對(duì)一道數(shù)列課堂習(xí)題的探究與引申

四川師范大學(xué)附屬中學(xué)(高中) (610066) 周其祥 黃光鑫

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (610068) 紀(jì)定春

1.問(wèn)題呈現(xiàn)

該數(shù)列證明題，主要考察學(xué)生對(duì)等差數(shù)列中等差中項(xiàng)的概念理解與應(yīng)用，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)概念理解能力、邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等的好題．問(wèn)題的思路開闊、解法多樣、形式簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)優(yōu)美，是一道值得探究的好試題．同時(shí)，該問(wèn)題的解決思路，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，如對(duì)稱思想、“配湊”思想、整體化思想、代換思想、平移變換思想等，是高中數(shù)學(xué)思想的瑰寶，是滲透數(shù)學(xué)思想方法的好問(wèn)題．接下來(lái)，先對(duì)原問(wèn)題的解法進(jìn)行探究，然后從等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)的角度，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊辏?/p>

2.問(wèn)題探究

思路1：等差定義法

思路2：定向“配湊”法

思路3：整體“平移”法

分析：對(duì)比條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)，條件中以單個(gè)字母作為分母，這與結(jié)論的結(jié)構(gòu)完全相同，而條件的分母都是“1”，待證明的結(jié)論中出現(xiàn)了輪換對(duì)稱結(jié)構(gòu)，考慮將分子全部變成“a+b+c”，再利用分?jǐn)?shù)恒等變形，就可化為待證明的結(jié)構(gòu)．

評(píng)注：思路1從等差數(shù)列等比中項(xiàng)的性出發(fā)，然后將待證明數(shù)列前后項(xiàng)相加，再利用等價(jià)代換，建立三個(gè)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而證明結(jié)論．思路2利用條件和結(jié)論之間的差異性，從結(jié)論的結(jié)構(gòu)出發(fā)，利用條件的結(jié)構(gòu)來(lái)湊結(jié)論需要的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而達(dá)到證明的目的．思路3是從整體的觀點(diǎn)出發(fā)，巧妙的運(yùn)用了“1”的特性、等式的恒等變形和等差數(shù)列具有平移變換不改變等差特性的特點(diǎn)．從本質(zhì)上講，思路3可視為思路2的優(yōu)化．從思路3可以發(fā)現(xiàn)，條件和結(jié)論之間，相當(dāng)于作了兩次變換，從條件出發(fā)，先作“a+b+c”的數(shù)乘變換，在作“-1”的平移變換，但這兩種變換，不會(huì)改變等差數(shù)列等差的特性，但是會(huì)改變?cè)炔顢?shù)列的公差，即為等差數(shù)列的結(jié)論依然成立．

3.問(wèn)題引申

通過(guò)上述解答的分析過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)，關(guān)于等差中項(xiàng)的證明問(wèn)題，較為簡(jiǎn)單．若已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列，試問(wèn)數(shù)列相鄰三項(xiàng)的倒數(shù)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？接下來(lái)，將從等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的視角，來(lái)研究數(shù)列相鄰三項(xiàng)或相鄰k項(xiàng)倒數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，得到如下的一些結(jié)論，希望對(duì)大家有所啟發(fā)和幫助．

推廣2 設(shè)數(shù)列{an}為正項(xiàng)等差數(shù)列，an=f(n)，公差為d，則當(dāng)n≥2時(shí)，有：

推廣3 設(shè)數(shù)列{an}為正項(xiàng)等差數(shù)列，an=f(n)，公差為d，對(duì)任意的正整數(shù)k，則當(dāng)n≥2，且n-k≥1時(shí)，有：

推廣4 設(shè)數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，an=f(n)，公比為q，則當(dāng)n≥2時(shí)，有：

推廣5 設(shè)數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，an=f(n)，公比為q，則當(dāng)n≥2時(shí)，有：

推廣6 設(shè)數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，an=f(n)，公比為q，對(duì)于任意正整數(shù)k，則當(dāng)n≥2，且n-k≥1時(shí)，有：

評(píng)注：推廣1是從等差中項(xiàng)的角度，考察了等差數(shù)列相鄰三項(xiàng)倒數(shù)之間的大小關(guān)系．推廣2是從等差數(shù)列公差的角度出發(fā)，討論了等差數(shù)列前后兩項(xiàng)的倒數(shù)之和與等差中項(xiàng)倒數(shù)的公差倍數(shù)之間的關(guān)系，由此可以得出兩個(gè)漂亮的不等式．推廣3是對(duì)推廣1的再推廣，討論了等差中項(xiàng)倒數(shù)與間隔k項(xiàng)倒數(shù)之和之間的大小關(guān)系．推廣4-6，是對(duì)等比數(shù)列的等比中項(xiàng)的倒數(shù)與前后兩項(xiàng)(或間隔k項(xiàng))倒數(shù)大小關(guān)系的討論，研究的范式與推廣1-3是相同的，分別得出了等比中項(xiàng)的倒數(shù)與前后兩項(xiàng)(或間隔k項(xiàng))倒數(shù)之間的不等關(guān)系，此處不再作具體的分析．