解答與三角形有關的最值問題的路徑

何宇

解三角形中的最值問題涉及的知識點較多，不僅考查了正、余弦定理的應用、三角恒等變換的技巧、三角函數的圖象和性質，還考查了求最值的方法.由于此類問題的綜合性較強，因此我們可以從不同的角度入手，來尋找解題的思路.下面結合例題來談一談解三角形中最值問題的解法.

一、采用基本不等式法

基本不等式是解答最值問題的工具.在運用基本不等式法求最值時，我們首先要根據題意求得目標式，然后合理進行恒等變換，構造出兩式的和或積，并使其一為定值，這樣便可運用基本不等式求得最值.

例題：已知在△ABC中，BC=3.若sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC，求△ABC的周長的最大值.

解：因為sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC

所以a2-b2+c2=bc，

所以a2=b2+c2-2bcsinA=b2+c2+bc=9

即（b+c）2-b·c=9，

而??? （當且僅當b=c時等號），

所以，

所以??? （當且僅當b=c時等號），

所以△ABC的周長的最大值為??? .

我們首先根據正余弦定理求得關于b、c的關系式，然后借助基本不等式將目標式轉化為只含有b+c的不等式，通過解不等式求得b+c的最值，進而求得△ABC的周長的最大值.

二、借助換元法

有些目標式中含有多項式，且結構比較復雜，我們需把目標式中的某一部分用新字母代替（即換元），從而將目標式轉化為關于新元的函數式，利用函數的性質便可求得目標式的最值.采用換元法解題，能使復雜的問題簡單化，明朗化.

以上述例題為例.

解法一：因為sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC，

所以a2-b2+c2=bc，

所以a2=b2+c2-2b·cosA=b2+c2+b·c=9

即??? .

可設，，，

可得，??? .

所以，

所以當時，，即△ABC的周長的最大值為??? .

我們借助三角函數中的重要關系式sin2θ+cos2θ=1進行換元，分別設，，，最終得到一個關于θ的表達式，再根據正弦函數的性質求得三角形周長的最值.

解法二：因為，所以，

所以可設，，，

因為BC=3，，，

所以??? .

當θ=0時，b+c取最大為，此時，

即△ABC的周長的最大值為??? .

我們由已知條件可以發現A、B、C三角之間的關系，于是引入角θ，通過換元，將b+c轉化為關于θ的三角函數，再根據余弦函數的性質便可求得△ABC的周長的最大值.

雖然解三角形中最值問題的難度較大，但是我們只要仔細分析問題，靈活運用正、余弦定理、三角函數中的基本公式求得目標式，再運用基本不等式，通過換元，便可將問題轉化為不等式、函數問題來求解.同學們還要注意培養思維的敏捷性、發散性以及創新性，這樣才能快速破解難題.

（作者單位：江蘇省栟茶高級中學）