三類常見的三角函數(shù)最值問題及其解法

王國順

在近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中，三角函數(shù)最值問題屢見不鮮.此類問題一般具有較強(qiáng)的綜合性、抽象性，側(cè)重于考查同學(xué)們的抽象思維能力和綜合處理問題的能力.本文重點(diǎn)談一談三類常見的三角函數(shù)最值問題及其求法

一、求一次三角函數(shù)的最值

一次三角函數(shù)最值問題屬于常規(guī)題目.解答此類問題，需靈活運(yùn)用三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、輔助角公式等進(jìn)行三角恒等變換，將三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)角、一種函數(shù)名稱的式子，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)來求得函數(shù)的最值.

例1.求函數(shù)f（x）=cosx（2sinx+3cosx）的最值.

解：??? .由于，因此，那么函數(shù)的最大值是，最小值為??? .

第一步，我們要仔細(xì)觀察三角函數(shù)的形式，將其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?若三角函數(shù)式中含有括號(hào)就要先將括號(hào)去掉;若含有兩種不同的函數(shù)名稱，就需用輔助角公式或?qū)⒑瘮?shù)名稱統(tǒng)一;若含有兩個(gè)不同的角，就需用誘導(dǎo)公式、兩角和差公式將角統(tǒng)一，最后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得最值.

二、求二次三角函數(shù)的最值

解答二次三角函數(shù)最值問題，我們一般要先利用二倍角sin2x=2sinxcosx、cos2x=2cos2-1=1-2sin2x或其變形式2cos2x=cos2x-1、等，將三角函數(shù)式的冪或角統(tǒng)一，將其轉(zhuǎn)化成為f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式，或者只含有一種函數(shù)名稱的二次式，然后利用三角函數(shù)的有界性和二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值.

例2.已知函數(shù)??? .試求出函數(shù)f（x）的最小正周期，以及當(dāng)時(shí)f（x）的最大值與最小值.

分析：該三角函數(shù)式中含有二次式，需先用正弦、余弦的二倍角公式將其化簡(jiǎn)，然后利用輔助角公式，將其轉(zhuǎn)化為只含有一種函數(shù)名稱的函數(shù)式，再根據(jù)正余弦函數(shù)的單調(diào)性和有界性便可求得原函數(shù)的最值.

解：??? .

因此這個(gè)函數(shù)的最小正周期是??? .

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增;而當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值;當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值??? .

三、求含有分式的三角函數(shù)的最值

求含有分式的三角函數(shù)的最值有兩種思路，第一種思路是嘗試將常數(shù)分離，求得分離后含有變量式子的最值便可解題;第二種思路是，將函數(shù)y=f（x）看作參數(shù)，將函數(shù)式變形為整式，然后運(yùn)用輔助角公式，將其轉(zhuǎn)化為Asin（ωX+φ）+B或Acos（ωx+φ）+B的形式，再利用正余弦函數(shù)的有界性來建立關(guān)系式，解不等式便可求得y的取值范圍，進(jìn)而確定函數(shù)的最值.

例3.求函數(shù)的最值.

解：將變形可得，即??? .

又因?yàn)椋瑒t，

將其兩邊同時(shí)平方可得（3y+2）2≤（2y+1）2，

解得，

因此函數(shù)的最大值為，最小值為-1.

我們先將函數(shù)式變形為一邊只含有sinx、一邊不含有sinx的式子，然后根據(jù)y=sinx的有界性求的取值范圍，求出y的取值范圍便可以確定函數(shù)的最值.

總之，要想順利求得三角函數(shù)的最值，我們需熟練掌握三角函數(shù)中的基本公式以及三角恒等變換的技巧，先將所求函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有一個(gè)角、一種函數(shù)名稱、次數(shù)統(tǒng)一的最簡(jiǎn)形式，然后根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性來求得原函數(shù)的最值.

（作者單位：福建省泉州第十七中學(xué)）