多法并用，求解一類解析幾何問題

楊凱

解析幾何問題主要考查直線的方程以及圓、拋物線、橢圓、雙曲線的方程和性質等.此類問題的運算量較大，對同學們的運算、推理能力要求較高.如何簡化運算、合理進行推理是解題的關鍵.本文從一道例題出發，談一談解答一類解析幾何問題的方法.

題目：已知橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，且A（2，3）.求∠F1AF2的角平分線所在直線的方程.

本題主要考查了橢圓的標準方程、角平分線的性質以及直線的方程，屬于一類綜合問題.解答本題的關鍵需從∠F1AF2的角平分線入手，可分別利用角平分線的性質、三角函數法、向量法來解題.

一、利用角平分線的性質

角平分線的性質有很多，如角平分線上的點到角兩邊的距離相等;三角形一個角的平分線分對邊的兩條線段與這個角的兩條鄰邊對應成比例;三角形的三條角平分線交于三角形內接圓的圓心.對于本題，我們可以分別求出AF1、AF2的直線方程，利用點到直線的距離公式求得角平分線上的點到AF1、AF2的距離，利用“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”來建立關系式，求得B的坐標，便可運用直線的兩點式方程求得角平分線所在直線的方程.

解法一：設所求角平分線的直線為l，斜率為k，l與x軸交于B（x0，0），因為，所以F1（-2，0），F2（2，0），所以AF2⊥F1F2，直線AF1的方程為3x-4y+6=0，直線AF2的方程為x=2.由角平分線的性質可知點B到直線AF1的距離等于它到直線AF2的距離，即，解得，即B點的坐標為，所以∠F1AF2的角平分線所在直線的方程為y=2x-1.

我們還可以利用“三角形的三條角平分線交于三角形內接圓的圓心”的性質來解題.根據題意構造三角形的內接圓，利用內接圓的性質來求得角平分線所在直線的方程.

解法二：因為，所以F1（-2，0），F2（2，0）則AF2⊥F1F2，即△AF2F1是直角三角形，且三角形三邊長為3，4，5，所以這個三角形的內切圓的半徑r=1，內切圓圓心O得坐標為（1，1），所以∠F1AF2的角平分線所在直線的方程為y=2x-1.

二、三角函數法

三角函數法是解答與角有關問題的常用方法.在解題時，我們可以根據幾何圖形用三角函數表示出相應的邊、角以及所求目標，通過三角恒等變換簡化目標式，再利用三角函數的性質和圖象求得問題的答案.對于本題，我們可以用三角函數表示出∠F1AF2，然后利用二倍角公式化簡函數式求得∠F1AF2的正切值，再根據斜率公式以及直線的斜截式方程求得∠F1AF2的角平分線所在直線的方程.

解：因為，所以F1（-2，0），F2（2，0）

則AF2⊥F1F2，

設∠F1AF2=2α∈（0°，90°），

則，

解得或tan=-2（舍），

所以∠F1AF2的角平分線所在直線的方程為y=2x-1.

三、向量法

向量法是指構造出合適的向量，利用向量的坐標運算來解題的方法.運用向量法解題能將解析幾何問題轉化為向量問題，有利于轉化解題的思路.對于本題，我們可以分別求出各點的坐標，給各條線段賦予方向，運用向量的坐標運算來解題.

解：因為，所以F1（-2，0），F2（2，0），

而A（2，3），所以，，

又，

可得B點坐標，

所以∠F1AF2的角平分線所在直線的方程為y=2x-1.

通過對這道解析幾何題的研究與探討，我們發現解答解析幾何問題可以從多個方向進行研究，如利用角平分線的性質、運用三角函數知識、向量知識來解題.

在解答綜合性較強的解析幾何問題時，我們應注意發散思維，從多個角度尋求解題的方法.

（作者單位：江蘇省泰興市第一高級中學）