求解極值點偏移問題的兩個技巧

申一鳴

所謂極值點偏移，是指函數f（x）的極值點x0與區間（x1，x2）上的中點不相等.極值點偏移問題主要考查函數的圖象和性質、不等式的性質、方程的根的判別式、韋達定理等.解答極值點偏移問題的關鍵在于，正確處理兩根之間的關系，確保不等式恒成立.解答此類問題主要有兩個技巧：差值代換和比值代換.下面，我們結合一道典型例題來進行探討.

例題：已知函數f（x）=xe-x，若0<x1<x2，且f（x1）=f（x2），求證：3x1+x2>3.

題目中出現了兩個變量x1、x2，求解的難度較大.我們需根據已知條件建立關于x1、x2的關系式，靈活運用函數的圖象和性質、不等式的性質、方程的根的判別式、韋達定理等進行推理、運算，由已知條件逐步向目標式靠近.我們可以運用差值代換和比值代換兩個技巧來求解.

一、差值代換

運用差值代換技巧求解極值點偏移問題，需首先令t=x2-x1，消去其中的一個變量x1或x2，將函數轉化關于變量t的式子，通過探討函數的單調性、極值，從而證明結論.在解答本題時，要先設t=x2-x1，而3x1+x2>3等價于，可構造函數g（t）（t-3）et+3t+3，并運用導數法對其性質和圖象進行深入探討，從而證明結論成立.

解：∵0<x1<x2，且f（x1）=f（x2），

∴，，

令t=X2-X1，t=（et-1）X1

∴，，

∴3x1+x2>3等價于，

設g（t）=（t-3）et+3t+3（t>0）

∴g′（t）=（t-2）et+3，

令h（t）=（t-2）et+3，∴h′（t）=（t-1）et

當0<t<1時，h′（t）<0，h（t）在（0，1）上單調遞減;當t>1時，h′（t）>0，h（t）在（1，+∞）上單調遞增;h（t）≥h（1）=3-e>0，

∴g′（t）>0，g（t）在（0，+∞）上單調遞增，g（t）>0，∴3x1+x2>3.

二、比值代換

所謂比值代換，是指通過引入變量，將極值點偏移問題轉變為關于t的函數問題來求解的技巧.在研究f（t）時，可先對其進行求導，分析導函數與0之間的關系，進而判斷出函數的單調性，求得最值，從而證明結論.對于本題，可先令，則、，而目標式可等價于，構造函數，研究其導函數，便可確定g（t）的極值和單調性，進而證明3x1+x2>3.

解：∵0<x1<x2，且f（x1）=f（x2）

∴，，

∴，設，

∴，，

∴3x1+x2>3等價于，

設，

∴，

令，

∴，

當1<t<3時，h′（t）<0，h（t）在（1，3）上單調遞減;當t>3時，h′（t）>0，h（t）在（3，+∞）上單調遞增;

∵h（3）=4-4ln3<0，h（e2）>0，∴在（3，e2）上存在唯一零點t0使h（t0）=0，即，

當1<t<t0時，g′（t）<0，g（t）在（1，t0）上單調遞減;當t>t0時，g′（t）>0，g（t）在（t0，+∞）上單調遞增，，

∵t0>3，在（3，+∞）上單調遞增，

∴，∴3x1+x2>3.

比值代換、差值代換都是求解極值點偏移問題的常用技巧，也是同學們應該學習和掌握的重要內容.通過上述分析，我們不難發現解答極值點偏移問題，需靈活運用換元、消參的技巧，將問題轉化為關于t的函數問題，然后運用導數法來求解.

（作者單位：陜西省渭南經開區渭南中學）