例析解三角函數(shù)最值題的辦法

徐君華

三角函數(shù)最值問題是一類綜合性較強(qiáng)的問題，不僅考查了三角函數(shù)基本公式的應(yīng)用、三角恒等變換的技巧、圖象變換，還考查了求最值的方法.該類問題是讓很多同學(xué)“頭疼”的問題，常常令不少同學(xué)束手無策.對此，筆者歸納了三種解答三角函數(shù)最值問題的方法，以期對同學(xué)們有所幫助.

一、運用公式法

三角函數(shù)中的公式較多，如二倍角公式、誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、和差化積公式、積化和差公式、降冪公式、輔助角公式等.在解答三角函數(shù)最值問題時，同學(xué)們要熟練運用三角函數(shù)中的基本公式，將三角函數(shù)式化簡，然后利用三角函數(shù)的有界性求得函數(shù)的最值.

例1.試求函數(shù)的最值.

解：??? .

當(dāng)時，函數(shù)有最大值，最大值為;

當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為??? .

仔細(xì)觀察題目，我們不難發(fā)現(xiàn)該函數(shù)式可以利用三角函數(shù)“積化和差”公式來化簡，再結(jié)合正、余弦函數(shù)的有界性，即可快速解題.

二、采用配方法

配方法是解答數(shù)學(xué)問題不可或缺的方法之一.對于某些形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c類型的三角函數(shù)最值問題，可利用配方法求解，首先將三角函數(shù)的函數(shù)名稱統(tǒng)一，然后通過配方將問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)sinx或cosx的二次函數(shù)最值問題.

例2.已知的最大值為1，試確定a的值.

解：??? .

令cosx=t，因為-1≤cosx≤1，所以-1≤t≤1，

則??? .

當(dāng)，即a≥2時，t=1，g（t）有最大值，即，解得a=5;

當(dāng)，即a≤-2時，t=-1，g（t）有最大值，即，解得??? （不符合條件，舍去）;

當(dāng)，即-2≤a≤2時，，g（t）有最大值，即，解得或???; （不符合條件，舍去），綜上所述，a=5或??? .

運用配方法將三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，是解答本題的關(guān)鍵.在解題的過程中，切不可忽略或這一隱含條件.此外，還應(yīng)注意對二次函數(shù)軸與定義域區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，避免出現(xiàn)漏解.

三、利用幾何法

幾何法是指通過構(gòu)造幾何模型求得最值的方法.一般地，對于形如的三角函數(shù)最值問題，若直接利用代數(shù)法不易求解，同學(xué)們不妨轉(zhuǎn)變思路，挖掘其幾何意義，構(gòu)造幾何模型，將其視為過定點（b，a）與單位圓上動點（cosx，sinx）連線的斜率，求得直線斜率的最值，問題便迎刃而解.

例3.求函數(shù)的最大值和最小值.

解：，

將其看作定點A（-3，-2）與單位圓上動點P（cosx，sinx）連線的斜率，過點A（-3，-2）作單位圓的切線，由圖1可知，當(dāng)直線AP與單位圓相切時，直線的斜率有最值.

因為單位圓x2+y2=1中斜率為k的切線方程為，且該切線過點A（-3，-2），所以，解得，所以，??? .

運用幾何法求解三角函數(shù)最值問題的關(guān)鍵是先把函數(shù)式變形，再利用其幾何意義，將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的位置關(guān)系問題來求解.

總之，這三種方都是求三角函數(shù)最值問題的重要方法.其中公式法是基礎(chǔ)方法，也是應(yīng)用范圍最廣的方法.配方法和幾何法的適用范圍較窄，但是同學(xué)們?nèi)裟苓\用得當(dāng)，便能有效提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省濱海中學(xué)）