“-1”的平移變換，但這兩種變換，不會改變等差數列等差的特性，但是會改變原等差數列的公差，即為等差數列的結論依然成立．

3.問題引申

通過上述解答的分析過程，可以發現，關于等差中項的證明問題，較為簡單．若已知數列為等差或等比數列，試問數列相鄰三項的倒數有怎樣的數量關系呢？接下來，將從等差中項和等比中項的視角，來研究數列相鄰三項或相鄰k項倒數之間的數量關系，得到如下的一些結論，希望對大家有所啟發和幫助．

推廣2 設數列{an}為正項等差數列，an=f(n)，公差為d，則當n≥2時，有：

推廣3 設數列{an}為正項等差數列，an=f(n)，公差為d，對任意的正整數k，則當n≥2，且n-k≥1時，有：

推廣4 設數列{an}為正項等比數列，an=f(n)，公比為q，則當n≥2時，有：

推廣5 設數列{an}為正項等比數列，an=f(n)，公比為q，則當n≥2時，有：

推廣6 設數列{an}為正項等比數列，an=f(n)，公比為q，對于任意正整數k，則當n≥2，且n-k≥1時，有：

評注：推廣1是從等差中項的角度，考察了等差數列相鄰三項倒數之間的大小關系．推廣2是從等差數列公差的角度出發，討論了等差數列前后兩項的倒數之和與等差中項倒數的公差倍數之間的關系，由此可以得出兩個漂亮的不等式．推廣3是對推廣1的再推廣，討論了等差中項倒數與間隔k項倒數之和之間的大小關系．推廣4-6，是對等比數列的等比中項的倒數與前后兩項(或間隔k項)倒數大小關系的討論，研究的范式與推廣1-3是相同的，分別得出了等比中項的倒數與前后兩項(或間隔k項)倒數之間的不等關系，此處不再作具體的分析．