如何求分段函數(shù)零點問題中的參數(shù)范圍

山東省德州市第九中學 (253000) 李 琳

分段函數(shù)內(nèi)容豐富、考點廣泛、形式多樣，是每年高考的熱點.本文通過列舉幾個典型題例，介紹已知函數(shù)的零點個數(shù)的情況求其中的參數(shù)范圍問題.

一、畫出函數(shù)圖像

圖1

解析：因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)恒成立，即2-x+m·2x=-2x-m·2-x對任意x都成立，解得m=-1，所以

評注：函數(shù)圖像是函數(shù)性質(zhì)的直觀體現(xiàn)，解題時如果能夠畫出函數(shù)的大致圖像，并指出關(guān)鍵信息是非常有助于問題的解決．

圖2

評注：由于此函數(shù)表達式含有兩層絕對值，它的圖像比較復雜，需要分步畫出，故而如何畫出大致的函數(shù)圖像是解決問題的關(guān)鍵，對漸近線、特殊點必須標注清楚．

二、分類或分段討論

解析：在同一坐標系中分別畫出y=x+4與y=x2-2x的圖像分析可知，由于函數(shù)g(x)=f(x)-b都有零點，即方程f(x)=b都有解，即需f(x)的值域為R，當a≤1時，a+4≥1-2，解得a≥-5；當a>1時，a+4≥a2-2a，解得-1≤a≤4，綜上所述.實數(shù)a的取值范圍是[-5,4]．

評注：通過對參數(shù)進行逐一的分類討論，再輔助于對應(yīng)的函數(shù)圖像分析，就可以得到對應(yīng)不等關(guān)系，這也是比較實用有效的一個解題方法．

評注：由于給出的分段函數(shù)中需要對參數(shù)a進行討論才能確定零點，即圖像與x軸的交點，所以分類討論是勢在必行，關(guān)鍵注意如何確定分段的標準．

三、轉(zhuǎn)化為解不等式

評注：欲求參數(shù)的取值范圍，找到一個不等式是解決問題的常規(guī)思路，任何找是我們的主攻方向，本題中通過分析分段函數(shù)的零點情況，迅速地將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)中的常見題型，這是解題的關(guān)鍵．

圖3

評注：本題主要考察了綜合運用導數(shù)作函數(shù)圖象的能力、零點判斷及逆向思維能力等，其中利用導數(shù)作出函數(shù)的大致圖象(特別是極值點和交的位置標注)是成功解題的關(guān)鍵．