解答二面角問題的兩種途徑

華恩亨

二面角問題是高中立體幾何中的一類常見題目.雖然此類問題的命題方式多種多樣，但解題的方法卻是大同小異.因此在解答二面角問題時，我們要學會“以不變應萬變”，牢牢抓住題目的特點，選擇合適的解題方法和思路進行求解.本文主要介紹以下兩個求解二面角的辦法.

一、構造三垂線

在解題時，我們常根據二面角的平面角的定義來添加輔助線，構造三垂線，利用三垂線定理來解題.如圖1所示，已知平面α、平面β和線段l，假設α-l-β為銳二面角，過平面α內一點P作一條垂直于面β的垂線PA交平面β于A點，過點A作線段l的垂線AB交線段l于B點，連接P、B就可以得到一個直角三角形PAB，根據三垂線定理可知，線段PB⊥l，那么∠PAB就是銳二面角α-l-β的平面角.通過解直角三角形PAB，便可求得∠PAB的大小.

例1.已知一個棱長都等于4的正三棱柱ABC-A1B1C1，BC的中點是E點，側棱CC1上有一動點F，且不會與C點重合.假設二面角C-AF-E的大小是θ，求二面角的正切的最小值.

解：如圖2所示，過E作EN⊥AC于點N，過N作MN⊥AF于M，連接M，E.

由正三棱柱的性質可得EN⊥側面A1C，由三垂線定理可知EM⊥AF，因此∠EMN是二面角C-AF-E的平面角，即∠EMN=θ.

設∠CAF=α，那么0°<α≤45°，

在Rt△CNE中，??? .

在Rt△AMN中，MN=AN·sinα=3sinα，

因此??? .

又因為0°<α≤45°，所以，

因此當時，tanθ的最小值為??? .

解答本題主要根據二面角的平面角的定義構造出三垂線，然后運用三垂線定理證明∠EMN是二面角C-AF-E的平面角.在構造三垂線時，要注意抓住幾何體的特點和幾何圖形中的垂直關系.

二、構造垂面

構造二面角棱的垂面也是解答二面角問題的常用辦法.有些二面角的平面角借助二面角棱的垂面更加方便作出.作二面角棱的一個垂面，需過棱上一點分別作兩個半平面的垂線，將兩個垂足和已知點連接起來所形成的平面就是垂直于二面角棱的一個垂面.然后在垂面內運用平面幾何知識就可求得二面角的大小.

例2.空間中有一點P到二面角α-l-β中的兩個半平面α，β和棱l的距離分別是4，3，，求二面角α-l-β的大小.

解：如圖3所示，分別作平面α，β的垂線PA垂直于平面α交于A點，PB垂直于平面β交于B點，連接P，A，B，則l⊥平面PAB，設l與平面PAB相交于點C，連接P，C，可得l⊥PC.

在直角三角形PAC，PBC中，，PA=4，PB=3，

那么，??? .

因為P，A，C，B四點共圓，則PC是直徑，

設PC=2R，二面角α-l-β的大小是θ.

根據余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosθ=PA2+PB2-2PA·PB·cos（π-θ），解得，θ=120°，

因此二面角α-l-β的大小是120°.

我們通過作二面角的兩個半平面的垂線，構造出二面角平面角的垂面PABC，再在平面PABC內，運用直角三角形和圓的性質，以及余弦定理求得二面角α-l-β的大小.

解答二面角問題的辦法，還有很多如采用面積法、投影法等.一般來講，求解二面角問題主要有三個步驟，即先作出二面角的平面角，然后證明這個角為二面角的平面角，最后求出這個平面角的大小.在這三個步驟里面，前面兩個步驟是解題的關鍵，只要做好這兩步，就能輕松解題.

（作者單位：安徽省碭山第二中學）