例談“換一個角度看問題”的解題功能

甘肅省永昌縣第四中學(xué) (737200) 姚文彥

換一個角度看問題實際上就是一種觀念的轉(zhuǎn)換，可引發(fā)另一種方法的嘗試，是提高問題解決的成功率的手段．我們在具體解題時，常常會遇到“看不懂題目”、“無法下手”、“無法繼續(xù)解下去”等情況，這都需要及時調(diào)整目標(biāo)，重新規(guī)劃解題方案，認(rèn)真研判之前解題的合理性等．本文就此談?wù)劇皳Q角度、看問題”的幾個解題功能，與同行們互相切磋而已．

1、增加破題機(jī)會

許多問題，我們?nèi)绻搭}目的順序和常規(guī)的方向去思考，發(fā)現(xiàn)毫無頭緒、無法下手，但如果我們從另一個方向再去審題，就會出現(xiàn)耳目一新的感覺，如在解決多元問題時，若摒棄常規(guī)的主元，根據(jù)所給條件重新選擇主元，會出現(xiàn)簡捷方便的求解方法．

評注：本題中若將函數(shù)式看成x的函數(shù)，則無法確定其函數(shù)的值域，就會出現(xiàn)無法破題的尷尬局面．

2、克服思維定勢

在常規(guī)思考問題遇到困難時，應(yīng)該嘗試從反面或側(cè)面去探索分析找到解題的突破口，這是許多同學(xué)缺乏的一種思維素養(yǎng)，通過有意識的培養(yǎng)和訓(xùn)練，可逐步彌補(bǔ)這方面的缺失，使以后的解題變得更有效、更簡潔．

評注：由于題中的沒有公共點是否定命題，正面解題時比較繁瑣，而命題的反面是有公共點，則問題就變成了圓錐曲線中有公共點的情況，是一個比較熟悉的問題，這樣就能回避了難點，巧渡難關(guān)．

3、簡化分類討論

在許多問題中，都需要通過分類討論來解決，而如何避免討論或簡化討論過程就是解題能力的體現(xiàn)．從轉(zhuǎn)換思維角度出發(fā)，往往可得到這方面的效果．

評注：本解法是從整體上考慮問題，就大大簡化了解題難度，所以在遇到困難時，換一種想法，跳出原來圈子外重新思考問題，可能會有驚喜出現(xiàn)．

4、誘發(fā)數(shù)形轉(zhuǎn)換

我們知道，關(guān)于函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)等問題中，當(dāng)代數(shù)方法無法達(dá)到解題目的時，可借助于函數(shù)圖象的幾何意義，直觀地幫助分析并列式求解．

例4 設(shè)a>0，b>0，方程x2+ax+2b=0與x2+2bx+a=0都有實根，求2a+b的最小值．

圖1

解析：本題的條件是二方程都有實根，則有Δ1=a2-8b≥0，Δ2=4b2-4a≥0，即8b≤a2與b2≥a兩個二元二次不等式同時成立．如果從代數(shù)形式考慮一時難以下手，但可以挖掘它的幾何意義，聯(lián)想用平面區(qū)域的方法，可知，由于a>0，b>0，且8b≤a2，b2≥a表示直角坐標(biāo)aOb內(nèi)陰影部分的區(qū)域(如圖1)，又兩條曲線的交點是P(4，2)．設(shè)t=2a+b，則直線2a+b-t=0與陰影部分有公共點，平移直線，當(dāng)直線過點P(4，2)時，直線的截距t最小值，將t代入得t=10，即2a+b的最小值為10．

評注：以形助數(shù)是簡化數(shù)學(xué)解題的重要手段，尤其是在解選擇題、填空題時更加實用，但在解題時要特別注意所畫圖形或圖像的準(zhǔn)確性與規(guī)范性，標(biāo)好關(guān)鍵點等，否則也容易引發(fā)錯誤．

5、提升發(fā)散思維

發(fā)散思維是從不同的角度、不同方向思考問題，對所要解決的問題中的信息，產(chǎn)生新的方法．這樣解題方法就能不斷創(chuàng)新，思維品質(zhì)就得到不斷提升．

例5 已知a>0且a≠1，若0

分析一：通過分段或分類去掉絕對值符號，變?yōu)槌Ｒ?guī)形式的問題．只需對對數(shù)底a分a>1或0

=|log(1+x)(1-x)|=-log(1+x)(1-x)

分析四：由于公式 |a-b|≤|a|+|b|中當(dāng)且僅當(dāng)a·b<0時等號成立，容易知道，由01且0<1-x2<1，則loga(1-x)·loga(1+x)<0，故|loga(1-x)|=|loga(1-x2)-loga(1+x)|=|loga(1-x2)|+|loga(1+x)|>|loga(1+x)|．

評注：以上幾種解法從不同的側(cè)面入手，充分挖掘題設(shè)的條件與所學(xué)過的書本知識的聯(lián)系，從不同方向架設(shè)了解決問題的通道．

實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中不同形式的轉(zhuǎn)換，需要有厚重的知識儲備，熟練的方法技巧和優(yōu)秀的思維能力，所有這些不是一朝一夕產(chǎn)生的，需要持久訓(xùn)練、長期磨練才可能達(dá)到，如果我們老師在平時的教學(xué)中有意識、有步驟、有目標(biāo)的培養(yǎng)，會收到理想的效果．