兩類函數定義域的求法

計康

在學習函數時，我們經常會遇到函數定義域問題.此類問題屬于基礎題目，難度一般不大，解題的關鍵在于充分研究函數的解析式，挖掘隱含條件.很多同學在解答此類問題時經常得到不完整的或錯誤的答案，對此筆者總結了兩類函數定義域的求法，以供大家參考.

一、求初等函數的定義域

初等函數主要包括一次函數、二次函數、指數函數、對數函數以及冪函數.在求初等函數的定義域時，我們要仔細觀察函數的解析式，尤其要關注其中是否含有分式、根號、絕對值、指數冪等.因為函數解析式中一般含有隱含的條件，如根號下的式子必須大于或等于0，分式的分母不為0、絕對值必須大于或等于0、指數冪的底數必須不為0等.然后建立相應的關系式，求得x的取值范圍.

例1.求以下函數的定義域：

（1）??? ;（2）??? .

分析（1）中的函數為分式函數，且分子中含有根式，因此分母x+1≠0，x2-4x≥0，然后取兩個不等式的交集即可得到函數的定義域.（2）式中不僅含有分式、根式，還含有指數冪、絕對值，因此需使X+1≠0，，最后取其交集即可.

解：（1）∵??? ，

∴X2-4X≥0，且X≠-1，

解得X≤0，且X≠-1，或X≥4，

∴函數的定義域為（-∞，-1）∪（-1，0）∪[4，+∞）.

（2）∵??? ，∴x≠-1，且，

可得X<0，且x≠-1，

∴函數的定義域為（-∞，-1）∪（-1，0）.

二、求復合函數的定義域

復合函數一般是由兩個或者兩個以上的函數組成的.此類函數較為復雜，我們需先明確復合函數是由哪幾個初等函數構成，然后分別求出每個初等函數的定義域，再將外部函數的定義域看作內部函數的值域，建立關系式，最后綜合所得的結果即可得到函數的定義域.一般地，若已知y=f（X）的定義域是[m，n]，求函數y=f[g（X）]的定義域，可建立關系式：所得的結果即為函數y=f[g（X）]的定義域.

例2.已知函數y=f（x）的定義域是（-1，4），求函數y=f（X2-3）的定義域.

解：∵函數y=f（x）的定義域是（-1，4），

∴-1<x2-3<4，

解得或，

∴y=f（X2-3）的定義域為??? .

該函數由函數y=f（X）和y=X2-3復合而成.需將函數y=f（X）的定義域的定義域看作函數y=X2-3的值域來求解.

例3.已知函數f（X）的定義域為[1，9]，求函數的定義域.

分析：該函數是兩個復合函數的和，函數y=f（X-1）是由函數y=f（X）、y=X-1復合而成，函數是由和y=X2-5X-6復合而成.我們需分別求得兩個復合函數的定義域，再取它們的交集.

解：由函數f（X）的定義域為[1，9]

可得1≤x-1≤9，

而中含有根式，所以X2-5X+6≥0，

則

解得X=2或3≤X≤10，

故函數的定義域為??? .

雖然函數定義域問題的難度不大，但題目中常常會涉及很多的隱含條件.因此同學們在解題的過程中，千萬不可掉以輕心，要細心觀察、仔細考量，確保分析問題全面，這樣才能求得正確的答案.

（作者單位：陜西省西安市東方中學）